矩阵的秩与线性方程组

矩阵的秩与线性方程组第一页，共一百四十六页，2022年，8月28日§1矩阵的秩秩：书面语，次序。也就是说，无论世界如何斗转星移、“我自巍然不动”的本质性的东西。因此，矩阵的秩应该指的是矩阵变换过程中保持不变的东西，是矩阵经过“千锤百炼”后“提取”出来的“黄金”。

越是本质的东西越难以理解。关于秩，若能说出个“子戊寅卯”来，线性代数也就掌握的“八九不离十”了。第二页，共一百四十六页，2022年，8月28日例1

解线性方程组一、淘金记---矩阵秩的概念方程的个数不等于未知数个数，无法用克莱姆法则，我们回到“原点”，用消元法(即矩阵的初等行变换法)来求解。第三页，共一百四十六页，2022年，8月28日消去第四页，共一百四十六页，2022年，8月28日消去由得，代入，得，再代入，得。方程组有唯一解！这里方程变成了恒等式是个冗余方程。第五页，共一百四十六页，2022年，8月28日用矩阵表示，就是增广矩阵作了下列初等行变换：第六页，共一百四十六页，2022年，8月28日增广矩阵变成了行阶梯矩阵。第七页，共一百四十六页，2022年，8月28日行阶梯矩阵示例：第八页，共一百四十六页，2022年，8月28日例2解线性方程组消去第九页，共一百四十六页，2022年，8月28日这里方程变成了矛盾式是个矛盾方程。所以此例中的方程组是不相容方程组。方程组无解！消去第十页，共一百四十六页，2022年，8月28日用矩阵表示，就是增广矩阵作了下列初等行变换：第十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日增广矩阵仍然变成了行阶梯矩阵。第十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日例3解线性方程组消去第十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日解得方程组有无穷个解！所以此例中的方程组是不定方程组。第十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日用矩阵表示，就是增广矩阵作了下列初等行变换：第十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日增广矩阵仍然变成了行阶梯矩阵。另外，例3也说明，方程个数与未知数个数相等的方程组未必有唯一解。要保证唯一解，必须加上约束条件。这个事实最早是欧拉在解决所谓克莱姆悖论时注意到的。第十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日一般地，对于线性方程组经过一系列行初等变换，并适当交换未知数的位置，线性方程组可化成

第十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日这里是的某个排列第十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日结论：问题：第十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日用矩阵表示，就是增广矩阵经过了一系列初等行变换，变成了行阶梯形矩阵。并且如果再经过列交换变换后，可以将行阶梯矩阵的左上角化成三角阵。为讨论方便，不妨假定左上角已化成三角阵，即第二十页，共一百四十六页，2022年，8月28日第二十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日同时第二十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日左上角的阶子矩阵显然可逆（其行列式不为零,因为初等变换不改变方阵的奇异性），虽然该矩阵中的行号已“不可考”。但其阶数这个信息已经足够了。第二十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日定义4对给定的矩阵，任取其行列（），位于交叉位置上的个元素可按原来的相对位置构成矩阵，称为的子矩阵。的阶方子矩阵的行列式称为矩阵的阶子式。显然要求第二十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日定义5对给定的矩阵，称其一切非零的子式（显然此时相应的方子矩阵不可逆）的最高阶数为矩阵的秩，记为。并规定零矩阵的秩为。(Frobenius,1879)对于阶方阵，就是。当且仅当时。此时，也称方阵为满秩阵。根据秩的定义，显然特别地，因此满秩阵就是可逆阵。另外，第二十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日例6

求矩阵的秩。由于3阶非零子式解：而所有四阶子式必定都包含第四行，因而全为零。这个矩阵是一个行阶梯形矩阵，显然从阶梯数即非零行的个数上就能直观看出它的秩是3。所以。第二十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日定义7

