线性平稳时间序列模型

线性平稳时间序列模型第一页，共八十九页，2022年，8月28日第一节时间序列的预处理一、平稳性检验二、纯随机性检验返回本节首页下一页上一页第二页，共八十九页，2022年，8月28日时间序列的预处理返回本节首页下一页上一页时间序列平稳性检验平稳性时间序列非平稳性时间序列纯随机性检验白噪声序列(纯随机序列)平稳非白噪声序列无规律可循，分析结束ARMA模型1.确定性分析2.随机性分析（ARIMA模型）第三页，共八十九页，2022年，8月28日一、平稳性检验1.平稳性定义（性质）2.平稳性检验的方法3.应用举例返回本节首页下一页上一页第四页，共八十九页，2022年，8月28日1.平稳性定义——知识回顾严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。

返回本节首页下一页上一页第五页，共八十九页，2022年，8月28日2.平稳性检验方法(1)通过时间序列的趋势图来判断(2)通过自相关函数(ACF)判断特征根检验法单位根检验法非参数检验法图检验方法返回本节首页下一页上一页第六页，共八十九页，2022年，8月28日图检验（特点）这种方法是通过观察时间序列的趋势图和自相关图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。第七页，共八十九页，2022年，8月28日(1)时序图检验（判断准则）根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及无周期特征第八页，共八十九页，2022年，8月28日(2)自相关图检验（判断准则）平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。第九页，共八十九页，2022年，8月28日若序列无趋势，但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞12，24，36……的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，8，12，……)，并且随着时滞的增加变得较小。第十页，共八十九页，2022年，8月28日若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，……等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12，……等处。第十一页，共八十九页，2022年，8月28日3.应用举例例1时序图

自相关图检验1951年——2005年我国居民消费价格指数的平稳性例2时序图自相关图检验1990年1月——1997年12月我国工业总产值序列的平稳性例3时序图自相关图检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平稳性返回本节首页下一页上一页第十二页，共八十九页，2022年，8月28日例1居民消费价格指数时序图返回例题第十三页，共八十九页，2022年，8月28日例1居民消费价格指数自相关图返回例题第十四页，共八十九页，2022年，8月28日例2GIP时序图返回例题第十五页，共八十九页，2022年，8月28日例2GIP相关图返回例题第十六页，共八十九页，2022年，8月28日例3北京市最高气温时序图返回例题第十七页，共八十九页，2022年，8月28日例3北京市最高气温自相关图返回例题第十八页，共八十九页，2022年，8月28日二、纯随机性检验

（一）纯随机序列的定义（二）纯随机性的性质（三）纯随机性检验返回本节首页下一页上一页第十九页，共八十九页，2022年，8月28日（一）纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条性质

并不是所有平稳序列都值得建模！纯随机序列无法预测，无法进一步建模！返回本节首页下一页上一页第二十页，共八十九页，2022年，8月28日标准正态白噪声序列时序图

第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日（二）白噪声序列的性质

纯随机性

各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列

方差齐性(平稳)

根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的返回本节首页下一页上一页第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日（三）纯随机性检验

1.检验原理2.假设条件3.检验统计量4.判别原则5.应用举例返回本节首页下一页上一页第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日1.检验原理:Barlett定理

如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布返回本节首页下一页上一页第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日2.假设条件原假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间有相关性

返回本节首页下一页上一页第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日3.检验统计量Q统计量（大样本）LB统计量（小样本）返回本节首页下一页上一页第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日4.判别原则拒绝原假设当检验统计量大于

分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点，或该统计量的P值大于时，则认为在的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定

返回本节首页下一页上一页第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日5.应用举例例4：标准正态白噪声序列纯随机性检验。例3续对1949－1998年北京市最高气温序列做白噪声检验。例5对1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验。返回本节首页下一页上一页第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日例4：

