2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题05函数的性质

2020年高数学二轮复习专微专题核心点突破专题05函数的性质地位析函数是数学高考考查的重点，函数的性质是函数的核心内容；函数的观点和方法贯穿整个高中数的学习过程，初等函数又是学习高等数学的基础，所以，函数试题在高考中所占比例较大，往往达到分之三十左右.试题点以函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性为切人点，有时融入参数，对数学基础知识、基本能和基本方法进行全面考查，能力要求高，能有效甄别学生灵活分析问题的能力、综合解决问题的能力此类试题综合性强，灵活多样，变化万千，难度小的试题较少；试题题型多以选择题、填空题的形式出，时常也融入解答题中；试题或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应内容类考查的主要内容:(1)对基本初等数的考查，如通过二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、高整式函数以及简单复合函数等，考查函数的性质及应用；(2)分段函数的考查，如通过对分段函的理解、求值以及应用，考查函数的性质；(3)对函数性质的考查，单调性、奇偶性、周期性、对称性等，往往是将两个以上的性质融合在一起进行考查(4)抽象函数的考查，如通过抽象函数考查函数性以上内容进行单一考查较少，试题往往是其中两个以上内容的融知识点函数的单调性.注意单调性定义的等价表述)，则函数f为增减)数；也可等价表述为

(或

(或)，则函数f(x)增(减函数.除此之外，也经常用导数研究数的单调.函数的最值.函数=f(x的定义域为D如果存在实数M满足对于任意的x∈，都有f)(())存在x∈，fx)=那，就将M叫函数fx的最大(最小值函数的奇偶定义域关于原点对称是函为(偶函数的必要条件偶函数(xfx)=f－)=(||)；偶函数的图像关于轴称，是特殊轴对称图形；一般地，函数fx)的图像关于直线x=a对称的等价条件是f+)=()(或f(2a)=fx)).奇函数的图像关于原点对称，是特殊的心对称图形；一般地，函数()的图像关于点，)对称的等价条件是fa－x)=2bf(x).函数的周期T是数f(x)周期，则∈Z，≠0)也是f(x)周期.函数的对称.前述对称问题外，还:对于任意的x，f(+)=f(b)恒成立，则f()的图像关于直线对称；若函数fx)有两个对称轴x=，x，那么该函数必是周期为2|－b的数典例解解题教学的关键在于分析清楚题意，凭借所掌握的知识和获得的解题经验，识别每个条件的结特征，理解其内涵意蕴，探求问题解决的切入口，进而确立解题方向，对求解进程中的障碍找到突破方、手段；由于函数性质类试题题型以选择题、填空题居多，故采用解决此类题目的简洁解法为上，目标求得正确答案.5.1函性的断此类题一般为简单题如果要确认一个函数具有某种性质，往往需要严谨的推理证明；若要否定一个函数不具有某种性质，只需举一个反例即可；或者采用数形结合思想，利用函数图像加以判例1已函数A.()是偶函数Cf(x)是周期函数

，则下列结论正确的()B.f)是增函数Dfx)值域[－1∞)思探:相对简单的分段函数，探求其性，可结合定义及函数图像判断；主要涉及数形结合思想、分类与整合思想方点:段研究，对选择支逐一辨析.对于选项A，(－cos1f(1)=2显然f－f，故排除A；对于选项B，显然当x≤0时f(x)=cosx不增函数，排除B；对于选项，x>0时f(x)=x+1不是周期函数，排除；故选D，事实上，易得fx)值域为[－1，+∞).也可结合图像，迅速识别从f(x)的图像上看，排除选，B，C，选择D5.2函性的用函数性质的应用一般有两种类型一种是在已知条件中告知函数所具有的性质，只需应用这些已知的性质解决问题即可；另一种是仅给出函数的解析式，函数所具有的性质隐含于其中，这就需要根据问情境挖掘其性质，然后再利用性质解决问1111例2已函数

，则使得fx)>(2－成立的的值范围()

C.

