求函数解析式常用的方法

求函数分析式常常使用的方法之勘阻及广创作求函数分析式常常使用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特别值法。以下主要从这几个方面来剖析。（一）待定系数法待定系数法是求函数分析式的常常使用方法之一，它合用于已知所求函数种类（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特色求其分析式的题目，它在函数分析式确实定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数种类，可早先设出所求函数的分析式，再依据题意列出方程组求出系数。例1：已知f(x)是二次函数，若f(0)0,且f(x1)f(x)x1试求f(x)的表达式。分析：设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)0,得c=0由f(x1)f(x)x1得整理得ax2(2ab)xabcax2(bc)xc11a2abb121abcc1bc02c0f(x)1x21x得22小结：我们只需明确所求函数分析式的种类，即可设出其函数分析式，想法求出其系数即可获得结果。近似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比率函数时，可设kf(x)=

x(k≠0)；

f(x)

为二次函数时，依据条件可设①一般式：f(x)=a(x-

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②极点式：h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)（二）换元法换元法也是求函数分析式的常常使用方法之一，它主要用来办理不知道所求函数的种类，且函数的变量易于用另一个变量示意的问题。它主要合用于已知复合函数的分析式，但使用换元法时要注意新元定义域的更改，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：已知f(x1)x2x1,求f(x)的分析式。分析：假如把x1视为t，那左侧就是一个对于t的函数f(t),只需在等式x1t中，用t示意x,将右侧化为t的表达式，问题即可解决。令x1t小结：①已知f[g(x)]是对于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的分析式，往常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的分析式，再用x替代t，便得f(x)的分析式。注意：换元后要确立新元t的取值范围。②换元法就是经过引入一个或几个新的变量来替代本来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以迅速实现未知向已知的变换，进而达到顺利解题的目的。稀有的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为宽泛。(三)配凑法已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f(x)的分析式时，若f[g(x)]表达式右侧易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的更改。例3：已知f(x1)x2x,求f(x)的分析式。剖析：x2x可配凑成可用配凑法解：由f(x1)x2x(x)21令tx1则f(t)t21即f(x)x21(x1)自然，上例也可直接使用换元法令tx1则tx1x(t1)2得f(t)(t1)22(t1)t21即f(x)x21(x1)由此可知，求函数分析式时，能够用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例4：已知f(x1)x21,求f(x).xx2剖析：本题直接用换元法比较繁锁，并且不简单求出来，但用配凑法比较方便。f(x1)x21(x1)22分析：由xx2xtx1x2tx10令x由0即t2

4

0得

t

Rf(t)

t2

2即：

f(x)

x2

2(x

R)实质上，配凑法也缊含换元的思想，不过不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来示意出来，在经过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。消元法合用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数f(x)混淆运算，则要充分利用变量代换，而后联立方程组消去其他部分。例5：设f(x)f(x)2f(1)x,知足x求f(x)的分析式。剖析：要求f(x)可消去f(1)x,为此，可依据题中的条件再找一个对于f(x)与f(1)x的等式，经过解方程组达到消元的目的。分析：f(x)2f(1)xx①1明显，x0,将x换成x得f(1)2f(x)1xx..②f(x)2f(1)xx12f(x)1f()由xx消去f(1)x，得小结：消元法合用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(1)，x；互为相反数，如f(x)、f(-x)经过对称代换结构一个对称方程组，解方程组即得f(x)的分析式。（五）赋值法赋值法是依照题条件的结构特色，由特别到一般找寻广泛规律的方法。其方法：将适合变量取特别值，使问题详细化、简单化，依照结构特色，进而找出一般规律，求出分析式。例5：已知f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),求f(x)。分析：令a0,则f(

b)

f(0)

b(1b)

b2

b1令

b

x则

f(x)

x2

x1小结：①所给函数方程含有

2个变量时，可对这2个变量交替用特别值代入，或使这

2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特别值，依据题目特色而定。②经过取某些特别值代入题设中等式，可使问题详细化、简单化，进而顺利地找出规律，求出函数的分析式。总之，求函数分析式的常常使用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、消元法