2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第八章第2节

1233312333第

空间几体表面积体最新考纲

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识梳理1.多面体的表侧)面积多面体的各个面都是平则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和表面积是侧面积与底面面积之和2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱

圆锥

圆台侧面展开图侧面积公式

S

圆柱侧

＝2πrl

圆锥侧

＝πrl

圆台侧

＝π(r＋r)l3.空间几何体的表面积与体积公式几何体

名称

表面积

体积柱体棱柱和圆柱)

S

表面积

＝S＋2侧

底

＝底锥体棱锥和圆锥)

S

表面积

＝S＋S侧

底

1＝底台体棱台和圆台)

S

表面积

＝S＋S＋侧上

下

1＝(S＋S＋h上下上下球

S＝πR2

4＝π

3[微点提]1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为,若球为正方体的外接球则R＝a；22球322球3若球为正方体的内切球则R＝a；若球与正方体的各棱相切则R＝a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,接球的半径R,2＝

2

＋b

2

＋c2

.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为∶基础自测1.判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”)锥体的体积等于底面面积与高之积()两个球的体积之比等于它们的半径比的平方()台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()3已知球O的半径为,其内接正方体的边长为则＝)解析

锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,不正确.球的体积之比等于半径比的立方故不正确.【参考答案】×

(2)×

√(4)√2.(必修习1改编)已圆锥的表面积等于12πcm2,侧面展开图是一个半圆,底面圆的半径为()A.1C.3

B.23D.cm解析

由题意,＝πr表

2

＋πrlπr

2

＋πrrπr

2

＝12π,得r

2

＝4,以r2(cm).【参考答案】B3.(必4改编)柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比∶V为()球柱∶C.3∶4解析

B.2∶3∶34πR3设球的半径为,＝＝π2R柱【参考答案】B34232242342322424.(2016·全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12

32B.π

C.π

D.π解析

设正方体的棱长为则a＝8,得2.球的半径为,2Ra,＝所以球的表面积S4πR2

＝12π.【参考答案】A全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的周在直径为的同一个球的球面上,该圆柱的体积为()A.π

B.

π

C.

π2

πD.解析

如图画出圆柱的轴截ABCD球心.半＝OA1,心到底面圆的1距离为OM.3π∴底面圆半径r2OM,圆柱体积＝π·r2＝π·×1.【参考答案】B6.(2018·浙江卷改)几何体的三视图如图所示位:则该几何体的体(单位:cm3)为________.解析

由三视图可,几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱以该几何体1的体积V×(12)2×26.【参考答案】62242222422考点一

空间几何体的表面积【例1】(1)(2019·南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,该四棱锥的侧面积是()A.4B.4C.4(5＋1)D.8洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示则其表面积为()17π

B.π

C.

19π2

D.π解析图.

(1)为四棱锥的侧棱长都相等底面是正方形所以该四棱锥为正四棱锥如由题意知底面正方形的边长为2,四棱锥的高为则正四棱锥的斜高＝2

2

＋1

＝1所以该四棱锥的侧面积S4×254故选B.由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成圆柱的底面半径为1,为3,的半径为1,111所以几何体的表面积为π×22π×134×12×＋×1π×19π.故选B.2222【参考答案】(1)B(2)B规律方法

1.由几何体的三视图求其表面积关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小还原几何体的直观图,用相应的面积公式.多面体的表面积是各个面的面积之和组合体的表面积注意衔接部分的处理旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练】(1)(2019·安模拟)如图网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的表面积为()A.20

B.24π

C.28π

D.π烟台二)几何体的三视图如图所其中俯视图右侧曲线为半圆,则几何体的表面积为()A.3＋4－3πC.＋2－2

B.π＋2－3πD.＋22＋2解析

由三视图知,几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体,∵S

圆锥侧

＝π×3×3

2

＋4

＝15πS

圆柱侧

＝2π×1×24π,

圆锥底

＝π×3

2

＝9π.故几何体的表面积S15π＋4π＋9π28π.由三视图该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱由对称性几何体的底面面积S＝×1底

2

－(2

＝π－2.23211232111∴几何体表面积S2(2×2)(2×1×2)S＝422π＋π－23π422.【参考答案】(1)C(2)A

底考点二

空间几何体的体积

多维探究角度1

以三视图为背景的几何体的体积【例2－1河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所则该几何体的体积为()A.6

C.

