九年级数学圆的性质及习题

/14CC7rE4a-rB3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。(1)同弧所对的圆周角相等。(2)直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角；它所对的弦是直径。4、在同圆或等圆中；两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等；其余四对量也分别相等。5、夹在平行线间的两条弧相等。6、设。O的半径为r；OP=d。d<r(r>d) 点P在。O内d=r <=>点P在。。上7、(8>世的点附师向j”HB0,曲句连线段的中垂线上。(2)不在同一直线上的三点确定一个圆；圆心是三边中垂线的交点；它到三个点的距离相等。(直角三角形的外心就是斜边的中点。)8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离；r表示圆的半径。直线与圆有两个交点；直线与圆相交；直线与圆只有一个交点；直线与圆相切；直线与圆没有交点；直线与圆相离。2d<r(r>d)<=>直线与圆相交。d=r 直线与圆相切。荤上工力。)二三2直线与圆相离； / 、9、平面苴角坐标系中；A(xi；yi)、B(X2；'公。则AB=(Xi-X2)2(yi-y2)210、圆的切线判定。(1)d=r时；直线是圆的切线。切点不明确：画垂直；证半径。(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。切点明确：连半径；证垂直。11、圆的切线的性质(补充)。(1)经过切点的直径一定垂直于切线。(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。12、切线长定理。(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线；切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。(2)切线长定理。•••PA、PB切。。于点A、BPA=PB;Z1=Z2013、内切圆及有关计算。(1)三角形内切圆的圆心是三个内螂跳分跳的交点；它到三边的期离相等。(2)如图；^ABC中；AB=5;BC=6;AC=7;。。切^ABC三边于点D、E、F。求：AD、BE、CF的长。分析：设AD=x;WJAD=AF=x;BD=BE=5-x;CE=CF=7—x.可得方程：5—x+7—x=6;解得x=3AABC中；ZC=90;AC=b;BC=a；AB=c。求内切圆的半径r。分析：先证得正方形ODCE;得CD=CE=r

AD=AF=b—r；BE=BF=a—rb—r+a—r=c徨lab-c付r 21，， 、Saabc=—r(a+b+c)214、(补充)弦切角：角的顶点在圆周上；角的一边是圆的切线；另一边是圆的弦。如图；BC切。。于点B;AB为弦；/ABC叫弦切角；/ABC=/D。相交弦定理。圆的两条弦AB与CD相交于点P;则PA-PB=PC-PDo切割线定理。如图；PA切。。于点A;PBC弦切角：角的顶点在圆周上；角的一边是圆的切线；另一边是圆的弦。如图；BC切。。于点B;AB为弦；/ABC叫弦切角；/ABC=/D。相交弦定理。圆的两条弦AB与CD相交于点P;则PA-PB=PC-PDo切割线定理。如图；PA切。。于点A;PBC是。。的割线；则(4)推论：如图;PAB、PCD是。。的割线；则pa2=pb-PC。PA•PB=PC-PD015、圆与圆的位置关系0APOC(3)图(1)外离：外切：相交：内切：内含：(2)性质。交点有0个;交点有1个;r1-r2<d<n+r2；交点有2个；'相切d=c—「2； 交点有1个；0<d<r1-r2； 交点有0个。相离相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。(1)相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。(1)弧长有L表示；圆心角用n表示；圆的半径用R表小。L=-2RL=-2R=360n「R180(2)(2)扇形的面积用S表小。Cnr2S=R360n二R2360-n二RR1_Cnr2S=R360n二R2360-n二RR1_S= IR1802 2(3)圆锥的侧面展开图是扇形。r为底面圆的半径；a为母线长。扇形的圆心角a=-^3600S侧=二ara2S全=ar+r圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径2.圆是轴对称图形；任何一条直径所在的直线都是它的图形；圆心 是它的对称中心。对称轴对称.垂直于弦的直径平分 这条弦;并且平分弦所对的弧 ;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；并且平分 弦所对的弧 。.