标准正态白噪声序列纯随机性检验样本自相关图返回例题第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日检验结果延迟Q统计量检验Q统计量值P值延迟6期4.34350.63延迟12期14.1710.29由于P值显著大于显著性水平，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。返回例题第三十页，共八十九页，2022年，8月28日例3续对1949－1998年北京市最高气温序列做白噪声检验。自相关图返回例题第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日例3续白噪声检验结果延迟阶数Q统计量检验Q检验统计量的值P值65.3840.496126.17210.907由于P值显著大于显著性水平，所以不能拒绝序列纯随机的原假设。因而可以认为北京市最高气温的变动属于纯随机波动。这说明我们很难根据历史信息预测未来年份的最高气温。返回例题第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日例5时序图返回例题第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日例5自相关图返回例题第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日例5白噪声检验结果延迟阶数Q统计量检验Q检验统计量的值P值665.151<0.00011271.773<0.0001由于P值显著小于显著性水平，所以我们可以以很大的把握断定北京是城乡居民定期储蓄比例序列属于非白噪声序列。返回例题第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日结合前面的平稳性检验结果，说明该序列不仅可以视为是平稳的，而且还蕴含着值得我们提取的相关信息。这种平稳非白噪声序列是目前最容易分析的一种序列。返回本节首页下一页上一页第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日第二节建立线性时序模型的原理

