河北省衡水中学2023届高考数学押题卷三理(含解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学〔Ⅲ〕第一卷一、选择题：此题共12个小题,每题5分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数，那么=〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得：，那么=.此题选择C选项.2.集合，，那么=〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：，那么=.此题选择A选项.3.函数的最小正周期为，那么函数的图象〔〕A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向左平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由得，那么的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，应选D.4.实数，满足约束条件那么的最大值为〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值.此题选择B选项.5.一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，假设，，，那么=〔〕A.B.1C.D.-3【答案】A【解析】由几何关系可得：，那么：，即：，那么=.此题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量根本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6.在如下图的正方向中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线为正态分布的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔附：假设，那么，.〔〕A.906B.1359C.2718D.3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影局部的面积，那么落入阴影局部〔曲线为正态分布的密度曲线〕的点的个数的估计值为.此题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7.某几何体的三视图如下图，其中俯视图下半局部是半径为2的半圆，那么该几何体的外表积是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的外表积，此题选择B选项.8.数列中，，.假设如下图的程序框图是用来计算该数列的第2023项，那么判断框内的条件是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，那么判断框内的条件是.此题选择B选项.9.5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，那么=〔〕A.3B.C.D.4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，应选B．10.抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，假设=2，那么=〔〕A.B.1C.2D.3【答案】B【解析】由题意：M〔x0，2√2〕在抛物线上，那么8=2px0，那么px0=4，①由抛物线的性质可知,，，那么，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，那么，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，应选：B．【点睛】此题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11.假设定义在上的可导函数满足，且，那么当时，不等式的解集为〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，那么不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.此题选择D选项.12.是方程的实根，那么关于实数的判断正确的选项是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】令，那么，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有：.此题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.假设的展开式中项的系数为20，那么的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14.中，内角，，的对边分别为，，，假设，，那么的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，那么的面积为.【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，那么，所以双曲线的离心率.16.以下命题：①命题“，〞的否认是“，〞；②，为两个命题，假设“〞为假命题，那么“为真命题〞；③“〞是“〞的充分不必要条件；④“假设，那么且〞的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，〞的否认是“，〞；②，为两个命题，假设“〞为假命题，那么“为真命题〞；③“〞是“〞的必要不充分条件；④“假设，那么且〞是假命题，那么它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为数列的前项和，且，，.〔1〕证明：数列为等比数列；〔2〕求.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析：〔1〕因为，所以，即，那么，所以，又，故数列为等比数列.〔2〕由〔1〕知，所以，故.设，那么，所以，所以，所以.点睛：证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝an－1·an＋1.假设判断一个数列不是等比数列，那么只需举出反例即可，也可以用反证法．18.如下图，四棱锥，平面平面，，，,.〔1〕求证：；〔2〕假设二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：〔1〕中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以.〔2〕由〔1〕平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高〔单位：〕频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表〔1〕求该校高一女生的人数；〔2〕估计该校学生身高在的概率；〔3〕以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】〔1〕300；〔2〕；〔3〕见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3)由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为.试题解析：〔1〕设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，那么，解得.即高一女学生人数为300.〔2〕由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.〔3〕由题意可得的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20.中，是的中点，，其周长为，假设点在线段上，且.〔1〕建立适宜的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；〔2〕假设，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】〔1〕；〔2〕见解析.【解析】试题分析：〔1〕由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；〔2〕由〔1〕中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：〔1〕以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆〔除去长轴端点〕，所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.〔2〕设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：〔1〕以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，那么，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆〔除去长轴端点〕，所以点的轨迹的方程为.〔2〕设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21.函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.〔1〕求函数的解析式；〔2〕当时，求证：；〔3〕假设对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕见解析；〔3〕.【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)别离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：〔1〕根据题意，得，那么.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.〔2〕令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.〔3〕对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由〔2〕可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为〔为参数〕.〔1〕求，的直角坐标方程；〔2〕与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2)不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，那么为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.【点睛】此题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几