在同圆或等圆中；如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两条弦心距；两个圆周角中有一组量 相等;那么它们所对应的其余各组量都分别 相等。.同弧或等弧所对的圆周角 相等；都等于它所对的圆心角的 一半。.直径所对的圆周角是90° ;90°所对的弦是直径。.三角形的三个顶点确定J个圆；这个圆叫做三角形的外接圆；三角形的外接圆的圆心叫 J\心；是三角形三边垂直平分线 的交点。.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆;内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点的交点；叫做三角形的内心。.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形;叫圆内接四边形..圆内接四边形对角互补；它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系.点与圆的位置关系共有三种：① 点在圆外 ；②点在圆上 ；③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d>r;②d=r;③d<r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交；②相切；③相离对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为:①d<r;②d=r;③d>r..圆与圆的位置关系共有五种：①内含;②相内切;③相交;④相外切;⑤外离;两圆的圆心距d和两圆的半径Rr(R>r)之间的数量关系分别为：①d<R-r;②d=R-r;③R-r<d<R+r;④d=R+r;⑤d>R+r..圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过直径的一端；并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线..从圆外一点可以向圆引N条切线； 切线长相等；这点与圆心之间的连线 平分这两条切线的夹角。n。的圆心角所对的弧长n。的圆心角所对的弧长).二r1.圆的周长为2兀r;1。的圆心角所对的弧长为 180n二r为180；弧长公式为l="n8胪n为圆心角的度数上为圆半径.圆的面积为 兀r2 .圆的面积为 兀r2 ;；'；R= 1~rl (n360 2 (n1。的圆心角所在的扇形面积为为圆心角的度数；R为圆的半径)二r2360.圆柱的侧面积公式：S=2nrl(其中r为底面圆的半径;n。的圆心角所在的扇形面积为;l为圆柱的高.)S=4.圆锥的侧面积公式：S5r4.圆锥的侧面积公式：S5rl(其中r为底面的半径;l为母线的长.)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积测试题3分；共45分）1.在^ABC中；/C=90°;测试题3分；共45分）1.在^ABC中；/C=90°;AB=3cm；BC=2cm；以点A为圆心；以2.5cm为半径作圆；则点C和。A的位置关系是（）。A.C在OA上C在OA内2一个点到圆的最大距离为A16cm或6cmB.C在OA外C在OA位置不能确定。11cm;最小距离为5cm;则圆的半径为（ ）。B.3cm或8cmC.3cmD.8cm.AB是。。的弦；/AOB=80°则弦AB所对的圆周角是（ ）。A.40°B,140°或40°C,20°D,20°或160°.。是4ABC的内心；/BOC^130°;则/A的度数为（ ）。A.130° B,60°C.70° D,80°贝U/DFE的度数.如图1;OO是△ABC的内切圆；切点分别是D、E、F;已知/A=100°;/C=30贝U/DFE的度数A.55° B.60°C.65° D,70°

.如图2;边长为12米的正方形池塘的周围是草地；池塘边ABCD处各有一棵树；且AB=BC=CD=3e,现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大；应将绳子拴在（ ）。A.A处B.B处C.C处D.D处TOC\o"1-5"\h\z图1 图2.已知两圆的半径分别是 2和4;圆心距是3;那么这两圆的位置是（ ）。A.内含 B.内切C.相交 D.外切.已知半径为R和r的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ）。A.R+r B.$R2+r2C.R+r D.2Rr.已知圆锥的底面半径为 3;高为4;则圆锥的侧面积为（ ）。A.IO%B.12兀 C.15兀 D.20%.如果在一个顶点周围用两个正方形和 n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌；则n的值是（ ）。A.3 B.4C.5D.6.下列语句中不正确的有（ ）。①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③圆是轴对称图形；任何一条直径都是它的对称轴④长度相等的两条弧是等弧TOC\o"1-5"\h\zA.3个 B.2个 C.1个 D.4个3.先作半径为—色的第一个圆的外切正六边形；接着作上述外切正六边形的外接圆；再作上述外接圆的外2切正六边形；…；则按以上规律作出的第 8个外切正六边形的边长为（ ）。A.弓a7 b,弓向8c,（37口.（鸟83 3 2 2.如图3;/ABC中；/C=90°;BC=4AC=3;。。内切于』ABC;则阴影部分面积为（）A.12-兀 B.12-2兀C.14-4兀D.6-兀.如图4;在△ABC中；BC=4;以点A为圆心、2为半径的。A与BC相切于点D;交AB于E;交AC于F;点P是。A上的一点；且/EP已40。；则图中阴影部分的面积是（ ）。A.4 A.4 兀B.4——兀C.8——兀9 9 915.如图5;圆内接四边形ABC而BACD的延长线交于A.2对 B.3对C.4对8D.8一一氏9P;AGBD交于E;则图中相似三角形有（ ）。D.5对图3图4图3图4二、填空题（每小题3分；共30分）.两圆相切；圆心距为9cm;已知其中一圆半径为5cm;另一圆半径为..两个同心圆；小圆的切线被大圆截得的部分为 6;则两圆围成的环形面积为.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为。

.同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为。.矩形ABCM;对角线AC=4;ZACB=30°;以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是。.扇形的圆心角度数60。；面积6兀；则扇形的周长为。.圆的半径为4cm；弓形弧的度数为60。；则弓形的面积为。.在半彳仝为5cm的圆内有两条平行弦；一条弦长为 6cm；另一条弦长为8cm；则两条平行弦之间的距离为.如图6;4ABC内接于。QAB=AC/BOC=100;MN^过B点而垂直于OB的直线；则/ABM=/CBN= .如图7;在矢I形ABCM;已知AB=8cm；将矩形绕点 A旋车9 90°;到达A' B' C D'的位置；则在转过程中；边CD扫过的(阴影部分)面积S=。三、解答下列各题(第9题11分；1.如图；P是。。外一点；PABPCM别与。O相交于ABC、D。(1)PO平分/BPQ(2)AB=CD;(3)OE±CqOF，AB;(4)OE=OF。2.如图；O。的圆心在。O2.如图；O。的圆心在。O的圆周上；OO和。O交于A;B;AC切。。于A;连结CB;=40°求：/AO1B、/ACB和/CAD的度数。BD是。。的直径；/D.已知：如图20;在△ABC中；/BAC=120;AB=ACBC=4<3;以A为圆心；2为半径作。A;试问：直线BC与。A的关系如何？并证明你的结论。.如图；ABCDt。。的内接四边形； DP//AC;交BA的延长线于 P;求证：AD- DC=PA-BC=OCABOCAB.如图/ABC中/A=90°;以AB为直径的。。交BC于D;E为AC边中点；求证：DE是。。的切线。Mo.如图；已知扇形OAC冲；/AOB=120°;弧AB长为L=4兀；OO和弧AROAOB分别相切于点C、'E;求。。的周长。CC.如图；半径为2的正三角形ABC的中心为O;过O与两个顶点画弧；求这三条弧所围成的阴影部分的面积。.如图；AABC的/C=Rt/; BC=4; AC=3;两个外切的等圆。O; O C2各与AB; AC; BC相切于F;H; E;G;求两圆的半径。cc.如图①、②、③中；点E、D分别是正^ABC正四边形ABCM正五边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点；且 BE=CD;DB交AE于P点。⑴求图①中；/APD的度数；⑵图②中；/APD的度数为;图③中；/APD的度数为;⑶根据前面探索；你能否将本题推广到一般的正 n边形情况.若能；写出推广问题和结论；若不能；请说明理由。图①图②图③图①图②图③参考答案一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B7、C8、D9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C二、1、4cm或14cm;2、9兀；3、2/3兀；4^/3兀；4、4：3;5、（24+873）兀；6、12+2兀；7、（8兀-4嘉）cm2;8、7cm或1cm；29、65;50;10、16兀5。 3二、1、命题1;条件③④结论①②； 命题2;条件②③结论①④.证明：命题1:0吐CD;OF±AB;OE=OF;AB=CDPO平分/BPD2、/AOiB=140°;/ACB=7CT;/CAD=