第二节多元函数的基本概念

第二节多元函数的基本概念第一页，共四十四页，2022年，8月28日一、平面区域的概念（1）邻域回忆第二页，共四十四页，2022年，8月28日（1）邻域一、平面区域的概念°°第三页，共四十四页，2022年，8月28日注：来描述，称为方形邻域。而前述领域称为圆形邻域。°δP0显然，任何圆形邻域内必含方形邻域，任何方形邻域内必含圆形邻域。第四页，共四十四页，2022年，8月28日（2）区域例如，即为开集．内点.（如下图）内点：开集：开集.U(P)∩E=Ф外点第五页，共四十四页，2022年，8月28日连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域．例如，（不连通）第六页，共四十四页，2022年，8月28日边界点：边界点.例如，圆周x2+y2=1和x2+y2=4均为圆的边界.第七页，共四十四页，2022年，8月28日例如，闭区域：第八页，共四十四页，2022年，8月28日对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E

与某一点O间的距离|OP|不超过K，即对于一切点P∈E成立，则称E为有界点集。否则称为无界点集.有界闭区域；无界开区域．例如，第九页，共四十四页，2022年，8月28日（3）聚点（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．补充第十页，共四十四页，2022年，8月28日（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)

是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．第十一页，共四十四页，2022年，8月28日（4）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为第十二页，共四十四页，2022年，8月28日n维空间中两点间距离公式

设两点为特殊地，当

n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．第十三页，共四十四页，2022年，8月28日（1）二元函数的定义回忆点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.二、二元函数的概念第十四页，共四十四页，2022年，8月28日类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.第十五页，共四十四页，2022年，8月28日与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为第十六页，共四十四页，2022年，8月28日（2）二元函数的图形（如下页图）第十七页，共四十四页，2022年，8月28日二元函数的图形通常是一张曲面.第十八页，共四十四页，2022年，8月28日例如,图形如右图.例如,右图球面.单值分支:第十九页，共四十四页，2022年，8月28日三、二元函数的极限第二十页，共四十四页，2022年，8月28日（4）二重极限的几何意义*>0，P0

的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。补充第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日例2求证

证当时，原结论成立．第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日例3求解第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日例4求极限

解其中第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日注意：是指

P以任何方式趋于P0.一元中多元中第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日例5设解但取其值随

k的不同而变化。不存在．故第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日确定极限不存在的方法：第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日又如取但是不存在.原因为若取第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日第三十页，共四十四页，2022年，8月28日四、二元函数的连续性定义3（1）二元函数连续的概念第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日例6

利用极坐标变换，设x=ρcosθ,y=ρsinθ，则解

所以函数在（0，0）连续.第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。例如(1)因此，例如(2)第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日二元初等函数：

由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数。一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日例7求极限

解是二元初等函数。定义域：于是，（不连通）第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日例8解第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日例9*.求函数的连续域.解:补充第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日（2）闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．定理1最大值和最小值定理定理2介值定理第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集2.二元函数概念二元函数(图形一般为空间曲面)第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日有3.

二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数2)闭域上的二元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函数在其定义区域内连续第四十页，共四十四页，2022年，8月28日思考题1.设求解法1令第四十一页，共四十四页，2022年，8月