高中数学圆锥曲线知识点整理

1、学必求其心得，业必贵于专精1、高三数学圆曲线知识整知识整解析几何的基本问题之一:何求曲线(的轨迹程一般分为两类基本题型:是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题,归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中是寻找与动点坐标有关的方等量关系重于数的运算,是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用.在基本轨迹中，除了直线、圆还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。三种圆锥曲线的研究一定,种圆锥曲线均可看成是这样的

点集：

||e

，其中F为定点,d为P定直线的

距离,F

，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性.当〈e<1时，点轨迹是椭圆；当e>1时，点轨迹是双曲线；当e=1时，点轨迹是抛物线.

学必求其心得，业必贵于专精双曲线几何定义|+｜PF|=2a12FF|、F为定点P｜｜PF|-|PF｜，｜121212FF|〉2a，F为定点1212(3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。①

定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。②

定量:椭

圆

双曲线

抛物线焦

距

2c长轴长实轴长

2a-—

—-2a短轴长焦点到对

2b应

P=2

b

pc准线距离通径长

b

2pa

学必求其心得，业必贵于专精离心率

c

1基本量关

C2=a22a22+c系(4)圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：椭

圆

双曲线

抛物线标准方

xa

y

xa

y

y2程

(a>b>0)（±a,0)

（a）顶

点

（±a，0)(0）（0,±b焦

点

（±c,0）

（p）2准

线

X=±

a2c

x=

p2中

心

(0，0)有界性焦半径

｜x||x|≥ax≥0｜y|（x）为圆锥曲线上一点F分别0012为左、右焦点

2、（1学必求其心得，业必贵于专2、（1P在右支时：｜PF｜1=a+ex0｜|PF|=a+exPF|=—a+ex1020|PF｜P在左支时：2

|PF|=x+0

p2=a—ex

0

｜PF｜=1—a-ex0|PF|=a-ex20总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。直线和圆锥曲线位置关系位置关系判断eq\o\ac(△,：)适用对象是二次方程,二次项系数不为其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2（1223（22322学必求其心得，业必贵于专精（2（1223（22322直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研例、

根据下列条件，求双曲线方程。与双曲线与双曲线分析：

xy9xy16

有共同渐近线，且过点（—3，);有公共焦点,且过点（,2）.法一:（1）双曲线

xy9

1

的渐近线为

y

x令x=-3，因

2

3

，故(）在射线23

y

43

x

（x≤0）及x轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为

xa

22

y

22

，b>0）

222222222222（322学必求其心得，业必贵于专精4222222222222（3223((23)解之得：

94

b

2

∴双曲线方程为

xy4

）设双曲线方程为

xa

22

y

22

(a>0）2则)2ab解之得：∴双曲线方程为

xy128

1法二:(1）设双曲线方程为∴(

xy9

(≠0)∴

14∴双曲线方程为

xy4

设双曲线方程为

xy016k∴

2)2k

解之得：k=4∴双曲线方程为

xy128

1

222学必求其心得，业必贵于专精222评注：与双曲线

xa

y

共渐近线的双曲线方程为xa

y

（λ≠0),当λ时,焦点在x轴上;λ<0,焦点在y轴上曲线

xa

22

y

22

共焦点的双曲线为

a

x2

2

y

（a2〉0，b2比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.例、设F、F为椭圆12

xy9

1

的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P是一个直角三角形的三个顶点PF|>|PF｜1212的值。

|PF||PF|解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一:∠PFF时,由21PF|PF|c

得：|1

，

||2

∴

|7||2当∠FPF=900时，同理求得｜｜=4,|=21212∴PF1PF2法二：当∠PFF0，21∴y

x

22222222学必求其心得，业必贵于专精22222222∴P(

5,

43

）又F（）2∴|PF|=2

43∴|PF|=2a｜=12

143当∠FPF=900，由12

2yy94

2

得：（

5,

评注:｜PF|｜PF｜的条件,角顶点应有两种情况，需分类12讨论。例3、点PM(-1，0（1,0的距离之差为2m,到轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意,点的轨迹着手∵||PM|—|PN｜=2m∴点P轨迹为双曲线，方程为

x

ym

2

（|m|<1）①又y=±2x（x）②①②联立得：

x

2

(1)将此式看成是

2

(1

)

