第十二讲中心极限定理数理统计基本知识

第十二讲中心极限定理数理统计基本知识第一页，共四十三页，2022年，8月28日正态分布需要关注和其它分布的不同点，除了分布函数与密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：例题1(1999,3分)第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二页，共四十三页，2022年，8月28日例题2（1998，6分）第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第四页，共四十三页，2022年，8月28日一、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：设随机变量相互独立,则则和的标准变量为：2.中心极限定理变量的设定第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第五页，共四十三页，2022年，8月28日1.林德伯格条件及其意义设独立随机变量有其中是随机变量的概率密度,若对于任意的正数,第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第六页，共四十三页，2022年，8月28日林德伯格定理长一些，我们不去证明，这里只解释它的意义：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识则当时，有设独立随机变量满足林德伯格条件:有其中是随机变量的概率密度,即对于任意的正数,2.林德伯格定理(z为任意实数)即第七页，共四十三页，2022年，8月28日列维定理服从相同的分布，并且有数学期望和方差：则当时，(z为任意实数)设独立随机变量它们和的极限分布是正态分布，即

在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第八页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第九页，共四十三页，2022年，8月28日各次实验中发生的概率为棣莫弗—拉普拉斯定理n次实验中发生的次数,则有其中z是任何实数，设在独立实验序列中,事件A在随机变量表示事件A在为任意实数第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十页，共四十三页，2022年，8月28日当n充分大时,变量近似地服从正态分布由于随机变量服从二项分布所以棣莫弗—拉普拉斯定理说明:的随机第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十一页，共四十三页，2022年，8月28日例题12-1-1第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十二页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三页，共四十三页，2022年，8月28日3.样本值（观测值）对总体X中抽取n个体，得到的n个数据称为样本的一个样本观测值.二、总体与样本1.总体：所研究对象的全体。总体的指标是一个随机变量，总体就是指某个随机变量X

可能取值的全体.记作X.相应地，个体是组成总体的每个单元（或元素）.样本容量样本中所包含的个体的数量n.若从总体X中抽取n个个体则称为X的一个样本.2.样本：总体中的部分个体.第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十四页，共四十三页，2022年，8月28日简单随机样本简单随机抽样得到的样本

（1）（2）具有下述特点:

简单随机抽样（1）抽样的随机性

总体中的每一个个体都有同等的机会被抽到.（2）抽样的独立性各次抽样的结果互不影响.4.简单样本：例如从一批含有n个灯泡的产品中，不放回地取20个测定其寿命.就是一简单随机样本第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十五页，共四十三页，2022年，8月28日随机抽样可以近似看作是简单随机抽样.[注]当总体容量n很大，而样本容量n很小时非简单教材涉及的抽样与样本均是简单随机样本。频率频数观测值从总体中抽取容量为n的样本：

并得到n个样本的观测值，其中：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识5.样本分布函数：设总体X的分布函数为F(x).第十六页，共四十三页，2022年，8月28日由伯努利大数定理可知，即对于任意给定的正数ε，有第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识

由此可知，样本分布函数是总体分布函数的一个良好的近似，统计理论中，它就称为用样本研究总体的依据。第十七页，共四十三页，2022年，8月28日样本分布函数的性质（1）（2）（3）跳跃间断点，（4）样本分布函数的图形如下所示：1第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十八页，共四十三页，2022年，8月28日6.频率直方图及其的作法：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第十九页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十页，共四十三页，2022年，8月28日三、样本函数与统计量2.样本函数与统计量定义：2.常用的统计量和观测值：样本的（平）均值、方差、标准差、原点距、中心矩均是样本变量的函数，即统计量第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日其观测值为：

第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩.例12-3-1设抽样得到样本观测值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3.解样本均值样本方差样本二阶中心矩为使计算简化，可把所得数据整理如下：当样本容量n较大时，相同的样本观测值往往会重复出现，频数观测值第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日

例12-3-2设抽样得到100个观测值如下表：81219262114频数543210观测值计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩。解第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日

例如计算§2.4(P144)中的零件尺寸偏差的样本平均值、样本方差及样本二阶中心矩。1+27.547-2.55+22.535-7.513+17.523-12.526+12.511-17.536+7.56-22.545+2.52-27.5频数区间中点值（微米）频数区间中点值（微米）解第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日其概率密度:定理1正态分布

N

(0,1)，则随机变量服从自由度为k的分布.设随机变量记为相互独立，并且都服从标准1.分布:四、数理统计中的常用分布第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日（1）可加性：若随机变量X与Y独立，且

则

1.分布的性质:（2）可查性：第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日查表得例如：k=10，α=0.05时查表附表三

2.t分布（“学生”分布）定理2设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为

k的

t

分布，记作。第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十页，共四十三页，2022年，8月28日当k=10，α=0.05时，可查得例如

3.F分布定理3设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为的F分布，并记作为第二自由度。其中为第一自由度；第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日α第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日当=10，=15，α=0.05时，例如查表P292第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识例12-4-1（2003，4分）第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日五、单个正态总体统计量的分布服从正态定理1设总体则样本均值即分布则统计量定理2设总体第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日定理3则统计量设总体证第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日定理4则设总体(1)样本均值独立;与样本方差或证明略，仅对自由度作如下说明:第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日∴n个随机变量不独立,由于受一个条件的约束，∴自由度为n-1。但第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识定理5设总体则统计量与也相互独立，第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日P2第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日第