对给定的矩阵称为行阶梯形矩阵，如果它满足下列两个条件：(1)某行是零行（即没有非零元），则其下所有行（如果有的话）都是零行；(2)某行是非零行，则其首非零元的列号必大于上一行(如果有的话)首非零元所在的列号。定义8首非零元均为1，且首非零元所在列无其他非零元的行阶梯形矩阵，称为行最简形矩阵。第二十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日行最简矩阵示例：第二十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日二、矩阵秩的计算显然用定义计算一般大型矩阵的秩，很不方便。然而当矩阵是行阶梯形矩阵时，可以通过数非零行的个数“数”出矩阵的秩。所以能不能把一般矩阵“变”成行阶梯形矩阵呢？这里有两个问题：（1）一般矩阵能不能“变”成行阶梯形矩阵？（2）变换是保秩的吗？即变换前后的矩阵是否同秩？下面的两个定理回答了这这两个问题。第二十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日定理9任意矩阵必可以通过有限次行（列）初等变换化成行（列）阶梯形矩阵。定理10

的必要条件是证明：必要性见教材。充分性的反例如下：第三十页，共一百四十六页，2022年，8月28日由于可逆阵（即满秩阵）是初等矩阵的乘积，故有推论1

是任一矩阵，分别是阶满秩阵，则

第三十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日行（列）阶梯形矩阵显然可以继续行、列变换最终变成标准形，此时有推论2

如果任意矩阵的标准形分解为则必有实际计算矩阵的秩时，显然不必把矩阵变换到标准形，只需要把矩阵变换到行（列）阶梯形就足够了。第三十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日例11

求矩阵的秩，并求出的一个最高阶非零子式。解：第三十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日第三十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日第三十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日(1)

阶梯形矩阵有三个非零行，因此（2）由于，所以的非零最高阶子式为3阶。然而的3阶子式共有个。考察

的阶梯形矩阵。很容易注意到阶梯形矩阵中，首元所在的列中有一个3阶非零子式。由于我们只进行了初等行变换，这说明了阶梯形矩阵中的首元列是由矩阵的相应列变来的。令第三十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日因此，所以有三阶非零子式，经计算可知的左上角的三阶子式非零，因此所求为第三十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日思考：因为的最高阶非零子式不唯一，所以如果令，能否得到最高阶非零子式？如果令，情况又如何？试根据的行阶梯形矩阵给出的所有最高阶非零子式。第三十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日%rank1.mfunctionb=rank1(A)%A为输入矩阵，b为非零行个数[m,n]=size(A);U=rref(A);%将矩阵A化为阶梯形矩阵Ub=0;%b是计数器fori=1:mifany(U(i,:))%内置函数any(v),只要向量v中有非0就取1，否则取0

b=b+1;endendb第三十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日%rank2.mfunctionb=rank2(A)%A为输入矩阵，b为主元个数[m,n]=size(A);[U,ip]=rref(A);%将矩阵A化为阶梯形矩阵Ub=length(ip);第四十页，共一百四十六页，2022年，8月28日%ex3111.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

r=rank(A)%调用内置函数rank矩阵A的秩

%r1=rank1(A)%调用自定义函数rank1计算矩阵A的秩%r2=rank2(A)%调用自定义函数rank2计算矩阵A的秩[UC,ip]=rref(A)%rref(A)将矩阵A化为最简形UC，ip按升序返回%首元所在列号

L=length(ip);B=A(1:L,ip)%矩阵B对应的行列式就是欲求的一个最高子式det(B)第四十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日例12

已知矩阵问为何值时，第四十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：第四十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日因此，时；

时；

时。第四十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日例13

已知是矩阵，是矩阵。证明：第四十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日证明*：由题，存在可逆矩阵，分别将化成行标准形，即有并且第四十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日从而的非零行数+的非零行数第四十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日例14

已知是矩阵，是矩阵。证明：第四十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日证明*：第四十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日例15

已知是矩阵，是矩阵。证明：第五十页，共一百四十六页，2022年，8月28日证明*：由题，存在可逆矩阵，将化成行标准形，即有令，则第五十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日从而所以又因为所以又因为第五十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日

矩阵秩的总结第五十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日(6)的证明*：设。将化为标准形，即存在可逆阵，使从而第五十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日

为矩阵，其中

为矩阵。且由于，所以由于可逆，所以有及第五十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日再由及知因此第五十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日

与很多问题类似,数值软件中计算矩阵秩(所谓数值秩)采用的方法不是初等行变换法,而是利用所谓的奇异值分解(SVD,SingularValueDecomposition

）。有兴趣的同学请查阅相关文献。第五十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日经过一系列行初等变换，并适当交换未知数的位置，线性方程组可化成