思探:首先需要研究函数()的性质，再利用性质解决问题方点:易求得函数f(x的定义域为Rfx)是偶函数x时(x单调递由f(x)>f(2－得|>|2x－1|，解得

故选例已知函数()(∈)满足f－x)=2－f()，若数

与y=f)图像交点为(x，)，，则A0B．C．2m

()D．4m思探:该题的表象是求两个数图像交点所有坐标之从交点数量来看，关键是弄清规律，故需研究两个函数的性质；主要涉及数形结合思想、化归与转化思.方点:本题有两个已知条件切入点是弄清f(－x)=2－f)含若教师在复习中知识拓展得较深入，学生不难迅速识别出函数)图像关于点1)成中心对称，因“函数f)的图像若关于点a，b)中心对称图形，则f(2－x－)若学生忘记这一知识点则需要一步分析探将f－x)=2－f)变形为关于点(，1)成中心对称图形

不难发现f)的图像继而猜想，函数事实上，将函数变形为

的图像也关于点0，成中心对称，其图像也关于(，成中心对所以，两个函数图像的交点成对出现，且关于(，对称，故有

故

5.3函性与他识融应求参数的值，往往需要根据已知条件建立关于该参数的方程；求参数的取值范围，同样往往需根据已知条件建立关于该参数的不等式；在建立关于参数的方程或不等式时，经常需要运用数形结合思，以降低思维量和运算量.例4已函数f(x)=x

－2(

有唯一零点，则)A

B

C．

D．00思探:该题表象是函数的零点问题，其质涉及函数性质的探求与应用；主要涉及化归与转化思想、分类与整合思想.方点:切入点是函数解析式方向是将形式迥异的两部分分.解法1:依题意，存在唯一的若，(*)式左边

，使(*)

，即，将其变形为等号当且仅当x=1时成)而(*)右边故当a=1，即

(当且仅当时，函数f(x)唯一零点

时等号成立由于是选择题，答案已得，对于和a种情形，不再讨.解局部突破，发现()=2－的像关于直线=1对称，探究的图像也关于直线x=1对，而判断函数f)图像关于直线x=1称

的对称性，hx)由

，

得

f(2

－x)fx图像的对称轴是因为函数()有唯一零点，从而函数fx)的零点只能为

，所以f(2－)=fx)，即函数所以，解得

例5定在上偶函数fx)满足(2)=f(x)，且当x∈[1，时，f()=lnx+1；若函数(x)=fx有个零点，则实数的值范围为()．．．．思探:由偶函数f(x)足f(2)=fx)这一条件不发现函数(是周期为周期函数，题中已知函数(x有个零点以化为=(x的图像与函数y=的像有7个点而用数形合思想予以解决，在求解过程中又涉及分类讨论思想、化归与转化思.方点:切入点选在弄清函数f(x)所具有的性质，由()是偶函数且满足－x)=()得)=f(x)所以函数f)是周期为周期函因为函数(x)有个零点，所以=()的图像与函数y=mx的图像有个点，因而将解题方向确定为利用图像解题当x∈[1时fx)=－+1故()=

，因此函数f(在区间[上单调递减，且f(1)=0fln2由题意知≠0，作出函数=(x与=的像，如图当－>0，即<0时要使y=f(x与y的像有个点，需有

，即，解得

同理，当－<0即m时可得

综上所述，实数的值范围为

故选：A.例已知函数()=(ex+a)(为常数为然对数的底)是实数集R上的奇函数在区间[－11]是减函.(I求实数a的；(Ⅱ)若(Ⅲ)讨论关于的程

在x∈[－1上成立，求实数t的取值范围；的根的个数.思探:本题涉及函数的奇偶、单调性、最值，需要用到转化与化归思想、数形结合思想具手段是利用导数这一工具研究函数的单调性与最值，解题方向的确立需要较高的分析问题能力、洞察和丰富的解题经验.方点:三问逐次解决，切点较为简单，第(Ⅱ问的求解方向为先将)在区间[11]上减函数”转化为“g'x≤0在间[－，1]上恒成立，到≤－后再“g(x≤t2xt+1在∈－1，上成立转为“[g)]≤

