南开大学2005年数学分析考研试题

南开大学南开大学2005年数学分析考研试题2.设uux为由方程组dudx3.求极限lim2.设uux为由方程组dudx3.求极限limn1—4n2=12T4n1TLT4n^.求证fxS4dt在a上连续.判断级数11-L-的敛散性.1!2!n!1.计算二重积分I x2ydxdy,其中Dx,y R2:xy1Dufx,y,zgx,y,z 0确定的隐函数，求hx,y,z0C,有Px,ydxCQx,ydy0,求证—x8C,有Px,ydxCQx,ydy0,求证—x8.设fx在0,a上两次可导，f0f0fa并且对任何x0,a,有fx1.设gxax,0x—2a

ax,xa2(1)求证fxgx；(2)求证存在x0,a,使得fx0g%;(3)求证a2..设函数fx在1,1上连续可导，且f0 0,(1)求证1fx在1,1上一致收敛;n1nn(2)设Sx1f个，求证Sx在1,1上连续可导.n1nn.设Px,y,Qx,y在全平面R2上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周.设fx和gx在区间a,b内有定义，对任何x,x0 a,b,有fxf%g/xx0,(1)求证fx在a,b内连续;(2)fx在a,b内左导数、右导数存在南开大学南开大学2005年数学分析考研试题的解答1 1 1 1 1、解由于D关于x轴对称,被积函数关于y成奇函数，所以该积分为0.2、解dufxdx其中gxhxygy一xzgz-xhyhy—hz—x0求出,0hxgzhzgx

gyhzgzhyhxgy hygx3、解〜, 1原式.lim4、证明设，a(x,t)显然对任意对每x(0,且当t时,gyhzgzhy4(k)2

n1dx0 - 2.4x.Xi

arcsin-|0一

2 6sintMb(x,t)0,|0a(x,t)dt||01b(x,t) 在上txtb(x,t)一致趋于0,根据狄利克雷判别法，得sint dt在xsintdt|2一致有界,(0,(0,)单调，0b(x,t))上一致收敛,又叫在(x,t)(0,)xt(0,)上连续,故f(x)sint dt在x0xt(0,)上连续。5.解法1由泰勒公式11!12!n!e(n1)!’1(1一1!12!L-1)

n!e(n1)!(n1)!而后者e(n1)!收敛,则原级数收敛。一E 1斛法2利用e—彳导k0k!原式n1kn1k!n1k1(nk)!j1(j1)!ji(T!因

i,所以原级数收敛。6、证明由于函数fX在1,1上连续可导，且f0 0,fX在1,1上连续,且有界，设|fx|M;由拉格朗日中值定理，1x1x 1 XMIx1M11f(一)1I」(f(—)f(0))||-f'()-|MPF

nnnn n nnnM .. 1x 而上收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数 (，f(x))一致收敛。n1n n1nn因为14f(勺|M2,所以 (1f(-)) 4fp)一致收敛,nnnn1nnn1nn于是可以逐项求导，且s(x)1一x 二f(一)，匕是连续的，故s(x)连续可导.1nn7、证明用反证法：假设存在一QP(*0,丫°),有(——一)(xo,yo) 0,xy,、QP 不妨设(-Q—)(xo，yo)0,由连续函数的局部保号性， 知道存在(xo,yo)的一个邻域U,xy..QP 一当(x,y)U时，有(-Q—)(x,y)0,xy则存在一个圆周c0U,?PdxQdyP—)dxdy0,这与已知条件矛盾。y所以结论得证。8、证明 当0xa时，f(x)(f(x)f(0))f()xx,2axa时，f(x)f(x)f(a)f()(xa)ax,2综上，成立f'(x)g(x)；(2)用反证法，若对任意的x(0,a)，有f(x)g(x),a则在x一时，f''(x)不存在，矛盾。所以在％0,a,使彳导fx0gx0；2⑶由(1)、(2)知，在［0,a］上,f'(x)g(x),但f'(x)与g(x)不恒等,所以f(x)dxg(x)dx,所以f(x)dxg(x)dx,9、证明fd)1a 一1f(a)f(0)—aa,9、证明fd)1a 一1f(a)f(0)—aa,故a2。22(1)对任意Xi,X2,X3(a,b),XiX2X3,由题设条件，得f(X2)g(X2)(X3X2),f(Xi)f(X2)g(X2)(XiX2),从而得到f(Xi)f(X2)Xf(Xi)f(X2)Xi X2gd)f(X3)f(X2)X3 X2于是f(x)在(a,b)内右导数存在,(3)于是f(x)在(a,b)内右导数存在,(3)对任意af(X3)fX3fXi fX3 fX2 fXfXiX3 X2Kfx4 fX2X4X2f()fX4X4即日^^211^2.L(X3)―f_(X2),于是f(x)在(a,b)上是凸函数，X2Xi X3X2由此而来，成立f(X2)f(Xi) f(X3)f(Xi) f(X3)f(X2),X2Xi X3Xi X3X2进而F(x,Xo)f(X)f(Xo),(xX0),关于X是单调递增的，关于x0是单调递增的。XXo(2)对任意固定x0(a,b),任取xi,x2,x4(a,b),x4%xix2f(X4)f(Xo)f(Xi)f(Xo) f(X2)f(Xo)人J曰 ,X4Xo XiXo X2Xo则F(x,xo) f(X)f(Xo),(xxo),关于x单调递增，且有下界，于是存在右极限，XXo即f(Xo)存在，同理可证f(Xo)存在，由极限的保不等式性，可得f(Xo)f(Xo)f(x)在(a,b)内左导数存在，且f(x)f(x)。X3 Xi X2 X4从而有fX2fXiX2XfX2fXiX2Xi于是有IfX2fXiILIX2 XiI即得fX在［,］上是Lipschitz连续的，从而fx在［,］上是连续故可得知fx在I内连续.当I有端点时，fx在断点处未必连续.(注：g(x)在(a,b)上未必有界。1 例如f(x)lnx,x(0,1),g(x)f(x)一，