223

20D.解析

由三视图知该几何体是边长为的正方体挖去一个三棱柱(如图),挖去的三棱柱的高1,面是等腰直角三角形等腰直角三角形的直角边长2.几何体1体积V23×2×2×16.【参考答案】A角度2

简单几何体的体积【例2－2(2018·天津卷已知正方体－CD的棱长为面ABCD外,正方体其余各面的中心分别为点E,,,H(如图),则四棱锥的体积为________.11111221122321222221111122112232122222解析

接AD,B,B,为EH为AD,以1EH,＝AC因为F别为B,B的中,以FG∥AC,FG.以EHFG＝所以四边形为平行四边形又＝HF,EHHG,以四1边形为正方形点M到平面EHGF的距离为所以四棱锥－EFGH121体积为×＝【参考答案】

112角度3

不规则几何体的体积【例－3】如图在多面体ABCDEF中,已知是边长为1的正方形,且△,△均为正三角形,∥,EF＝2,则多面体的体积为()

B.

33

C.

43

3D.解析

如图,别过点作的垂线垂足分别为,H,接DG,CH1容易求得EGHF3AGGDBHHC,2取AD中点连接GO易得＝,AGD22ADG323111AGD22ADG3231111∴S

△

＝S

△

122＝××1∴多面体的体积V

三棱锥

E

－

＋

三棱锥

F

三棱柱

－

＝2V

三棱锥

E

＋ADG

三棱柱

－

121＝×××＋×1故选A.【参考答案】A规律方法

1.(直接)规则几何:于规则几何,直接利用公式计算即已知三视图求体应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置确定几体中的线面垂直等关系,进而利用公式求解.2.(割补法规则几何体:当一个几何体的形状不规则时常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的易求的几何体然后再计算.常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体将三棱柱还原为平行六面体,将台体还原为锥体.3.(等积法)三棱锥利用三棱锥的等积性”可以任一个面作为三棱锥的底求体积时,选择“容易计算”的方式来计算利用“等积性”可求点到面的距离”,键是在面中选取三个点,已知点构成三棱锥.【训练2如图所示正三棱柱－AB的底面边长为2,侧棱长为D为中点,则三棱锥A－的体积为()A.3

B.

32

C.1

D.

32某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为()A.8－

163

B.π－

16321111111A113△32BDC2323111322221111111A113△32BDC2323111322232111111C.π－4

D.π＋

83解析

3如题图,正ABCD为BC中点,有ADAB3,又∵平BB⊥平平∩平ABC,AD,平由面面垂直的性质定理可得⊥平面CC即为三棱锥－BDC的底面DC上的高∴

－

BDC

11＝S＝××××31.1该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体,11∴体积Vπ×24××2×4×48【参考答案】(1)C(2)A考点三

多面体与球的切、接问题

典例迁移【例3】(经典母题)全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱－AB内有一个体积为的球.若⊥,＝6,BC＝8,AA＝则V最大值是()A.4

B.

9π2

C.π

32πD.解析

由AB⊥,＝6,BC8,AC要使球的体积V最大,球与直三棱柱的部分面相切若球与三个侧面相切设底面△ABC内切圆的半径为r.11则×6×8×＋8r所以r2r＞不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时球的半径最大.3由2＝3,R.49故球的最大体积VR【参考答案】B【迁移探究1若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A的6顶点都在球的球面上”若AB＝3,AC＝4,AB⊥,＝求球的表面积解

将直三棱柱补形为长方体－ABE1111122432231111122432233则球是长方体－ABE的外接球.∴体对角线的长为球的直径因此2＝4＋213.故S＝4球

＝169π.【迁移探究2】若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图试求该几何体外接球的表面积解

设外接球的半径为,由三图可知该几何体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),上、两顶点之间的距离为,正四棱锥的底是边长为2R的正方形,R2

＋R3

2

解得R2

＝6,故该球的表面积S＝π

＝24π.规律方法

1.与球有关的组合体问一种是内,一种是外球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解球与多面体的组,通过多面体的一条侧棱和球或“切点”、“接点”作出截面图把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四P,,,,两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题【训练3】广州模拟)三棱锥－ABC中平面⊥平面,AB⊥,＝＝AC＝2,＝4,则三棱锥P－的外接球的表面积为()A.