++1”求；(Ⅲ)将讨论方程根的个数问题转化为讨论两函数图像交点个数的问解I)由

是奇函数，得f()=－()，故，恒成立，所以a(Ⅱ)由(I知，所以g'()=+cosx，x∈[1，1].332323332323从而要使－又因为

在

在区间[－，上是减函数，则有g'x≤0在间[－，上成立，所以，所以要使(xt+1在x∈[－1，上恒成立，只需时恒成立即可.证其中－1)成立令

，则

，即

由(III)由(I)知程

恒成立，得t－1.，即

令从而

，故x∈]()≥0所(x)在区间(]内为增函数当x∈[e∞)时(x，所以F(x在区间，内为减函数，所以F()的图像先递增后递减当x=e时，

另一方面，

的图像是开口向上的抛物线，当=时，结合图像易知当当当

，即，即，即

时，方程无实根；时，方程有一个根；时，方程有两个.最新模拟题强化．函数

f

是定义在

0,

上的增函数，则满足

的x取值范围是（）2A

B

2

C．

D．

2【答案】D【解析】因为函数

f

是定义在

，所以，

x

又函数

f

x

是定义在

上为增函数所以

2

12，即x33综上：

1x2故答案为：．下列函数中，既是偶函数又在0，+）上单调递增的函数是（）A＝﹣x【答案】C【解析】

B＝

C．y＝||+1D．＝lnx因为函数y

在R上为偶函数，但在(0,函数，故错误.因为函数y

在上奇函数，故B错误因为函数

yx为奇非偶函数，故D错误.因为函数故选

x

在R上为偶函数，在增数，故正确.．已知

yf(

是定义在R

上的奇函数，且在

(

上单调递增，若

f8

，则

(x

的解集为（）AC．

((U

B．D．

((0,3)((3,【答案】D【解析】∵∵

f8f，yf(在单递，∴当

(x0，时(

，当

，时xf()

，x2xx2x又∵

yf(

是定义在R

上的奇函数，∴

yf(

在

(

上单调递增，且

f

，当

x

时，

f()0

，此时

(x

，当

x

时，

f(x

，此时

()

，综上可知，故选:D

()的集为

，．定义在R的函数

11f(x))偶函數，af32

)

，bf)

)

，

cf(m

，则A

B．aC．

a

D．

b【答案】C【解析】∵

1f(x))3

x

为偶函数，1∴m，即fx))3又)，

，且其在

上单调递减，1∴(m(()3f(log)f1故选：．已知函数

f(x

x,

，若对任意

，有2

x

x

，则实数的取值范围是（）A

4,

B

3,

C．

D．

【答案】B【解析】函数

f(x

x,

，当x时，

f

，在

x

上单调递增，xxxxxxxxxxxxxx当

时，

f

，在

x

上单调递增，所以

f

在上调递增，f所以不等式

f

f

因为

f

在上调递增，所以

对意

m

恒成立，即

3而

3

单调递增，所以得到

解得

m故选：．关于函数

有下列结论：①图象关于y对称；②图象关于原点对称；③在

上单调递增；④

f

恒大于0其中所有正确结论的编号是（）A①③

B②④

C．④

D．③【答案】D【解析】函数

ex

，在①中，

f

11e1e211e1xex

f

．函

2

是偶函数，图象关于轴称，故①正确；3232在②中，函数

e

是偶函数，图象关于轴称，故②错误；在③中，任取

x1

，则

1

e

22221ee

2

，Qx2

，

xx，，e

，

e

2e

2

，exQ，理

1

222，ex

，Qx2

，

1x1

11x

x

f2

，所以，函数

yf

上为减函数，则该函数在区间

故③正确；在④中，当x时

12，，xxx

，当x时，

12，xx

，

恒大于，故④正确．故选：D．．对于三次函数

f

，给出定义：设

f'

是

f

的导数，

f''

是f'

的导数方

f

有实数解x

称点

f

f

的拐.

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都拐点何个三次函数都有对称中心，拐点就是对称中心设函数g

1151x，g312

（）A【答案】C【解析】

B．D．1g()xx212

g2

g

g

x

g)

g(x)

g(x

(

(1)()

120192201820191[g(()()())]20202020202020202019已函数

f

是定义在R上奇函数，当x时f(

，则使不等式

f

成立的x的值范围是（）A

B

(0,ln3)

C．

D．

【答案】C【解析】当

时，fx

是增函数且

f()0

，又函数

f

是定义在R上奇函数，则

f

满足

f

，所以，函数

yf

在

上是连续函数，所以函数

f

x

在是增函数，f(

88，∴f(2)99f

f(2)

，∴

x

e

2，

2

x

，e0

，又

x

，x，ln3即原不等式的解集为(．故选：C.．设函数，则

是)A奇函数，且在）是增函数C．函数，且在）是增函数

B奇函数，且在（）是减函数D．偶函数，且在（上是减函数oo【答案】A【解析】由题意得，函数的定义域为

，解得，又

，所以函数

的奇函数，由，令

，又由

，则，即

，所以函数

为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数

在

上增函数，故选

f()

g()

(x)

是定义域为的个函数命题

f(x)()(x)(x)

x)(均为增函数，则

f()

、

g(x

、

h)

中至少有一个增函数；②若

f(x)(x、f()、g(x)(x)均是以为期的函数，则

f()

、

gx)

、

h(x

均是以T为期的函数，下列判断正确的是（）．①和②均为真命题．①和②均为假命题．①为真命题，②为假命题．①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】因为

f(x)

[f()(xf(x))]g(x()]2

，所以f(x+T)

[(+T)(x+)](+T)(x+T)]g(+T)x+T)]2

又

f()g()

、f()、g(x()

均是以T为期的函数，所以f(x+T)

[f()()]f(x)x)]gx)(x)]2

=f(x)

，所以

f()

是周期为

的函数，同理可得g(x、h)

均是以

为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正.11已知函数

yx

的图象关于直线

对称，且当x时

f(x))

，设af()8

，f(

45

)，

2tan(1tan

1616

)，,,

的大小关系为（）POTPOTA

B

C．

a

D．

b【答案】A【解析】由题：函数

yf

的图象关于直线

对称，所以

yf(

的图象关于直线

对称，当

时，

f(x))

，即

yf(在x

x

单调递增，af()f()88

，bf(

1coso222.5)f(2

)sin8

，f(

2tan1

1616

)f)8

，以原点为顶点，以轴非负半轴为始边，作出角

8

，与单位圆交于点，单位圆交轴正半轴点T

，作

PM

于M，过T

作轴垂线交

8

的终边于A，则

1SOTPM228

，记扇形

POT

面积

11SOTPT2

，S

AOT

11OT2由图易得：

SPOTPOTAOT

，所以

0sin

8

8

tan

8

，所以

故答案为：A即即．义在R

上的偶函数

f(x)

满足

f(x(

，且当

x

时，f)

，函数

g(x

是定义在RA．9

上的奇函数，当x时，B．10

()x

，则函数C．11

(x)f)(D．12

的零点的的个数是（）【答案】C【解析】由于

f

，所以，函数

yf

的周期为

，且函数

yf

为偶函数，由

h

，问题转化为函数

yf

图象的交点个数，作出函数yf

的图象如下图所示，由图象可知，

f

，当时，

g

，则函数

yf

上没有交点，结合图像可知，函数

f

图象共有个交点，故选．，函数f

mx

是偶函数，则

f

的单调递增区间_________.【答案】【解析】

[0,由题意，函数f

是偶函数，所以

f

，22f(3(mx3

，所以

，可得

，所以函数的解析式为

f

x

，根据幂函数的性质，可得函数

f

的单调递增区间为

[

。故答案为：[0,，．知

f()

x2

x2xx

，不等式

f(x)f(2)

在

[a,a

上恒成立，则实数的值范围是【答案】【解析】

a因为

f()

x2

x2xx所以当

时，

f

，开口向上，对称轴为

，所以在

x

上单调递减；当x时

f

x

，开口向下，对称轴为

所以在

上单调递减；所以得到

f

在上调递减.所以由不等式

f(x)f(2)[,a

上恒成立，可得

在

[a,a

上恒成立，即

2

在

[a,

上恒成立，根据一次函数保号性，可得

22

，解得

aa所以的围为

a

.故答案为：

a．知点

B,2

，且平行四边形

ABCD

的四个顶点都在函数

f

x

xx

的图像上，则四边形【答案】【解析】

ABCD263

的面积为_22d131622d1316由

xx

得：x

或

，即

f

定义域为

Qf

2

xlogx

x

为定义在

U

上的奇函数与关于原点

O

对称，与关原点

O

对称

S

OAB又

kAB

34

直线方程为：

y

x

，即

yO到直距离，又533

ABCD

113262故答案为：

263已定义在R上函

f()

满

f(1)

13

且任意的都(x

1f()

则

f【答案】【解析】

3Q

定义在R

上的函数

f(x

，对任意的x都有f(x

1f()

，f(x()f

，()

