高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例教学案新人教B新人教B高一数学教学案

1.3中国古代数学中的算法事例预习课本P27～32，思虑并达成以下问题如何求两个数的最大条约数？秦九韶算法的原理是什么？[新知初探]1．“更相减损之术”更相减损之术就是关于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，而后将差和较小的数组成一对新数，再用较大的数减去较小的数，频频履行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大条约数．2．割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采纳的用正多边形面积渐渐迫近圆面积的算法计算圆周率π的方法．3．秦九韶算法把一元n次多项式函数P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0改写：P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0(anxn－1＋an－1xn－2＋＋a1)x＋a0((anxn－2＋an－1xn－3＋＋a2)x＋a1)x＋a0(((anx＋an－1)x＋an－2)x＋＋a1)x＋a0，令vk＝((anx＋an－1)x＋＋an－(k－1))x＋an－k，v＝a，0n，，n.则递推公式为此中k＝1,2vk＝vk－1x＋an－k这样求一元n次多项式P(x)的值就转变为求n个一次多项式的值，这类求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．[小试身手]1．用更相减损术求98与63的最大条约数时，需做减法的次数为( )A．4B．5C．6D．7分析：选C(98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行6次减法．2．225与150的最大条约数是( )A．15B．30C．45D．75分析：选D由于(225,150)→(75,150)→(75,75)，所以225与150的最大条约数是75.543213．已知多项式f(x)＝4x＋3x＋2x－x－x－2，用秦九韶算法求f(－2)等于()197197A．－2B.2183183C.2D．－2分析：选A∵f(x)＝((((41197x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－.224．用圆内接正多边形迫近圆，因此获得的圆周率老是________π的实质值．分析：用割圆术法求出的是π的不足近似值．答案：小于求最大条约数[典例]求261和319的最大条约数．[解]319－261＝58，(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，所以319与261的最大条约数是29.“更相减损之术”求两个数的最大条约数的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n(m>n)．第二步，计算

m－n所得的差

k.第三步，比较

n与

k的大小，此中大者用

m表示，小者用

n表示．第四步，若m＝n，则m，n的最大条约数等于m；不然，返回第二步．[活学活用]1．用更相减损之术求36与135的最大条约数，需做减法的次数是________．分析：(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9)，故共进行了次减法运算．答案：62．求378与90的最大条约数．解：法一：378－90＝288，288－90＝198，198－90＝108，108－90＝18，90－18＝72，72－18＝54，54－18＝36，36－18＝18，∴378与90的最大条约数是18.法二：378＝90×4＋18，90＝18×5，∴378与

90的最大条约数是

18.用秦九韶算法求多项式的值[典例]

用秦九韶算法求多项式

f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当

x＝2时的值．[解]

依据秦九韶算法，把多项式改写成以下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8

x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋

0＝42，v3＝42×2＋

3＝87，v4＝87×2＋

0＝174，v5＝174×2＋

0＝348，v6＝348×2＋

2＝698，v7＝698×2＋

1＝1397.所以当

x＝2时，多项式的值为

1397.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的

3个问题要正确将多项式的形式进行改写．计算应由内向外挨次计算．当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项增补．[活学活用]用秦九韶算法写出当x＝3时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．解：由于f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，所以f(3)＝391.[层级一学业水平达标]1．78与36的最大条约数是()A．24B．18C．12D．6分析：选D(78,36)→(42,36)→(36,6)→→(6,6)．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f(x)变形为( )A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11分析：选Df(x)＝x3－32＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11.x3．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，则f(10)的值为________．分析：由秦九韶算法，得(x)＝x3－2x2－5x＋6(x2－2x－5)x＋6((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6(8×10－5)×10＋675×10＋6756.答案：7564．求168,54,264的最大条约数．解：为简化运算，先将三个数用

