第三量子力学初步

第三量子力学初步第一页，共六十页，2022年，8月28日第三章量子力学初步玻尔的原子理论很好的解释了氢原子光谱、类氢离子光谱仪及碱金属原子光谱的实验事实，但是这个理论还是半经典半量子的理论。玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的崭新理论——量子力学在1924-1928年诞生了！第二页，共六十页，2022年，8月28日从经典物理到现代物理概述物理学经典物理近代物理力学热学电磁学光学相对论量子论时间t关键概念的发展力学电磁学热学相对论1600170018001900量子论原子物理学第三页，共六十页，2022年，8月28日到19世纪末，经典物理已经建立了比较完整的理论体系，并取得了极大的成功。经典物理学的完善力学：牛顿定律电磁学：完备的麦克斯韦方程组光学：统一于电磁学热力学：建立了系统的理论统计物理对热现象的研究已建立在微观元过程的基础之上物理学的发展第四页，共六十页，2022年，8月28日量子理论的提出从1900年开始爱因斯坦薛定谔、海森堡、狄拉克到20世纪30年代，建立了完整的量子力学理论基本粒子→宇宙星体、宇宙的形成英开尔文：“物质世界的规律已呈现出一幅完美清晰的画面，后辈人只需增加有效数字，对现有的科学大厦做修修补补的工作。”但他有一点担心：“物理学晴朗的天空中有两朵小小的乌云——黑体辐射和迈克尔逊—莫雷实验。迈克尔逊—莫雷实验狭义相对论黑体辐射量子理论德布罗意普朗克第五页，共六十页，2022年，8月28日3.1波粒二象性一、光的波粒二象性1.黑体辐射普朗克能量子假定实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。单色辐出度M—辐射能量按波长的分布单位时间、单位表面积、上所辐射出的，单位频率间隔中的能量。实验表明辐射能力越强的物体，吸收能力也越强黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射维恩设计的黑体第六页，共六十页，2022年，8月28日紫外灾难维恩公式（经典热力学）维恩线瑞利－金斯线瑞利－金斯公式（经典电磁学）“紫外灾难（发散）”普朗克公式（猜、凑）在全波段与实验结果符合！普朗克线实验曲线h=6.6260755×10-34J·s一、光的波粒二象性第七页，共六十页，2022年，8月28日E=nhn＝0,1,2,3，…用玻耳兹曼分布律计算的能量平均值为振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等等。它成为近代理论的重要组成部分。一、光的波粒二象性第八页，共六十页，2022年，8月28日2.光电效应红限问题瞬时性问题—光电效应方程3.光的波粒二象性粒子性：能量

，动量P波动性：波长，频率一、光的波粒二象性VA第九页，共六十页，2022年，8月28日微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：二、实物粒子的波粒二象性德布罗意假设式中，：角频率；：传播方向上的单位矢量：波矢量粒子的德布罗意波长：3.1波粒二象性第十页，共六十页，2022年，8月28日计算电子经过U1=100V和U2=10000V电压加速后的德布罗意波长λ1和λ2各是多少？电子动能考虑相对论效应刘翔的波动性二、实物粒子的波粒二象性第十一页，共六十页，2022年，8月28日三、德布罗意假设的实验验证1927年，戴维逊和革末，用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。dq德布罗意波长λ＝1.67×10－10m二、实物粒子的波粒二象性第十二页，共六十页，2022年，8月28日电子通过多晶薄膜的衍射实验电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验1927年汤姆逊1961年约恩逊1937年诺贝尔奖forhisdiscoveryofthewavenatureofelectronsTheNobelPrizeinPhysics1929L.deBroglie(1892-1987)二、实物粒子的波粒二象性第十三页，共六十页，2022年，8月28日一.关于粒子的波粒二象性德布罗意波的本质是什么？1.经典物理中的粒子和波粒子：“原子性”或“整体性”，确定的位置、速度、运动轨迹波：某种实在的物理量的空间分布在作周期性的变化“干涉”、“衍射”、“偏振”、“可叠加性”3.2波函数及其物理意义第十四页，共六十页，2022年，8月28日2.电子双缝衍射现象12一束电子入射电子一个一个入射跟光的衍射现象相同跟一束电子入射现象相同3.2波函数及其物理意义第十五页，共六十页，2022年，8月28日单个电子的去向是概率性的。明纹处：→光子、电子到达的数量多→粒子到达该处的概率大→波动性的本质：粒子在空间出现的概率性，概率波是不是电子之间的干涉？困扰人们2年的问题波包？波恩的解释：概率是多少？电子运动的轨迹？以几率形式存在于空间中，并没有确定的轨道！3波函数的物理意义第十六页，共六十页，2022年，8月28日两个启示几率和光强明纹处：几率大→电子的数量多→光强大光强和振幅光强是振幅的平方4.概率波与概率幅粒子到达该处的概率→光的强度→概率波的强度也应与波函数中振幅平方成正比（与经典波类比）定义：时刻t，在点（x,y,z)