是周期为6的函数，Qf

13f

f

1f113故答案为：

3．极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现一种相互转化，相对统一的和谐美义能够将圆

O

的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆

O

的一个太函数列有关说法中：①对于圆O:xy2

的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数

f

是圆Ox

的一个太极函数；③直线

所对应的函数一定是圆

的太极函数；④若函数

f

3

xy2

的太极函数，则

所有正确的是．【答案）【解析】①显然错误，如图②点

均为两曲线的对称中心，且

f

能把圆

x

一分为二，故正确③直线

恒过定点意故正确④函数

f

3

yx2y

，则

k

x6kx4

令x

，得

kt

t2

即

yt即x对t2t2，当时然无解，n4时也无解即

能圆一分为二，且周长和面积均等分若

时，函数图象与圆有四个交点，若k4时函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是②③④．知曲线

:

22

yln

及函数y

的图像分别交于点

A11

、By2222【答案】9【解析】画出图形，如图．

的值为由于函数

ylnx

和函数y

是为反函数，故函数及数yx

的图象关于直线对，从而曲线C:x

y

与函数

ylnx

及函数y

的图象的交点A

，y)

，

，y

也关于直线对，xy

．又A(

，

在圆弧

0,y0)

上，2

2

，即

．故答案为：9．2222．函数

fx)lg(1x)

11

，则使

f(2x)fx

成立的取范围是【答案】【解析】

2()5函数

f

11

，∵f（﹣x）＝f（函数为偶函数且[，+∞）上调递增．∵f（x）＜（3﹣2∴|2x＜x﹣，∴（2）2

＜（3﹣）2化为﹣2x﹣）＞0，解得：＞2，或x＜

25

．∴使得f（2）＜f（x﹣2）成立的的值范围是

．故答案为

．已点

5B(3

且行四边形

ABCD

的四个顶点都在函数

f(x)log

xx

的图像上设

O为原点，已知三角形的面积为S，平行四边形的面积为【答案】【解析】

4S由

得x，又∵

f()log

2

log()x∴

f()

是奇函数，其图象关于原点对称，平行四边形

ABCD

的四个顶点都在函数

f(x)

的图象上，则

关于原点对称，

B,D

关于原点对称，即

O是行四边形对线的交点，而

S

OAB

，∴

S4SABCD

．故答案为：．．函数

fx)sin3x

(2018,2018])

的值域为

[a]

，则

a

【答案】0【解析】fsin3

11

xsinx

sin3

11

fxfx2018]a0．数

f

满足：对任意一个三角形，只要的三边长

,b

都在函数

f

的定义域内，就有函数值

f

也是某个三角形的三边则称函数

f

为保三角形函数，下面四个函数①f

x

；④

为保三角形函数的序号___________【答案】②③【解析】任给三角形，设它的三边长分别，，，则，妨设b，①

f

，

个三角形的三边长，但

，则不存在三角形以3

为三边长，故此函数不保三角形数②

x

Q，bcba，f

是三角形函数33③

，

2

，

ff0x

是三角形函数④

cosxx

，当

a

555c时，12121212

，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是③．已函数

为偶函数，

g

x

a2x

为奇函数，其中a、为数，则

2

2

3

3

【答案】【解析】Qf(x)

为偶函数，

gx)

为奇函数，

f(1)(g

，(3即1

1(33

，解得

aba

；复、

b

是方程

的两个根，11解得，i，b223

i

；已知

a；22a)2ab

3

3

，同理可求a445a6，，归纳出有周期性且

，a)a2)a)aa2)3)]a)答为

．UU．知函数

2

2

ax

的图象关于直线

对称，则

a_____，

f

的最大值为_____．【答案】416【解析】由＝0可x=2或x，2,是数的零点，Q＝

2

2

ax象关于直线

对称，故

关于

对称的点

，所以

是数的零点，故

x

的，故

=a=-4a=-4

，又

）＝

2

2

-xx

2

x)

，令f

2

x

可得，当x或x，

f

，此时函数单调递减，当1x或x5时又当时）0，．＝故答案为：-4．

f

，此时函数单调递增，．知函数

fxx

ax

(a0)

，若对任意的

m、n、

，长为

f()、f(、f()

的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围_15【答案】(9【解析】

fxx

ax

(0)

f

2

xa

ff()

x

a

f(x

UaUUaU

a

[

13

1]

f()

1

„

53

af„f(1)[33

a](a

f(x

1

a

4

a4

(f

1

13

[

13

](

f()

2aaa

79

0

11[1]9

f(x)

