积分变换课件第1讲：傅里叶(Fourier)级数展开

积分变换：傅里叶(Fourier)级数展开

第1讲在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).最常用的一种周期函数是三角函数

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2π/T而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内

的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变

化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里

叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,

即在区间[-T/2,T/2]上1,连续或只有有限个第一类间断点2,只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第一类间断点不满足狄氏条件的例:而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些.

在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也

构成一个集合,这个集合在通常的函数加法和数乘运算

上也构成一个线性空间V,此空间的向量就是函数,线

性空间的一切理论在此空间上仍然成立.更进一步地也

可以在此线性空间V上定义内积运算,这样就可以建立元素(即函数)的长度(范数),及函数间角度,及正交的概

念.两个函数f和g的内积定义为:一个函数f(t)的长度为而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系

1,coswt,sinwt,cos2wt,sin2wt,...,

cosnwt,sinnwt,...

是两两正交的,其中w=2π/T,这是因为

cosnwt和sinnwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合.当nm时,这是因为由此不难验证而1,coswt,sinwt,...,cosnwt,sinnwt,...的函数的长度计算如下:因此,任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角级数的形式如下:为求an,

计算[fT(t),cosnwt],即同理,为求bn,计算[fT(t),sinnwt],即最后可得:而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:如令wn=nw(n=0,1,2,...)给定fT(t),cn的计算如下:例定义方波函数为如图所示:1-1otf(t)1现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则1-13T=4f4(t)t则sinc函数介绍sinc函数的图形:sinc(x)x前面计算出w现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8

的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t则则在T=8时,w如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w一般地,对于周期T

当周期T越来越大时,

各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.

对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.

作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)如图{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,

傅氏积分定理若f

(t)在(-,+)上满足条件: