高考专题练习 古典概型

331．基本件的特点任何两个基本事件是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典型特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性；②每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．概率公式(A)＝

包含的基本事件的个数基本事件的总数

.一、思考辨析判断正误正确的打“√”，错误的打“×”“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．()(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那每种颜色的球被摸到的可能性相同．()1“从长为1线段上任取一点求满足≤的概率是多少”是古典概型．()答案：×

(2)×

(3)×

(4)×二、易错纠偏常见误区|

(1)列举基本事件不准确导致基本事件的个数错误；对事件A的限制条件理解不正确致误．1．从2名男同学和名女同学中任选2参加社区服务，则选中的人都是女同学的概率为()A．0.6C．0.4

B．D．0.3

412312114123121111212322111222312＝解析：选D．将名男同学分别记为，3名女同学分别记为ab，c.设“选中的人都是女同学为事件从5名学中任选人参加社区服务的所有可能情况有(，y，(x，a)，，b，c，，a，(y，b)，，，(a，b，a，(b)，共10，其中事件A含的可能情况有(ab，(a)b，c，共种，故()

310

＝0.3.选D21中任意取出两个不同的数和为偶数的概率是________．解析：的基本事件有(12)，(1，，4)，，，，3)，，，，5)(3，，，5)，(4，，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1，，，，4)，，5)，个，所以所求概率P＝10

.答案：

253中有形状小完全相同的5个球中红色球个色球2个从中随机取出2球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．解析：个红色球为A，，，2黄色球为，B，球随机取出个球的基本事件有A，，B，AB，，，B，AB，，B，10种．其中2个球的颜色不同的有，B，AB，，，B，共种，以所求概率为

610

.答案：

35简单的古典概型(师生共研)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有，，人，现采用分层抽样的方法，

..从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况．应从老、中、青员工中分别抽取多少人？抽取的25中享受至少两项专项附加扣除的员工有人分别记为，，CD，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受”表示不享受．现从这6中随机抽取2人接受采访．员工项目子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人

○××○×○

○××○×○

C×○××○×

D○×○×××

×○×○××

F○○×○×○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M事件“抽取的人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【解】

由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10．①从已知的人中随机抽取2的所有可能结果为(A，B)，，C)，，D)，A，E，，F)，，C，B，D)，B，E)，，)，，)，，E)，，F)，(，，D，F)，(E，F，共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A，，D)，，E，(，F)，，D)，，)，B，F，(，E)，F)，，F)，E，F，共11．所以，事件M发生的概率(M)

1115古典概型中基本事件的探求方法

2121利用公式法求解古典概型问题的步骤1．(2020·高考全国卷设O为正方形的中心，在，A，，C，中任取3，则取到的3点共线的概率为)A．

15

B．

25C．

12

D．

45解析：选A根据题意作出图形，如图所示，在，A，，C，任取3点，10可能情况，分别为OAC)，()，OBC，(，()，ABC，()，(ACD，BCD，中取到的3点线有(和(种可能情况，以在，，BCD任取点，取到的3共线的概率为＝105

，故选A2．(2021·河南六市一模五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若5元素中任选2元素，则2类元素相生的概率为)

511111111115111111111111111111122333A．

12

B．

13C．

14

D．

15解析：选A从元素中任选元素，基本事件总数n10，2类元素相生包含的基本事件有个，则类元素相生的概率P＝102

.选A3．某城市鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策不超过9站的地铁票价如下表现有甲乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁已知他们乘坐地铁都不超过站且他们各自在每一站下车的可能性是相同的．乘坐站数x，x∈N*票价元)

0<x≤31

x≤62

6<x≤93若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率．解：由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为，，C，甲、乙两人共(A，A)(，)(A，)(，)(B，B)(，C)，(C，)，(，B)，，)9下车方案．设站分别为，，C，，B，C，AB，为甲、乙两人共付费元，有甲付元，付元；甲付3元，付元；甲付2元，付元三类情况．由(可知每类情况中有9方案所以甲、乙两人共付费4元有27方案．

1113131313111321113131313111322222124而甲比乙先到达目的地的方案有(A)(A)(C(BA)(，)，(B，C)，(，)，(C，，(C，C，(A，)，(，C)，(B，)，共种，故所求概率为＝279

.所以甲比乙先到达目的地的概率为

49

.古典概型中的交汇问题(多维探究)角度一

古典概型与平面向量的交汇从集合{，，4，5}中随机抽取一个数，从集合{，35}中随机抽取一个数b则向量＝(a，b与向量(1，－垂直的概率为()A．

16

B．

13C．

14

D．

12【解析】

由题意可知m(a，b)(21)，(2，3)，，5)，，1)，(3，3)(3，，，1)，(4，，(4，，(5，，，，，，共12种情况．因为⊥n，n，所以×＋×(－＝，即ab，满足条件的有(3，，(5，共种，故所求的概率为

16

.【答案】

A角度二

古典概型与函数(方程)的交汇已知a∈{，0，1，23}，b∈{3，5}，则函数f)＝a2)eb为减函数的概率是()A．

310

B．

35

mn22m2＝mn22m2＝C．

25

D．

15【解析】

函数f(x)(

2＋b减函数，则22又a{，，13}故只有＝0a1足题意又b∈{35}所以函数f()a

－2)e＋b减函数的概率是

2×22＝5×25

.选．【答案】

C角度三

古典概型与解析几何的交汇将一颗骰子先后抛掷2次观察向上的点数将一次向上的点数记x2为，第二次向上的点数记为，曲线C：＋＝1.则曲线C的焦点在轴上223且离心率≤的概率等于()A．

56

B．

16C．

34

D．

143【解析】因为离心率e≤

n11≤≥由列举法得，当＝6，n54，3当＝5时，n，；当m4，n3，2当＝3，n2当m时，＝1，种情况，故其概率为

916×64

.选D【答案】

D解决古典概型中交汇问题的方法解决与古典概型交汇的问题时把相关的知识转化为事件，列举基本事件求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．1．将一枚地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b则方程2

＋bx＋1＝0有实数解的概率是()7A．36

B．

12

362123362123C．

1936

D．

518解析：选C所点a和b满的a≤6，a∈N*，b≤6，b∈N*，

所以组合有36种2

＋＋10有实数解，则

2

－4a0，以

2

≥4a.当＝时没有符合条件；当＝时a取；当＝时a取，2当＝，a可取，，3，4当＝5时，a可取，2，3，45，6当b6，a取，，3，4，5，6.满足条件的组合有种，则方程19，故选C

ax2＋1有实数解的概率为P12．设a∈{24}，b∈{1，3}，函数f()＝ax＋＋1.求f()在区间－∞，－是减函数的概率；从f()中随机抽取两个，求它们在1f(1))处的切线互相平行的概率．b解：由题意－≥－1，≤2×a而a，b共有(2，1)，3)，，1)，(4，4种，满足b≤a有，故概率为4

.由(1)知，函数f()有种情况，从中随机抽取两个，有抽法．因为函数f()(1，的切线的斜率为f所以这两个函数中的与b之和应该相等，而只(2，3)，，1)1组满足，故概率为

16

.

核心素养系列

数学建模——求古典概型的概率已知某校甲乙丙三个年级的学生志愿者人数分别为240160160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？设抽出的7名同学分别用，B，D，，F，G表示，现从中随机抽取2同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解】由已知甲三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取名同学因此应从甲三个年级的学生志愿者中分别抽取人，2人，2．①从抽取的名同学中随机抽取2同学的所有可能结果为(，B，C)，，D，，)，(，F，，，，C)，，)，，E，(，)，，G)，，)，，E)，(，)，，G)，D，E，(DF)，D，，(EF)(E，G)，F，G)，21．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，，C，自乙年级的是D，，来自丙年级的是F，G，从抽出的7名学中随机抽取的名同学来自同一年级的所有可能结果为(A)，C，C)D，E)FG)，共种．所以，事件M发生的概率(M)

521

.本题主要考查随机抽样列举法计算随机事件所含的基本事件数典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．培养学生的数学建模能力．(2021·成都市第一次诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过

3m3343m334程中的用水量情况对日用水量做了记录得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表，日用水量(单位：吨)频数频率

[70，3n

[80，60.5

[90，mp求m，n，p的值；已知样本中日用水量在[80，内的这6个数据分别8385，，，8889.从这数据中随机抽取2个，求抽取的数据中至少有一个大于的概率．解：因为＋6m，所以＝3，所以＝＝p＝＝1212所以＝3，np从这个数据中随机抽取2数据的情况有((83(8387)，(83，88)，(83，89)，(8586)，(85，87)，，，(85，89)，，87)，，88)，(86，89)，(87，(87，89)，(88，89)共15．其中个数据都小于或等于的情况有(83，85)，(83，，(85共3．故抽取的个数据中至少有一个大于的概率为P1＝155

.[A级

基础练]1．年广东新高考将实行＋＋2式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治假若他们都对后面三科没有偏好则他们选课相同的概率为()

＝93＝105＝93＝105A．

12

B．

13C．

16

D．

19解析：选B记地理、化学、生物分别为D，H，，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，D，S)，H，D)(H，)，(H，)，(S，D，(S，H)，，S)，种明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H，，31S)，有种情况，以他们选课相同的概率为，故选B2．(2021·石家庄10月质检北京冬奥会将于年月4日到20222月20日在北京和张家口举行．申奥成功后，中国邮政陆续发行多款邮票，图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰雪运动等．现2会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取枚，则恰1吉祥物邮票的概率为()A．

310

B．

12C．

35

D．

710解析：C记枚邮票中吉祥物邮票为x，y，余三枚为，b，c，从5枚邮票中任取3枚的基本事件为，，，bcx，bcy，，acy，axy，cxy10.3中恰有枚吉祥物邮票的基本事件为，63，acy，个．所以恰有1吉祥物邮票的概率为P故选．3．(2021·江西鹰潭二模我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个质数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为质数)，在不超过的质数中，随机选2不同的质数ab，则－b概率是()A．

15

B．

415

156351156351C．

13

D．

25解析：选B不超过15的数有，，5，，11，13共个，随机选取2不同的数基本事件总数＝15a含的基本事件有(23)(35)，4(57)，，13)，4，所以其对应的概率为P＝故选B4．生物实室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．

23

B．

35C．

25

D．

15解析：选B设只测量过某项指标的兔子为，B，，另只兔子为，b，这5只兔子中随机取出3，则基本事件共有，分别为(，B，)，，B，a)(A，b，，C)，(，，b)，，a，b)，(B，，a)，B，C，b，(，a，b)，，a，b，其中“恰有2只测量过该指标”取法有6，分别为(，B，a，(A，，b)，，C，a，(A，b)，，C，a，(B，，b)，因此所求的概率为＝105

，选B5．在边长1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1概率为()A．

15

B．

25C．

12

D．

35解析：选C如图正五边形ABCDE边长为，任取两个顶点有，，，，，BD，，CE，共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有，，CD，DE，EA，下的情况两顶点间距离均大于，各有种可能，所以任取两顶点两顶点间距离大于1的概率为＝＝10

，故选

＝212x11＝212x11C．6．年国庆档上映的影片包含《夺冠和我的家乡一点就到家》《急先锋兰横空出世子牙中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部．则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为_解析：甲观看了六部中的两部有种选法，观看了六部中的一部有种选法，分步乘法计数原理，甲、乙两人观看六部影片的所有选法有×＝90(种．若甲、乙两人观看了同一部动画则需从《木空出世中挑选一部，有种选法甲还需从剩余的五部影片中任选一部，有5选法，由分步乘法计数原理知甲、乙两人观看了同一部动画片的所有选法有2×510，所以所求概率＝

101909

.答案：

197．在集合＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n得到点m，n)，则点P圆＋9内部的概率为________．解析：点P(m，n)有(21)，(2，(2，3)，(3，1)，，2)，，，种情况，只有(2，1)，2)个点在圆x2

＋y2

＝9内部，所求概率为＝63

.答案：

138．设

a∈{1，，b∈，4，6

，则函数

1y＝是减函数的概率为ba________．解析：因为f()

在区间(0，∞)上是减函数，函数＝是减函数，xa

b21a126b21a126所以＞因为∈{123}，b∈a

，4，6的基本事件有1b

12

；a1b4a，b6a2b

ab4a2b6a3b；2ba3b4＝3b69情况满足>1的所有基本事件有＝b；a1＝6＝，b4＝b6＝3＝＝b6共种情况，所以函数ylog是减函数的概率为bx

.答案：

23

a9．(2021·长春市质量检(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课为了更好地将课程内容呈现给学生现对某一时段云课的点击量进行统计如下：点击量节数

[016

(1000，3000]18

(3000，＋∞12现从节云课中采用分层抽样的方式选出节，求选出的点击量超过3000节数；为了更好地搭建云课平台将云课进行剪辑点击量在区间[000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1，3，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过000则不需要剪辑，现从(1)中选出的节课中任意选出2课进行剪辑，求剪辑时间为40钟的概率．解：根据分层抽样，从36云课中选出节课，其中点击量超过3000的节数为36

×122.在(1)选出的节课中，击量在区间[1的有节，击量在区间(1，的有节，点击量在区间(3000，∞)内的有，设点击量在区间[0，1的节课为A1

，击量在区间(1000，3000]内的节课分别为B1，B3点击量超过32课分别为C，2.