2约简为

84,27,132.由更相减损之术，先求

84与

27的最大条约数．84－27＝57,57－27＝30,30－27＝3，27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15，15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3，故84与27的最大条约数是3.再求3与132的最大条约数．易知132＝3×44，所以3与132的最大条约数就是3.故84,27,132的最大条约数是3，即168,54,264的最大条约数是6.[层级二应试能力达标]1．用更相减损术求459与357的最大条约数，需要做减法的次数为( )A．4B．5C．6D．7分析：选B459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大条约数为51，共做减法5次．2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－32＋－1,当x＝3时的值时，先算的是xx( )A．3×3B．0.5×35C．0.5×3＋4D．(0.5×3＋4)×3分析：选C把多项式表示成以下形式：f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1,按递推方法，由内往外，先算0.5x＋4的值．3．4830与3289的最大条约数为()A．23B．35C．11D．13分析：选A4830＝1×3289＋1541；3289＝2×1541＋207；1541＝7×207＋92；207＝2×92＋23；92＝4×23；23是4830与3289的最大条约数．v0＝an，4．依据递推公式此中k＝1,2，，n，可适当k＝2时，v2的值为vk＝vk－1x＋an－k，( )A．v2＝anx＋an－1B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2C．v2＝(anx＋an－1)xD．v2＝anx＋an－1x分析：选B依据秦九韶算法知v0＝an，v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2＝(anx＋an－1)x＋an－2.5．用“更相减损之术”求128与48的最大条约数，第一步应为________________．分析：先求128－48的值，即128－48＝80.答案：128－48＝806．117与182的最大条约数等于________．分析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大条约数为13.答案：137．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f( )＝nn＋n－1xn－1＋＋1＋0，当xaxaaxax＝x0时，框图中A处应填入________．分析：f(x)＝nn＋an－1n－1＋＋1＋0，先用秦九韶算法改为一次多项式，axxaxaf(x)＝(((anx＋an－1)x＋an－2)x＋＋a1)x＋a0.f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；k＝2，f3＝f2x0＋an－2；；概括得第k次fk＋1＝fx＋a.故A处应填a.k0n－kn－k答案：an－k8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问如何设计才能保证正方体的体积最大且不浪费资料？解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大条约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．所以将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费资料．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下赋值语句正确的选项是( )A．s＝a＋1

B．a＋1＝sC．s－1＝a

D．s－a＝1分析：选

A

赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左边只好是单个变量，故B、C、D均不正确．2．在用“更相减损之术”求98和56的最大条约数时，操作以下：(98,56)→(56,42)→(42,14)→(28,14)→(14,14)．由此可知两数的最大条约数为( )A．98B．56C．14D．42分析：选C由更相减损术可知两数最大条约数为14.3．阅读以下图的程序框图，以下说法正确的选项是( )A．该框图只含有次序构造、条件分支构造B．该框图只含有次序构造、循环构造C．该框图只含有条件分支构造、循环构造D．该框图包含次序构造、条件分支构造、循环构造分析：选D阅读程序框图，可知该程序框图含有次序构造、循环构造、条件分支构造，应选D.ln－x，x≤－2，4．如图是计算函数y＝0，－2＜x≤3，的值的程序2x，x＞3框图，在①②③处应分别填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x分析：选B当x>－2不建即刻，有x≤－2，则①处填入y＝ln(－x)；x，则②处填入x；当x>－2建即刻，若x>3建立，则y＝2y＝2若x>3不建立，即－2<x≤3，则y＝0，则③处填入y＝0.5．由下边循环语句可知输出的结果是( )＝0；S＝0；whileS＜＝20S＝S＋i；＝i＋1；endprint%io2，i；A．5B．6C．7D．8分析：选C程序履行的功能是S＝1＋2＋3＋＋i，当i＝6时，S＞20，停止循环，此时输出的i＝7.6．履行两次以下图的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0.2,0.2B．0.2,0.8C．0.8,0.2D．0.8,0.8分析：选C当a＝－1.2时，履行第一个循环体，a＝－1.2＋1＝－0.2＜0再履行一次第一个循环体，a＝－0.2＋1＝0.8,第一个循环体结束，输出；当a＝1.2时，履行第二个循环体，a＝1.2－1＝0.2,输出．0，x＞0，．已知函数f(x)＝－1，x＝0，写f{f[f(2)]}的算法时，以下哪些步骤是正确7x＋1，x＜0，的( )S1由2＞0，得f(2)＝0；S2由f(0)＝－1，得f[f(2)]＝f(0)＝－1；S3由－1＜0，得f(－1)＝－1＋1＝0，即f{f[f(2)]}＝f(－1)＝0.A．S1