关于x二次函数式次函数值域，

2从而得到m的取值范围。根据双曲线有界性：｜x|>m，x〉m

学必求其心得，业必贵于专精∴

m(1m)5m

m

又0<m2〈1∴—5m

2∴

且m∴

(

5,0)5

)评注：利用双曲线的定义找到点轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想,建立函数关系式。例4、知x22=1，双曲线（x-1）2-y，直线

同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两;②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线分析：

方程。选择适当的直线方程形式，

把条

是圆的切线"切点是弦AB参数的方程组。法一:斜率不存在时，

点为关于x=满足；当

斜率存在时，设：y=kx+b与⊙O相切,设切点为M，则|OM｜=1∴

2∴22+1①

2222202学必求其心得，业必贵于专精2222202由

kx(xy

得）x22当≠±1且△>0时)中点,y112200x1

2(11

,x0

11∴y=kx+b=00

k1∵M在⊙O上∴x2+y2=100∴+（k+b2=—k2)2

②由①②得:

3k32b3

或

2b3∴：

y

x3

或

y

2法二:M(x)则切线AB程xx+yy=10000当y=0时，x显然只有x=-1满足；00当y≠0时,0

xyxy0

y0代入(x）2-y=1得:(y2—x22+2(x-y）2x-1=00000∵y2+x2=100∴可进一步化简方程为:（1—2x2)x2（x2+x-1）000由中点坐标公式及韦达定理得

x0

x

x0

00

2

∴即2x3-x2—2x+1=0000解之得：x=±1()=00

12

（1（2（3（4（522学必求其心得，业必贵于专精（1（2（3（4（522∴y=0

.下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件和“中点于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步.例5、A是抛物线（p〉0）上的两点，且OA求A两点的横坐标之积和纵坐标之积；求证:直线AB过定点；求弦AB中点的轨迹方程；求△AOB面积的最小值；O在AB的射影M轨迹方程。分析：设A(x，y)，中点（x，y)112200(1)

k

yx

11

,kOB

yx

22∵OA⊥OB∴kk=-1∴xx+yy=01212∵y2=2px，y2=2px1122∴

y122p2p

y1

0∵y，y≠012∴yy212

112220202学必求其心得，业必贵于专精112220202∴xx212(2)∵y2=2px，y2=2px1122∴（y-y）(y+y)=2p(x-x)121212∴

yy2p12xy11

2∴

k

AB

yy

∴直线AB

y

yy

(xx)∴

y

2pxyy121

2∴

y12

2pxy112y1∵

y

1

2

2px,1

yy12

2∴

4py121

2∴

y

2pyy

(x

2p)∴AB过定点(，0)，设M）设OA∶y=kx代入2=2px得：x=0,x=

k

2∴A(

2p2,kk

）同理，以

k

代k2，—）∴

1xp(k)kyP(k)k∵

k

2

1kkkk

)

2

2

3学必求其心得，业必贵于专精3∴

x0

y0)

2

即y2=px200∴中点M轨迹方程y(4)

S

AOB

AOM

BOM

12

||(|y1

||)2

p(|y|1

|y2≥

2p|y|4p1

2当且仅当｜y|=|y|=2p，等号成立12评注：充分利用（1)的结论。）法一:H（x，y则33

k

OH

yx

33∴

k

xy

33∴AB:

yy3

xy

3(x)33即

x

yx

33

(yy)x33

代入y

2=2p

2

2py2p3

33

2

3

0由（1）知，yy=-4p12∴

2py33

2

2px4p3

2整理得：x2+y-2px=0333∴点H轨迹方程为x2+y2去掉（0法二:∠OHM=90,又由（2知OM为定线段∴H在以OM直径的圆上∴点H轨迹方程为x-p)2+y2，去掉(0,0例6设双曲线

x

y2

1

上两点A中点M）

（1（1学必求其心得，业必贵于专精（1（1求直线AB方程；）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于、D两点，那么A、C、D是否共圆，为什?分析法一：显然AB斜率存在设AB:y—2=k(x）由

kxy

得—k+4k-6=0当△〉0时，设A（x,y）1122则

xk(2222k∴足△>0∴直线AB:y=x+1法二：设A(x,y),y）1122则

y222两式相减得：(x)（x+x)=(y—y）121212122∵x≠x1

2∴

yy2(xx)12xy12∴

k

AB

22

1∴AB：y=x+1

学必求其心得，业必贵于专精代入

x

y2

1

得：△〉0评注:法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件△〉0是否成立。）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论,检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于⊙，因AB为弦，故A