附近单位体积内发现粒

子的概率概率密度——概率幅——波函数Ψ称为概率幅(概率波幅)概率是多少？第十七页，共六十页，2022年，8月28日对机械波有（实部）描述粒子的波函数是否可以用机械波函数的形式？复数空间波函数满足的条件归一化条件常数因子不变性：Ψ与CΨ可以描述同一个态相因子不变性：与可以描述同一个态4.概率波与概率幅第十八页，共六十页，2022年，8月28日125.态的叠加1缝单独开：2缝单独开：应为概率幅叠加（态叠加原理）——交叉项即为干涉项1、2都开：第十九页，共六十页，2022年，8月28日6.波粒二象性粒子性共同点：颗粒性，具有质量、电量等属性不同点：经典：遵循决定论，沿确定的轨道量子：不遵循决定论，无确定的轨道以几率的形式出现。波动性共同点：遵循波动定律，相干叠加性不同点：经典：某种实在的物理量的空间分布在作周期性的变化量子：不对应物理量，概率波。3.2波函数及其物理意义第二十页，共六十页，2022年，8月28日§3.3测不准原理一.不确定关系的物理表述及物理意义x表示粒子在x方向上位置的不确定范围，px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。即粒子不可能同时具有确定的位置和动量。若粒子的能量状态是完全确定的，即E=0，则粒子停留在该态的时间为无限长，t=。经典力学中：粒子具有确定的速度、动量、能量量子力学中：物质波是概率波，粒子不再具有确定的位置，也就不具有确定的动量第二十一页，共六十页，2022年，8月28日apxyXp二.不确定关系的简单推证第二十二页，共六十页，2022年，8月28日根据单缝衍射公式半角宽：上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：电子位置的不确定量y＝a电子通过单缝后，动量在y方向上的改变量，即动量的不确定py=p·sin=sin·h/

y·py=h缝宽a越小，中央明纹分布越宽asin=λy·py＞h考虑级次较大的条纹得：二.不确定关系的简单推证第二十三页，共六十页，2022年，8月28日量子力学给出不确定关系：1927年海森堡提出不确定关系如果测量一个粒子的位置的不确定范围，则同时测量其动量也有一个不确定范围p，且满足:1932年获诺贝尔奖解释谱线的自然宽度估算氢原子可能具有的最低能量第二十四页，共六十页，2022年，8月28日§3.4薛定谔方程寻找波函数满足的动力学方程第二十五页，共六十页，2022年，8月28日回顾:波动的动力学方程由一维平面波函数第二十六页，共六十页，2022年，8月28日一.自由粒子薛定谔方程的建立一维自由粒子波函数微分,得到方程得一维自由粒子的薛定谔方程第二十七页，共六十页，2022年，8月28日推广到势场U(x,t)中的粒子三维情况：薛定谔方程为：第二十八页，共六十页，2022年，8月28日E为能量二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能中不显含时间t，将其代入方程：波函数分离变量：