§2齐次线性方程组上节我们看到，一般地，对于线性方程组第五十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日这里是的某个排列第五十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日当常数项为零时，得到齐次线性方程组经过一系列行初等变换，并适当交换未知数的位置，线性方程组可化成

第六十页，共一百四十六页，2022年，8月28日这里是的某个排列第六十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日I

、当时，方程组有唯一解，即

零解，也称平凡解。II、当时，方程组有非零解。由于，方程组始终有解，因此，其结论变成第六十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日既然是系数矩阵的秩，所以我们有定理1

（齐次线性方程组解的判定定理）

元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩，并且其通解式中带有个参数。这个重要结论是由弗罗贝尼乌斯在1870年代得出的。第六十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日显然定理1的必要性是克莱姆法则的推广，充分性则包含了克莱姆法则的逆定理。根据定理1，求解齐次线性方程组时，只需先把它的系数矩阵化成行阶梯矩阵或行最简矩阵，就可以求出它的通解了。第六十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日例2

解齐次线性方程组第六十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：第六十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日第六十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日第六十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日第六十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日由行最简矩阵，得同解方程组原方程组有非零解。令得通解第七十页，共一百四十六页，2022年，8月28日即得方程组的通解表达式第七十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日%ex3202.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];

Z=null(A,‘r’)%调用内置函数null，返回的矩阵Z中按列存放基础解系%参数‘r’的作用是什么呢？第七十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日基础解系中的两个基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201第七十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日例3

解齐次线性方程组第七十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：第七十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日第七十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日由行最简矩阵，得同解方程组原方程组有无穷个解。令得通解第七十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日即通解为第七十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日例4

解齐次线性方程组第七十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：第八十页，共一百四十六页，2022年，8月28日由行最简矩阵，得同解方程组原方程组有无穷个解。得通解令第八十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日原方程组有无穷个解。由行最简矩阵，得同解方程组第八十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日可得到与II类似的结论。也可得到与II类似的结论。令得通解第八十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日原方程组只有零解。第八十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日例5*

设齐次线性方程组的系数矩阵为，且存在三阶方阵，使得求：（1）的值；（2）的行列式。第八十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：（1）由且知，的非零列都是线性方程组的非零解，因此因此第八十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：因此由于，所以从而这说明矩阵不满秩，由于是方阵，故（2）由（1）知，当时。第八十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日例6（人口流动问题）设某小城市共有30万人从事工、农、商三业。假定这个总人数始终保持不变。社会调查显示：（1）目前有15万人务农，9万人务工，6万人经商；（2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商；（3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商；（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工。第八十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日如果向量表示第年后从事这三种职业的人员总数，那么由已知有初始向量根据题意，1年后从事这三种职业的人员总数应为第八十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日即这里矩阵称为迁移矩阵（migrationmatrix）.同样地,第九十页，共一百四十六页，2022年，8月28日第九十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日显然可见,第九十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日也就是马尔可夫链(MarkovChain)的平衡向量（equilibriumvector）为。事实上,由得即得齐次线性方程组第九十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日因此得同解方程组令得通解本题中第九十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日经过一系列行初等变换，并适当交换未知数的位置，线性方程组可化成

前面我们看到，一般地，对于线性方程组§3非齐次线性方程组第九十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日这里是的某个排列第九十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日因而有如下结论：第九十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日定理1

（非齐次线性方程组解的判定定理）

元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即既然是系数矩阵的秩，所以我们有这个定理的部分结果是由道吉森在1867年给出的。第九十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日*证明:必要性。当非齐次线性方程组有解时，如果，那么在中应有一个矛盾方程，方程组无解，显然这与原方程组有解相矛盾。所以只能有第九十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日*证明:充分性。设，则的行阶梯形矩阵中只有个非零行，从而知其含有个自由未知量。所以由方程组，得第一百页，共一百四十六页，2022年，8月28日令，利用回代，显然可以得到含有这个自由未知量的解，也就是非齐次方程组的通解式。证毕。根据此定理，求解非齐次线性方程组时，也只需先把它的增广矩阵化成行阶梯矩阵或行最简矩阵，就可以判断方程组解的状态，并在有解时求出它的解了。第一百零一页，共一百四十六页，2022年，8月28日实际求解非齐次线性方程组时，我们使用下面的定理来具体讨论解的各种状态。定理2