B．S2C．S3

D．三步都对分析：选

D

以上三步按照由内向外的计算次序，计算结果正确，所以三步都对．8．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，则输出n的值为( )A．7B．6C．5D．4分析：选B第一次运转：S＝0＋(－1)1×1＝－1<3；第二次运转：n＝2，S＝－1＋(－1)2×2＝1<3；第三次运转：n＝3，S＝1＋(－1)3×3＝－2<3；第四次运转：n＝4，S＝－2＋(－1)4×4＝2<3；第五次运转：

n＝5，S＝2＋(－1)5×5＝－

3<3；第六次运转：

n＝6，S＝－3＋(－1)6×6＝3，知足

S≥3.故输出

n的值为

6，应选

B.9．若以下图的程序框图输出的

S的值为

126，则条件①为

(

)A．n≤5

B．n≤6C．n≤7

D．n≤8分析：选

B

由题知，第一次循环后，

S＝2，n＝2；第二次循环后，

S＝6，n＝3；第三次循环后，

S＝14，n＝4；第四次循环后，

S＝30，n＝5；第五次循环后，

S＝62，n＝6；第六次循环后，

S＝126，n＝7，知足了

S＝126，循环结束，所以条件①为

n≤6.10．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的办理框“①”处应填写的是( )A．＝n－1B．＝－2nnnC．＝n＋1D．＝n＋2nn分析：选C由于开端n＝1，输出的n＝4，所以清除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S1S＝1－111＝1－2＝－1，n＝2，判断－1≠2，持续循环；－1＝2，n＝3，判断2≠2，持续1循环；S＝1＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，应选C.1－211．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋793＋64＋5x5＋36的值，当x＝－4xxx时，v4的值为()A．－57B．124C．－845D．220分析：选D依照秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝v1xa4＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×(－4)(－8)＝220，应选D.412．履行以下图的程序框图，若输出S＝9，则输入整数n＝( )A．8B．9C．10

D．8或

91分析：选

D

在条件建立的状况下，履行第一次循环后，

S＝3，i

＝4；履行第二次循环2

3

4后，S＝5，i

＝6；履行第三次循环后，

S＝7，i

＝8；履行第四次循环后，

S＝9，i

＝10.

若n4＝8或

n＝9，此时

10≤n不建立，退出循环，输出

S＝9，所以

n＝8或

n＝9，应选

D.二、填空题

(本大题共

4小题，每题

5分，共

20分．请把正确答案填在题中横线上

)13．以下程序运转后输出的结果为

________．分析：当x＝5时，y＝－20＋3＝－17，所以最后输出的x－y＝5－(－17)＝22.答案：2214．用秦九韶算法求多项式P(x)＝8x4－17x3＋7x－2，当x＝21的值时，需把多项式改写为________．分析：依据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P(x)＝(((8x－17)x＋0)x＋7)x－2.答案：P(x)＝(((8x－17)x＋0)x＋7)x－215．定义某种运算?，S＝a?b的运算原理以以下图所示，则0?(－1)＝________；设f(x)＝(0?x)x－2?x，则f(1)＝________.分析：由于0＞－1，故＝0?(－1)＝|－1|＝1.S又由于，0＜1，故0?1＝0.而2＞1，故2?1＝1.故f(1)＝(0?1)×1－2?1＝0－1＝－1.答案：1－1116．履行以下图的框图所表达的算法，假如最后输出的S值为2016，那么判断框中实数a的取值范围是________．11分析：当1≤a<2时，输出的S值为1＋1＝2；121当2≤a<3时，输出的S值为1＝3；1＋2131当3≤a<4时，输出的S值为1＝4；；1＋31当2015≤a<2016时，输出的S值为2016.答案：[2015,2016)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求72,120,168的最大条约数．解：由更相减损之术，得168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24，48－24＝24，故120和168的最大条约数是24.而72－24＝48,48－24＝24，故72和24的最大条约数也是24，所以72,120,168的最大条约数是24.18．(本小题满分

12分)编写一个程序，输出使

1＋4＋7＋＋