离散数学重点

离散数学重点第一页，共十三页，2022年，8月28日抓重点，把握线索

“离散数学”的特点是“散”，内容多，令人目不暇接，让人觉得难以全盘兼顾。但是，如果把握住重点内容，“离散数学”其实是比较简单的。“离散数学”重在对概念的理解。第二页，共十三页，2022年，8月28日1 命题逻辑(5+3个)“联结词”是基础，是重中之重。“等值”和“推理”的定义是重点。重要概念：(主)范式。通过理解联结词的物理含义，从而理解那些重要等值式和推理定律的物理含义，“命题逻辑”这一章就大体掌握了。了解概念：最小联结词组。第三页，共十三页，2022年，8月28日联结词与复合命题

pq

pp∧qp∨qpqpq0010011011011010001001101111基本复合命题的真值第四页，共十三页，2022年，8月28日2 谓词逻辑谓词逻辑≈命题逻辑+量词。量词是关键。“等值演算”和“逻辑推理”是目标任务。重要概念:前束范式。了解概念:闭式。在掌握命题逻辑的基础上，理解两个量词的物理含义，从而理解那些重要等值式和推理规则的物理含义，“谓词逻辑”这一章就大体掌握了。第五页，共十三页，2022年，8月28日3 集合重点:元素与集合的关系,集合与集合的关系;集合的运算性质(结合联结词);容斥原理。重要概念：幂集P(A)={x|xA}；|P(A)|=2n。难点：集合与集合的关系证明。通过理解集合的一些概念，掌握元素与集合的关系、集合与集合的关系；利用文氏图、结合联结词来理解集合中各种运算的物理含义，从而理解集合运算性质的物理含义。解决证明题的方法一般是“见多识广”。第六页，共十三页，2022年，8月28日4 关系与函数“关系的性质”是基础，是重中之重。“等价关系”“偏序关系”的定义是重点。重要概念：笛卡积，闭包，BA(B上A)。通过理解“关系”的一些概念，从“定义（表达式）、关系矩阵、关系图”三个方面来理解“关系”的五种性质，从而掌握“等价关系和偏序关系”。了解良序第七页，共十三页，2022年，8月28日关系性质判别自反反自反对称反对称传递表达式IARR∩IA=R=R1

R∩R1

IA

RRR关系矩阵主对角线元素全是1主对角线元素全是0矩阵是对称矩阵若rij＝1,且i≠j,则rji＝0对M2中1所在位置,M中相应位置都是1关系图每个顶点都有环每个顶点都没有环如果两个顶点之间有边,是一对方向相反的边(无单边)如果两点之间有边,是一条有向边(无双向边)如果顶点xi连通到xk,则从xi到xk有边

恒等关系IA既是等价关系,又是篇序关系。第八页，共十三页，2022年，8月28日5 代数系统性质“二元运算的性质”对前面两部分进行了总结。重点：同构=同态双射。重要概念：积代数。通过理解双射函数的概念，在理解运算和代数系统一些概念的基础上，理解同态的概念，从而掌握“同构”。第九页，共十三页，2022年，8月28日6典型代数系统(主要理解3个表)重点：(1)域=整环除环；(2)布尔代数=有补分配格

幂集格。(1)“(半)群、环”是“域”的基础，整环=交换环含幺环无零因子环。通过逐步理解“半群、含幺半群、群、交换群、环、整环与除环”这些代数系统的概念，从而掌握“域”。(2)“格”是“布尔代数”的基础。通过理解“格、分配格、有补格”这些代数系统的概念，从而掌握“布尔代数”。掌握了“域”和“布尔代数”，“典型代数系统”这一章就大体掌握了。第十页，共十三页，2022年，8月28日(1) (半)群|S|≥2<S,o>封闭性结合律含幺所有元素有逆元交换律消去律含零代数系统√半群√√独异点√√√群√√√√√×Abel群√√√√√√×重要概念：循环群，n元置换群。第十一页，共十三页，2022年，8月28日(2)环与域<S,+,*>含幺所有元素有逆元交换律分配律消去律|S|≥2环*是半群√+是Abel群√√√√域整环交换环*是交换半群√含幺环*是独异点√除环无零因子环*√*√(θ除外)√n为素数<Zn,,>是域第十二页，共十三页，2022年，8月28日(3)格与布尔代数<L,∧,∨>结合律交换律幂等律吸收律封闭性幺元e零元格∧√