第七讲矩阵的秩线性方程组的解

第七讲矩阵的秩线性方程组的解第一页，共四十六页，2022年，8月28日1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.初等矩阵的结论:推论第二页，共四十六页，2022年，8月28日3.初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B第三页，共四十六页，2022年，8月28日第二节矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求解第四页，共四十六页，2022年，8月28日一、矩阵秩的概念矩阵的秩第五页，共四十六页，2022年，8月28日如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见第六页，共四十六页，2022年，8月28日最低阶为阶，最高阶为阶.第七页，共四十六页，2022年，8月28日注:显然,中不等于零的子式的最矩阵的秩是高阶数.矩阵的秩具有下列性质:(1)若矩阵中有某个阶子式不为0,则(2)若中所有阶子式全为0,则(3)若为矩阵,则(4)第八页，共四十六页，2022年，8月28日例1求矩阵解在中,又的3阶子式只有一个且的秩.第九页，共四十六页，2022年，8月28日例2解第十页，共四十六页，2022年，8月28日问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法第十一页，共四十六页，2022年，8月28日初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解第十二页，共四十六页，2022年，8月28日第十三页，共四十六页，2022年，8月28日第十四页，共四十六页，2022年，8月28日第十五页，共四十六页，2022年，8月28日由阶梯形矩阵有三个非零行可知第十六页，共四十六页，2022年，8月28日第十七页，共四十六页，2022年，8月28日则这个子式便是的一个最高阶非零子式.故A中必有3阶非零子式，计算A的前三行构成的子式第十八页，共四十六页，2022年，8月28日第十九页，共四十六页，2022年，8月28日例设为阶非奇异矩阵,为矩阵.试证:与之积的秩等于的秩,即证因为非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积,皆为初等矩阵.即是经次初等行变换后得出的.因而证毕.注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然,若一个阶矩阵是满秩的,则因而非奇异;反之亦然.第二十页，共四十六页，2022年，8月28日三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理等价矩阵的秩相等第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日主要内容线性方程组解的存在性线性方程组的解法第三节线性方程组的解第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日同解方程组为同解方程组为第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日线性方程组的解有下列三种情况：无解有无穷解有惟一解第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日

第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日同解方程组为同解方程组为第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日例1求解齐次线性方程组解第三十页，共四十六页，2022年，8月28日即得与原方程组同解的方程组第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日由此即得第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日故方程组有解，且有第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日得方程组的通解为第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日例５设有线性方程组解第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日其通解为第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日这时又分两种情形：第四十页，共四十六页，2022年，8月28日第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日例6设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.第四十二页，共四十六页，2022年，8月28日第四十三页，共四十六页，2022年，8月28日三、小结

第四十四页，共四十六页，2022年，8月28日求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）第四十五页，共四十六页，2022年，8月28日作业习题三