解出：第二十九页，共六十页，2022年，8月28日定态波函数的形式:1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量2．定态中粒子的几率密度不随时间变化空间运动的自由粒子:3.自然条件：单值、有限和连续----定态薛定谔方程第三十页，共六十页，2022年，8月28日0xU(x)=0a§3.5一维问题的薛定谔方程解例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为

这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？第三十一页，共六十页，2022年，8月28日解：由于粒子做一维运动，所以有

由于势能中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。方程的完整解为一维定态薛定谔方程为第三十二页，共六十页，2022年，8月28日1．方程的通解(1)所以波函数为零，即粒子不可能跑到阱外去，(2)

时，，方程为令二阶齐次微分方程，它的通解为式中A、B为两常数。

第三十三页，共六十页，2022年，8月28日2．常数的确定及能量量子化根据波函数的标准条件，波函数应连续，

，(？)当时，表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。第三十四页，共六十页，2022年，8月28日因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论：(1)能量本征值基态能量：——本征能量值，n称为量子数第三十五页，共六十页，2022年，8月28日由归一化条件(2)本征函数系一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：——本征函数，本征态第三十六页，共六十页，2022年，8月28日驻波动量：波长：(3)概率密度(4)动量和波长可得波函数的物理意义：处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。第三十七页，共六十页，2022年，8月28日o一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级n+1个节点第三十八页，共六十页，2022年，8月28日一维谐振子的哈密顿算符为体系的薛定谔方程为能级为波函数一维谐振子U(x)x第三十九页，共六十页，2022年，8月28日隧道效应及势垒贯穿势垒0aU0ⅠⅡ

ⅢⅢ区U(x)=0x≥aⅠ区U(x)=0x≤

0Ⅱ区U(x)=U00≤x≤

aEⅠⅢ经典：粒子动能E<U0时，粒子不能越过势垒Ⅱ区而到达Ⅲ区。或者说，在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的几率为零。

粒子动能E〉U0时，粒子全部进入Ⅲ区域。第四十页，共六十页，2022年，8月28日0a

ⅠⅡⅢEEΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3隧道效应波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进()量子力学结果：

第四十一页，共六十页，2022年，8月28日讨论(1)E>U0,

R≠0,即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入III

区,仍有一定概率被反射回I

区。0a

U0ⅠⅡ

ⅢE第四十二页，共六十页，2022年，8月28日(2)E<U0

,

T≠0,即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III区—隧道效应，它是粒子波动性的表现。透射系数T随势垒宽度a、粒子质量m和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。

第四十三页，共六十页，2022年，8月28日1.氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子的电势能

U和方向无关，为中心力场U(r)

3.6氢原子的量子力学处理球坐标的定态薛定谔方程第四十四页，共六十页，2022年，8月28日2.能量量子化采用分离变量的方法可解得原子的能量为主量子数——主量子数n和能量有关

n=1，2，3，……设波函数形式为第四十五页，共六十页，2022年，8月28日3.角动量量子化原子中电子的轨道角动量大小为4.角动量的空间量子化解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是磁量子数ml——决定轨道角动量在Z方向投影对同一个l角动量Z方向分量可能有2l+1个不同值角量子数l——决定电子的轨道角动量的大小第四十六页，共六十页，2022年，8月28日l=2对z轴旋转对称例：Lz0z角动量大小为Z方向分量有5种取值磁量子数有5种取值即角动量在z轴上仅能取分立的5种取值第四十七页，共六十页，2022年，8月28日本征波函数径向角向电子在（n,l,ml）态下在空间

()处出现的概率密度是5.电子的概率分布角向波函数主量子数

n=1，2，3，……角量子数磁量子数第四十八页，共六十页，2022年，8月28日径向概率密度：（1）径向分布在r——的球壳内找到电子的概率第四十九页，共六十页，2022年，8月28日第五十页，共六十页，2022年，8月28日第五