23B.π

C.64π

64D.π3解析

如图,为正PAC中心,Deq\o\ac(△,Rt)ABC斜边的中点HAC中点.平面PAC平面ABC则OH⊥平面.O∥,OD∥H则交点O为三棱锥2外接球的球心,接,′P＝××2,′＝DHAB2.∴R416＝OPOP2O2＋4.

23364故几何体外接球的表面积＝4π2π.【参考答案】D[思维升]转化与化归思:计算旋转体的侧面积一般采用转化的方法来进行即将侧面展开化为平面图,“化曲为”解决此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法求体积的两种方:(1)割补法求一些不规则几何体的体积,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法等体积法的前提是几何图(或几何体)面积体)过已知条件可以得利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.[易错防]求组合体的表面积时组合体的衔接部分的面积问题易出错由三视图计算几何体的表面积与体积时由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误底面是梯形的四棱柱侧放时容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义以防出错.直观想象——简单几何体的外接球与内切球问题直观想象主要表现为利用几何图形描述问题借助几何直观理解问,运空间想象认识事物,决与球有关的问题对该素养有较高的要求.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,中球心的确定是关键.类型1

外接球的问题1.必备知识简单多面体外接球的球心的结论结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点1212结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点构造正方体或长方体确定球心利用球心截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球O与弦中点的连线垂直于弦的性质,定球心.2.方法技巧几何体补成正方体或长方体.【例1－1某几何体的三视图如图所示则该几何体的外接球的表面积为)A.25

B.26π

C.32π

D.π解析

由三视图可,几何体是以俯视图的图形为底条侧棱与底面垂直的三棱锥图,棱锥ABCD即为该几何,BD2,＝BD2BCCD2,∠BCD故底面外接圆的直径2＝＝4.易知AD三棱锥－BCD外接球的直径设球的半径为,由勾股定理得4＝AB

＋4r

2

＝32,该几何体的外接球的表面积4π

＝32π.【参考答案】C【例－】(2019·东北三省四市模拟已知边长为的等边三角形D为BCπ的中点,进行折叠使折叠后的∠BDC＝则过A,,,四点的球的表面积为()A.3

B.π

C.π

D.π解析

连由为,＝CD1,AD3,⊥⊥AD,BD⊥将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是23322minsin120°minmin1111minmin33minmin323322minsin120°minmin1111minmin33minmin35的长方体对角线长为＋13故该三棱锥外接球的半径是表面积为5π.【参考答案】C【例1－3(2019·广州二测体积为3的三锥－ABC的顶点都在球O球面上,PA平面ABCPA＝2,∠ABC＝120°,则球的体积的最小值为()77π

B.

283

πC.

19193

π

7619D.π3解析

1设＝c,ab,题可得3×

△

×2,得S

△

33＝因为∠ABC

△

33＝＝所以ac由余弦定理可得b2a＋－2accos120°a2＋≥2＋ac＝318,且仅＝c时取等号,＝b3232.△ABC接圆的半径为r则＝2r(b最小,外接圆半径最小),32＝2r所以r＝O△的圆为的的半径,A,OOAOD,PO,得＝1,R2r2OO＝r1,r＝＝14＝7,R＝故球体积的最小值为πR3＝×(3

287＝.【参考答案】B类型2

内切球问题1.必备知识(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外球球心到多面体各顶点的距离均相等.3333433333334333正多面体的内切球和外接球的球心重合正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上但不一定重合2.方法技巧体积分割是求内切球半径的通用做法4π【例2】体积为的球与正三棱柱的所有面均相切,则该棱柱的体积为________.解析

4π4π设球的半径为,＝得＝1,以正三棱柱的高h2.13设底面边长为a,×a1,以＝3所以V×(23)【参考答案】63

×26基础巩固题组建议用时:40分钟一、选择题1.一个球的表面积是π,那么这个的体积为()16π

B.