1

112(a)a155([1)9315([19

已函数

f()

，(x)

ax

（a正常数函

f(x)

与

()

的图像在轴的截距相等；（1）求值；（2）若

h(x)f(x()

（

b

为常数讨函数

h)

的奇偶.【答案））答案不唯一，见解析【解析】（1）由题意，∵函数f）与（x）的图象在轴的截距相等，∴f（0＝g0a＝，又＞0，故a＝．（2）（x）＝（x）+b

＝﹣1|+，定义域为，h﹣x）＝bx﹣1|若h（）为偶函数，即（x）＝（﹣x有b＝1，此时（2＝，h﹣）＝，aa故h（）﹣（﹣2h）不为奇函数；若h（）为奇函数，即（x）＝﹣h﹣＝﹣，此时（2＝，h（﹣）＝﹣，故h（）h﹣2（x）不为偶函数；综上，当且仅当b＝1时函数h）为偶函数，且不为奇函数，当且仅当b﹣，函数h）为奇函数，且不为偶函数，当b时，函数（x）既非奇函数又非偶函数．．知函数

f

a

11

(0

．（1）求函数

f

的定义域D，判断

f

的奇偶性；（2）如果当

的值域是

（3）对任意的m是否存在t，使得f说明理由．

，若存在，求出t，若不存在，请【答案）定义域为

，奇函数）

）存在，

t

1

，详见解析【解析】（1）由函数有意义可得：

11

，解得：

的定义域为

Qf

11x11

是

上的奇函数（2）

f

21

Q

21

为

上的减函数，

y

为

上的减函数

在

上单调递增

f

，即

1log1

11

a

，解得：舍）或22（3）

f

log1

，

f

log

a

11假设存在

t

，使得

f

，则：

解得：

t

Q1mn1mnQm

mn

1mn

又

m1mn1mn

1

对意的m

，存在t满足

，此时

t

1．知函数

f

axx

是定义在

上的奇函数，且

25

.(1)确定函数

f

的解析式；(2)用定义证明函数

f

在区间

上是增函数；(3)解不等式

f

.【答案）

f(x)

x1

2

(x

）见解析）

1(0,)2

【解析】（1）解：函数

f(x)

12

是定义在

(

上的奇函数，则

f(0)

，即有，且

12f)25

，则

1

a2154

，解得，则函数

f()

的解析式：

f(x)

x1

2

(x

；满足奇函数（2）证明：设，则f(m)f(n)

m

(m))

，由于，

，，mn，2)(12，则有

f(fn)

，m,2m,2则

f()在(上增函数；（3）解：由于奇函数

f()在(上增函数，则不等式

f(tf(t

即为

f(-<-(=f()

，即有t

，解得12

，则有

0

，即解集为(0,)．．知函数

f

，若存在实数

k

，使得对于定义域内的任意实数x，有

成立则函数

f

“可平衡函数有序数对

称为函数

f的“平衡”数对.（1）若m，判断

是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a，a，a变时，求证：

f

2

与

的“平衡”数对相同；（3）若

,m2

，且

m1

24

均为函数

f

的“平衡”数对当

0

4

时，求m212

的取值范围.【答案）

f

是“可平衡”函数,

详见解析（）明见解析（）

12【解析】（1）若

,则

x

,fxcos

,要使得

f

为“可平衡”函,需使故

对于任意实数x成立只

k

,此时

k

3

,n故存在,所以

f

x

是“可平衡”函.（2）

f

2

及

g

的定义域均为

,,,,12,,,12根据题意可知,对于任意实数,

mx

2

=

2

2

,即2

x

2

2

,即

2

0

对于任意实数x恒立只有

,

,故函数

f

x

2

的“平衡”数对为对于函数

而言,

ax

所以

2

x

,即,故m,只有k所以函数

a

的“平衡”数对为综上可得函数

f

2

与

a

的“平衡”数对相同.（3）

mcosxcos2cos2x22

,所

cosx2sin1

,cos2cos24

,所以

cos2

2

x

,由于

0

4

,所以

2

x

,故

m

,

msec

,212

4

x

125由于

0

4

,所以

2

x时

116tanx55

,1

,所以

21

．于定义在区间D上的函数

f()

，若存在闭区间

[ab]D和常数c使得对任意

xab]

，都有)

