2019届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学(理)试卷(word版)

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A2.已知全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】B4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B.C. D.【答案】A9.在中，，，，则的面积为（）A.15 B. C.40 D.【答案】B10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A.2 B. C. D.4【答案】C12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】814.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，解得，，∴．(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，∴，或．【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式,等比数列的前n项和公式.18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）已知这120件产品来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质产品20非优质产品60合计将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）有的把握（Ⅲ）分布列见解析，【解析】【分析】（I）根据小长方形面积和为列方程，解方程求得的值.（II）根据题目所给数据填写好联表，计算的值，由此判断有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系.（III）利用二项分布计算出的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：，解得．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有，列联表如下表所示：试验区试验区合计优质产品102030非优质产品603090合计7050120∴，∴有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且，∴，，，，，∴的分布列为：01234．【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查列联表独立性检验，考查二项分布等知识，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（I）取的中点，连结，，通过证明四边形是平行四边形证得，由此证得平面.（II）以为原点，以、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，通过通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值．【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，∵是棱的中点，∴，且，∵，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．解：（Ⅱ）以为原点，以、分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设是平面的一个法向量，由，即，令，得，设是平面的法向量，由，即，令，得，，∵二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆：的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，，解得或，设，，又，，∴，∵坐标原点在以为直径的圆内，∴，∴，解得或.故直线斜率的取值范围为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.21.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得，由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）的导数为，可得切线的斜率为1，切点为，切线方程为，即；（Ⅱ）若在上恒成立，可得在上恒成立，令，则，，可得在上单调递增，则，可得在上单调递增，则，则．【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求和的直角坐标方程；（Ⅱ）过点作直线的垂线交曲线于，两点，求.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用加减消元法消去的参数，求得的直角坐标方程.对的极坐标方程两边乘以，化简后得到的直角坐标方程.（II）设出过点与直线垂直的直线的参数方程，代入的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求得的值.【详解】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（其中为参数）消去可得：，由得，得.（Ⅱ）过点与直线垂直的直线的参数方程为：（为参数），代入可得，设，对应的参数为，，则，所以.【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）已知．且对于，