323

πC.16π解析

设球的半径为,S4πR2

D.24π＝16π,得R2,432则球的体积VπR3π.【参考答案】B全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题“今有委米依垣内,下八尺高五尺.:积及为米几何？”其意思:“在屋内墙角处堆放米(图米堆为一个圆锥的四分之一)堆底部的弧长为尺,米堆的高为5尺问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,周率约为3,估算出堆放的米约有()22439632662243963266A.14斛

B.22斛

C.36斛

斛解析

π16设米堆的底面半径为r尺则r所以rπ11π320所以米堆的体积为V×π·r·5≈(立方尺).129320故堆放的米约有≈斛).【参考答案】B茂名模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.7

B.

152

C.

233

47D.解析

由三视图可知该几何体是正方体去掉一个三棱正方体的棱长为2,棱111锥的三个侧棱长为1,该几何体的体积＝23××1×1×18＝.【参考答案】D安徽皖南八校二联)榫卯是我国古代工匠极为巧的发明它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式我国的北京紫禁城山西悬空寺福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图则其体积与表面积分别为()A.24＋π,34＋πC.24＋π,3654π

＋52,36＋πD.2454π,34＋π解析

由三视图可,榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成,其体积4×2×3π3

2

×62454,表面积S2×3

2

×××4×3×222×354π＋36.【参考答案】C商丘模)一块硬质材料的三视图如图所示正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形将该材料切削、打磨,加工成球则能得到的最大球的半径最接近()A.3C.5解析

B.4D.6由题该硬质材料为三棱(底面为等腰直角三角所以最大球的半径等于侧视图直角三角形内切圆的半径设为rcm,10r10r2.∴r－52≈【参考答案】A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5高为4圆锥和底面半径为2、高8圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,新的底面半径为________.33111111122111P3133111111122111P311213332113解析

1设新的底面半径为r由题意得πr

2

＋πr

2

1·8π×5

2

×4π×2

×8,得r＝【参考答案】7.如图三棱柱ABC－AB的体积为1,为侧棱BB上的一点,则四棱锥－ACCA的体积为解析

设点到平面ABC平面的距离分别为h,h则棱柱的高为＝

1＋h记S

ABC

＝eq\o\ac(△,S)AB三棱柱的体积为＝Sh而从三棱柱中去掉四棱PACCA的剩余体积＝

－

1＋VPC＝Sh＋Sh＝h＋11h)＝从而VPACCA＝V＝1＝【参考答案】

广州调研)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图均是高为底边长为22等腰三角形,俯视图是边长为2的正方形,则该几何体的外接球的体积是________.解析

如图所示,三视图可得该几何体是三棱ABCD,中ABCD均是该三棱锥所在长方体的棱的中点＝＝2,方体的高为2,得该三棱锥的外4π接球的半＝2（223,此该三棱锥的外接球的体积为＝π.11111111111锥11111111111锥31111111111111111【参考答案】43三、解答题9.现需要设计一个仓库它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱－CD,下部的形状是正四棱柱－BCD(如图所示),并要求正四棱柱的高O是正四棱锥的高的,AB＝6m,＝2则仓库的容积是多少？解

由＝知O＝4＝m.因为AB＝AB＝6m,所以正四棱锥P11CD的体积V＝B2PO＝×6×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－CD的体积＝AB·OO＝6＝柱所以仓库的容积V＝＋＝24288＝312(m锥柱故仓库的容积是3123.

3

如图,长方体ABCDAD,AB10,AA点,分别在,上,A＝D＝4.点,的平面α与此长方体的面相交,线围成一个正方形.在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；求平面α把长方体分成的两部分体积的比值.解

交线围成的正方形如图所示.111212199433111212199433如图,作EM⊥,足为,则AM＝A＝＝EM＝AA＝因为四边形EHGF为正方形所以＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH

－EM2

＝6,＝＝6.1故S四边形A＝×＋×8＝56,1S四边形BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面成两个高为10直棱柱所以其体积的比值为也正确7能力提升题组建议用时:20分钟德阳模)已知一个简单几何体的三视图如图所示则几何体的体积为()A.3＋66π＋6C.＋12解析

由三视图还原几何体如,几何体为组合,半部分是四分之一圆,111半部分是三棱锥,其体积V××π×3×＋×××3×43π＋6.选A