，且对任意x∈D，当

a,]时f(x)2

恒成立，则称函数

f()

为区间D上的平型函数.（Ⅰ）判断函数

()xx和()x2

是否为R上“底”函数？并说明理由；（Ⅱ）设

f()

是（Ⅰ）中平型函，k非零常数，若不等式

tk(x)

对一切恒成立，求实数的值范围；[[（Ⅲ）若函数g)

xx是间

[

上平底型函，求和值.【答案）

f)

不是平底型函（2）实数的围是

15[,]22

⑶＝，n＝1【解析】【解）于函数

f(x)x，x时，f()

当

或

时，

f(x)(xx2)1

恒成立，故

()1

是平型函…………2分对于函数

f(x)x，x(时，f)22

；当

x(2,，f()22

所以不存在闭区间

[ab]

，使当

x,]时f()2

恒成立.故

fx

不是平底型函.………………4分（Ⅱ）若

tt(

对一切恒立，则(tt)

min

(x)

因为

(t)

min

k，以k(x

又，

f(x)

.…6分因为

()xx

，则

xx2

，解得

1x2

故实数的范围是

15[,]22

.……………8分（Ⅲ）因为函数(

x2x是间

[

上的“平底型函，则存在区间

[ab]

和常数，得mx

x

恒成立.m

mm所以x)

恒成立，即

{

解得

{

或

{

.…10分2

n

n当

m{c，xn

当

x[

时，

g(x)

，当

x(

时，

g()2

恒成立此时，

g(x)

是区间

[

上的平底”数.………12分xxm当

{

时，

gx

n当

x

时，

(x)

，当

x(，(

此时，

g(x)

不是区间

[

上的平型函数……………13分综上分析，＝，＝1为求……14分．知函数

f(x)

(R)

．（1）讨论函数

f()

的奇偶性；（2）若函数

f(x)

在

(2]

上为减函数，求a的取值范围．【答案）a时

f(x)

是奇函数；当

a

时，

f()

是偶函数；当

a

时，

f()

是非奇非偶函a数）【解析】（1）f()2

x若

f()

为偶函数，则对任意的

R

，都有f()()

，即2，2)(1)，

x

)(1)0

对任意的xR都立．由于

不恒等于0，故有

1

，即a∴a时

f()

是偶函数．若

f()

为奇函数，则对任意的xR，有(x(

，即

，

x

a)

对任意的

R

都成立．由于2

不恒等于0故有，a，f)

是奇函数．∴当时

f()

是奇函数；当

af(x)

是偶函数；当

af(x)

是非奇非偶函数．（2）因函数

f(x)在(

上为减函数，故对任意的

xx，有ff012

，即

f(x)f(12

2

x

x

)(2

x

a)(1)22x

恒成立．由2

x

x

，

a122

恒成立，即

x

a成立．由于当

xx时12

)

max

∴

a．于在某个区间

a

上有意义的函数

f

，如果存在一次函数

g

使得对于任意的xxxxxxxxx,

f

恒成立，则称函数

g

是函数

f

的一个弱渐近函.（1函数

g

是函数

f

x

在区间

上的一个弱渐近函数实的值范围；（2）证明：函数

g

332x是函数fx在间4,22

上的弱渐近函数；（3试函f

x2

与函数

f间2

上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，说明理.【答案）

g

e

【解析】（1）依题意，当

x

恒成立，即

x

恒成立，故，所以，实数m的取值范围是

（2）当x时g

32342xx2x22x2xxx32324xx，x2xxx

1x

，故

0g

，得证；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数

g

kx

，f

x2xxx

，若

，由于当

时0

2，xx

，但是，当，

，不符合“

恒成立”的要求，所以k，此时

f1

2x

，则

，解得：

；

x

x

e

，当

时，

0

1e

，故

[1,1]

，得

，解得：

2e

综上所述函f

x2

与函数

上存在相同的弱渐近函数对应的弱渐近函数是

g

e

．于函数

f(x

，若存在实数m，使得

f(x)f()

为上奇函数，则称

f()

是位差值为的“位差奇函数”.（1）判断函数

f(x)x

和)x是为位差奇函数？说明理由；（2）若

f(xsin(

)

是位差值为

4

的位差奇函数，求的；（3）若f(xx

对任意属于区间

1[,2

中的都是位差奇函数，求实数

b

、c满的条件.【答案

f(x)

是位差奇函数详