——动态性返回本节首页下一页上一页第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日动态性：就是指时间序列各观测值之间的相关性。从系统的观点看：动态性即指系统的记忆性，也就是某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，图示如下：系统输入输出（响应）第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日例（1）某人在某一天打了一针，如果当天的反应是疼痛，而以后没有其它反应，那么系统的输入、输出如下：时间t：12345输入at:01000输出xt：0000这种状况可用模型概括为：第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日（2）如果此人在打针后当天没有什么感觉，而第二天出现了红肿，那么系统的输入、输出如下：时间t：12345输入at:01000输出xt：0000这种状况可用模型概括为：第四十页，共八十九页，2022年，8月28日（3）如果当天的反应是疼痛，第二天出现了红肿，那么：时间t：12345输入at:01000输出xt：000这种状况可用模型概括为：第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日（4）如果打针以后各个时刻都存在相应的反应，那么，关于该刺激的总的概括为：第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日上式中：总称为记忆函数，其中为at-j对xt的影响程度，输入与输出是由记忆函数联结起来的。由于系统具有记忆性，我们可以用过去的数据预测未来。第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日第三节线性平稳时间序列模型的种类一、自回归模型二、移动平均模型三、自回归移动平均模型四、求和自回归移动平均模型返回本节首页下一页上一页第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日(一).一阶自回归模型，AR(1)1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为：其中：(1)at是白噪声序列（Eat=0,Var(at)=σ2,cov(at,at+k)=0,k≠0）,(2)假定：E(xt,as)=0(t<s)，那么我们就说xt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。一、自回归模型(Autoregressivemodel,AR）返回本节首页下一页上一页第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依赖于它的前一期的值xt-1；另一部分是依赖于与xt-1不相关的部分at第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日2.可将AR(1)模型写成另一种形式：通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过消除xt中依赖于xt-1的部分，而使相关数据转化成了独立数据。第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日3.随机游走模型如果一个时间序列xt的合适的模型为如下的形式：其中：at为白噪声序列，那么就称该模型为随机游走模型，这样的时间序列称随机游走过程。第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日注意：随机游走过程是非平稳时间序列。证明：第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日☆随机游走通常被比作一个醉汉的游走。BAR第五十页，共八十九页，2022年，8月28日虽然随机游走过程是非平稳的，但是我们看到，它的一阶差分却是平稳的：有些研究表明，许多经济时间序列呈现出随机游走或至少有随机游走的成分，如股票价格，这些序列虽然是非平稳的，但它们的一阶(或高阶)差分却是平稳的。Box—Jenkins就是利用差分这种数学工具来使非平稳序列转化为平稳序列的。有关随机走的单位根(Unitroot)检验,我们以后将作介绍第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为（二）二阶自回归模型，AR(2)其中：(1)at是白噪声序列,(2)假定：E(xt,as)=0(t<s)，那么我们就说xt遵循一个二阶自回归或AR(2)随机过程。上述模型就是AR(2)模型。思考：若建立AR(2)模型以后，上述假设不符合，说明了什么问题？第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日2.AR(2)模型的等价形式通过等价形式可以看出，AR(2)模型通过将xt中依赖于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使数据转化成了独立数据at。第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日1.如果关于xt的合适模型为:（三）一般自回归模型，AR(p)那么，就称xt满足p阶自回归模型，记作AR(p)。（假设条件同前）第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日2.AR(p)模型的等价形式通过等价形式可以看出，AR(p)模型通过将xt中依赖于xt-1、xt-2……xt-p的部分剔除掉，而使数据转化成了独立数据at。第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日我们得到一个AR(p)模型后，要检验它是否符合实际，主要就是通过检验模型的有关假设是否成立来进行的，例如，如果检验出残差序列at不是白噪声序列，那么该模型就不是合适的模型。第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日二、移动平均模型（movingaveragemodel,MA）（一）一阶移动平均模型，MA(1)如果关于xt（假设同前）的合适的模型如下：其中：at为白噪声序列，那么就称xt满足一阶移动平均模型，记作MA(1)返回本节首页下一页上一页第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日MA(1)模型表明，xt依赖于两部分，一部分为at-1，另一部分为at第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日一般移动平均模型的形式：（二）一般移动平均模型，MA(q)其中：at为白噪声序列。从一般移动平均模型可以看出，xt仅与at，at-1，…at-q有关，而与at-j(j>q)无关。第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日三、自回归移动平均模型，ARMA（p,q）1.自回归移动平均模型的一般形式如果xt即有AR模型特性，又有MA模型的特性，那么它可以用如下的线性模型来描述：其中：(1)at是白噪声序列,(2)假定：E(xt,as)=0(t<s)，那么我们就说xt满足自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)。返回本节首页下一页上一页第六十页，共八十九页，2022年，8月28日例如ARMA(2,1)ARMA(3,2)……第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日从以上可以看出AR、MA、ARMA(p,q)等模型均可以看作是ARMA(p,p-1)模型的特例，这为我们提供了一种很好的建模策略，即建模时，可以通过逐渐增加ARMA(p,p-1)模型的阶数，逐渐找到最有效的模型。参见课本P41第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日思考：如果{xt}是一个非零均值的平稳时间序列，怎么对其建立模型？第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日2.ARMA(p,q)模型的另一种表示方式用Bk表示k步线性推移算子或延迟算子(backwardshiftoperator,delayoperator),则有并令：第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日那么，ARMA(p,q)可简写为：把看作算子B的多项式，通常假定它们之间不出现公共因子。第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日例如第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日四、求和自回归移动平均模型（ARIMA,IntegratedAutoregressiveMovingaveragemodel）前面我们讨论的都是对平稳时间序列建立模型。如果序列xt是非平稳的，那么我们必须对其进行d次差分，把它变为平稳的序列Δdxt，然后用ARMA(p,q)作为它的模型，此时就称对原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q)模型。其中：p为自回归部分项数，q指移动平均项数d为使序列平稳之前必须对其差分的次数返回本节首页下一页上一页第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。例如：ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下其中第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日一、时间序列模型的平稳性二、时间序列模型的可逆性三、自回归模型的平稳性条件四、移动平均模型的可逆性条件第四节ARMA模型的平稳性和可逆性返回本节首页下一页上一页第七十页，共八十九页，2022年，8月28日一、时间序列模型的平稳性（Stationarity）平稳性的定义：如果一个时间序列模型可以写成如下形式：其中，xt为零均值平稳序列，at为白噪声，且满足条件就称该模型是平稳的。（上式又称Wold展开式）返回本节首页下一页上一页第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日对于一个有限阶的MA(q)模型总有：所以，一个有限阶的MA(q)模型总是平稳的。第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日二、时间序列模型的可逆性(ivertibility)如果一个时间序列（未必平稳）的模型可以写成如下形式：其中：at为白噪声，且有那么，就称这个模型是可逆的。返回本节首页下一页上一页第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日对于一个有限阶的自回归模型AR(P)总有：所以，一个有限阶的AR(P)模型总是可逆的。第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日自回归表示有助于理解预测机制，Box和Jenkins证明，在预测时，一个非可逆过程是毫无意义的。第七十六页，共八十九页，2022年，8月28日一个可逆过程不一定是平稳的，对于一个有限阶的AR(P)模型：三、自回归过程的平稳性条件(stationaritycondition)它是平稳过程的必要条件是:的根都在单位圆外，即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它们的绝对值必须大于1返回本节首页下一页上一页第七十七页，共八十九页，2022年，8月28日注第七十八页，共八十九页，2022年，8月28日移项得推导过程如下由根据数学知识，上式可以展开为幂级数，即第七十九页，共八十九页，2022年，8月28日根据平稳性的条件有：即级数