高数全第一章

一、映射的概念第二节映射与函数二、逆映射与复合映射三、函数的概念四、函数的基本性态五、小结思考题一、映射的概念1.定义一：设X与Y是两个非空集合，若对X中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的元素

y

与之对应，则称这个对应是集合X到集合

Y的一个映射，记为f，或者更详细地写将x的对应元y记作并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作，而X的所有元素的像f(x)的集合称为映射f的值域，记为例1设A={1，2，3}，B={4，5，6，7}，则是一个映射，例2设A={商场中的所有商品}，B={商场中商品九月份的销量}，则是一个映射，

有唯一确定的

y=f(x)与之对应.

概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：

需要指出的是：

（1）映射要求元素的像必须是唯一的.

（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3)对应法则f:2.定义二：设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X

中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2

也满足y1≠y2

，则称f为单射；

如果映射f满足Rf=Y

，则称f为满射；

如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应或一一映射）.二、逆映射与复合映射1.逆映射：

如果映射f既是单射，又是满射，则

逆映射，例3设A={1，2，3}，B={4，5，6}，则既是单射，又是满射，存在逆映射例4设A=[0，π]，B=[－1，1]，则既是单射，又是满射，存在逆映射2.复合映射：那就可以构造出一个和新的对应关系复合映射.例5因此不能构成复合映射但若将g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令所以可以构成复合映射因变量自变量三、函数的概念D

称为定义域，记作Df，即Df=

D

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.（与映射基本要素比较：）约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．是多值函数图像(1)符号函数3.几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-1

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-1-3xyo阶梯曲线显然:有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解综上，有:例2解四、函数的几种特性1．函数的奇偶性(parity):偶函数yxox-x奇函数yxox-x2．函数的周期性(periodicity):（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.例3解由条件知：故是周期函数，且是它的一个周期.3．函数的单调性(monotonicity):xyoxyoM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX4．函数的有界性(bounded):五、小结思考题1.映射的有关概念：映射、逆映射、复合映射.2.函数的有关概念：函数、定义域、值域.3.函数的几种特性：奇偶性、周期性、单调性、有界性.思考题已知

是一个偶函数，且满足

,则是不是一个周期函数？若是，请说明它的一个周期，若不是，请说明理由.思考题解答是.练习题2.函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数

y=的定义域为B，则A∩B=_______

1.已知A=N，，映射x

,则在f的作用下，像的原像是_____

3.下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是（）Ay=|sinx|By=|cosx|Cy=|sin2x|Dy=cos2x

4.函数

的单调递增区间是______.5.已知函数，则是：（A）奇函