（非齐次线性方程组解的判定定理）对元非齐次线性方程组，有：（1）时方程组无解；（2）时方程组有解。并且

时方程组有唯一解；时方程组有无穷个解，并且其通解式中含有个自由未知量。矩秩一出天下白第一百零二页，共一百四十六页，2022年，8月28日定理2也可以从几何上加以解释。对于线性方程组每个方程表示一个平面。因此方程组是否有解就相当于两个平面有没有交点。用和表示方程组的系数矩阵和增广矩阵。（1）时，的两行对应成比例，因而两平面重合。方程组有（无数）解。第一百零三页，共一百四十六页，2022年，8月28日（2）而时，的两行对应成比例，因而两平面平行。但的两行不对应成比例，因此两平面不重合。两平面没有交点。方程组无解。（3）时显然，的两行不对应成比例，两平面不平行，因而一定相交于一直线。方程组有（无数）解。第一百零四页，共一百四十六页，2022年，8月28日例3

解非齐次线性方程组第一百零五页，共一百四十六页，2022年，8月28日解：上一节例2中已求得导出组的通解为第一百零六页，共一百四十六页，2022年，8月28日令，则下求此非齐次线性方程组的一个特解。解得即得非齐次线性方程组的一个特解第一百零七页，共一百四十六页，2022年，8月28日所以非齐次线性方程组的通解为第一百零八页，共一百四十六页，2022年，8月28日%ex3303.mA=[32050;3-236-1;2015-3;16-4-14];b=[-2-8-610]’

%调用自定义函数gsolution(A,b)%返回值中，x0为特解，矩阵Z中按列存放对应的齐次线性方程组的基础解系[x0,Z]=gsolution(A,b)第一百零九页，共一百四十六页，2022年，8月28日x0=210-20基础解系中的两个基向量！Z=-1/2-7/23/41/4100201第一百一十页，共一百四十六页，2022年，8月28日例4解非齐次线性方程组第一百一十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日第一百一十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日第一百一十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日第一百一十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日所以原方程组有唯一解第一百一十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日%ex3304.mA=[11-1;21-3;1-21;31-5]；b=[31-2-1]‘

%调用自定义函数gsolution(A,b)%返回值中，x0为特解，矩阵Z中%按列存放对应的齐次线性方程组%的基础解系[x0,Z]=gsolution(A,b)x0=232Z=

Emptymatrix:3-by-0没有基础解系！即基础解系为空集！第一百一十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷个解时求出通解。例5

为何值时，非齐次方程组第一百一十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日解法一：第一百一十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日第一百一十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日方程组有唯一解。第一百二十页，共一百四十六页，2022年，8月28日方程组无解。方程组有无穷组解。此时第一百二十一页，共一百四十六页，2022年，8月28日第一百二十二页，共一百四十六页，2022年，8月28日即令，所以原方程组的通解为第一百二十三页，共一百四十六页，2022年，8月28日验算可知，为非齐次方程组的解（特解），则为此齐次方程组的通解。

时原方程组对应的齐次方程组为：显然这与二阶线性非齐次微分方程的通解结构类似，这并不是偶然的。相关解释见第四章。第一百二十四页，共一百四十六页，2022年，8月28日解法二：由于系数矩阵为方阵，因此也可以先通过求行列式获知参数的取值情况。第一百二十五页，共一百四十六页，2022年，8月28日由克莱姆法则可知，方程组有唯一解。系数行列式不为零。方程组变成第一百二十六页，共一百四十六页，2022年，8月28日此时方程组无解。第一百二十七页，共一百四十六页，2022年，8月28日方程组变成第一百二十八页，共一百四十六页，2022年，8月28日方程组有无穷多解。第一百二十九页，共一百四十六页，2022年，8月28日令，所以原方程组的通解为此时有同解方程组第一百三十页，共一百四十六页，2022年，8月28日解法二的优点是增广矩阵不含字母，进行行初等变换比解法一方便，但先需计算含字母参数的行列式，同时只能针对方程组，另外可能需要根据字母参数的不同取值，多次变换类似的增广矩阵。解法一则逻辑性较强。两法使用时需酌情选择。对于含有字母参数的线性方程组，一般方法仍然是将增广矩阵化成行最简矩阵，但在作行初等变换时，要尽量避免参数出现在