12311231121112322132511212161224从中选出节课的方式有ACACBBBC，C，，BC，B，B，，，共15，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C11，B2，B1B，2B3，5，则剪辑时间为分钟的概率为P＝153

.10地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗，B，C经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B，的自然成活率均为0.9.若引种树苗，B，各棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①中估计的结论从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵抽到的2都是树苗A的概率．该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利不低于20元，问至少引种种树苗多少棵？解(1)①依题意10×0.8100.910×0.926所以自然成活的总棵数约为26.②没有自然成活的树苗共棵，中棵种树苗，1B树苗，1C种树苗分别设为a

bc从中随机抽取2可能的情况有()(a，1b，(a，)，a，)，(，c，(b，)，到的棵都是树苗A概率为3设该农户引种种树苗棵成活的棵数为＋－n××0.8＝，n＝由×300－×50≥200，所以该农户至少引种700B树苗，获利不低于万元．

811212112811212112111212122111221122212121122212121112111212122111221[B级

综合练]11个三位数个位位百位上的数字依次为当仅当>x，yz，称这样的数为“凸数”如，现从集合{，23，中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为)A．

23

B．

13C．

16

D．

112解析：B从集{，2，34}取出三个不相同的数组成一个三位数共有个结果：，134,143，，，231，234，243，312，314321324341342，412413421，423431432其中是“凸数”的是，142，143231241243，342，个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝243

，故选B12．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．

16

B．

14C．

13

D．

12解析：D将两位男同学分别记为，，位女同学分别记为B，，则四位同学排成一列，情况有B，AAB，，AABB，B，ABA，，ABAB，B，BAA，，BAAB，A，ABB，，ABBA，A，BBA，，BBAA，A，BAB，，BABA，共有24其中名女同学相邻的有12，以所求概率P

12

，故选D

11ijij1211ijij12310→→→111102828913如图，在平面直角坐标系，O为正十边形AAA…的中心，在x轴正半轴上，任取不同的两点A，(其≤ij10且i∈，j∈)，→→→点满足2＋OA＋0，则点P在第二象限的概率是_______解析：在正十边形AA的十个顶点中任取两个不同的取法有45(种，满足OPOAi＋OAj0，点P在第二象限的不同取法有(17，A，)，，)，(A，A)，，)，(A，A)，，)，(A，A)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为

845

.答案：

84514概率的起源：在，世纪，常把随机现象当作数学问题处理．当时有一个法国人叫梅累骑士次他和朋友尼古拉斯打赌赌注是64个金币则是扔骰子，先扔出三次“6点”的话梅累就获胜，先扔出三次“点”的话则尼古拉斯获胜，玩了几次之后，战况如下，出现了两次点”，一次4”，这个时候据说国王突然宣他们觐见赌博只有中断自然会产生一个问题赌资如何分配？尼古拉斯说，梅累只需要再出现一次“6点”就可获胜，而自己要出现两次“4点”才行，因此梅累应该获得两倍于自己的赌注，即按如下的比例来分配赌注：21.梅累可不这么认为，他说自己只要再胜一次就可以获胜，而尼古拉斯要再胜一次才能和他平分秋色，所以他认为应该按照如下比例分配赌注：3∶1.这就是数学史上著名的赌注分配问题．根据所学的概率知识，你觉得如果继续玩下去，梅累骑士胜的概率为________．解析：果继续玩下去，局(没有出现4的除外)之后的结果有以下四种：，，，，，，，，其中(，6)，，4)，(6，6)是梅累骑士

－＝101010－＝101010胜，所以梅累骑士胜的概率为

34

.答案：

34[C级

提升练]15费马大定理Fermat’sLastTheorem)又被称为“费马最后的定理”，由17纪法国数学家皮耶·德费马提出．他断言当整数n时，关于x，y，z的方程xn

＋yn

＝z

n

没有正整数解．他提出后，历经多人猜