自动控制原理及应用课件第三章

自动控制原理及应用课件第三章第一页，共七十一页，2022年，8月28日第3章控制系统的时域分析法

3.5应用实例

3.4控制系统的稳态误差计算3.3控制系统的稳定性分析3.2典型系统的时域分析3.1

控制系统的典型输入信号和时域性能指标

本章小结第二页，共七十一页，2022年，8月28日教学目标：了解典型输入信号及控制系统时域性能指标；

掌握控制系统稳定性的概念及系统稳定性判据；熟悉一阶系统、二阶系统的时域分析与计算；掌握控制系统稳态误差的计算方法。第三页，共七十一页，2022年，8月28日3.1控制系统的典型输入信号和时域性能指标

3.1.1典型输入信号

1.阶跃信号1.阶跃信号的数学表达式为式中，常数A0为阶跃值。对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量，如图3-1所示。若A=1，称为单位阶跃函数，记作1(t)阶跃函数的拉普拉斯变换为

图3-1阶跃信号

第四页，共七十一页，2022年，8月28日2．斜坡信号斜坡信号的数学表达式为式中，常数A0为斜坡信号的作用强度。当A0=1时，称为单位斜坡信号。斜坡信号如图所示，它表示信号随时间的变化率为常数的一类信号。斜坡信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为图3-2斜坡信号

第五页，共七十一页，2022年，8月28日3．抛物线信号抛物线信号的数学表达式为式中，A0为常数。当A0=1时，称为单位抛物线信号，也称为单位加速度信号。抛物线信号如图所示，它表示随时间以等加速度增长的信号。抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为

图3-3抛物线信号

第六页，共七十一页，2022年，8月28日4．脉冲信号脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为脉冲信号如图3-4（a）所示，当A0=1时，若令脉宽

→0，则称为单位理想脉冲函数，记作

(t)，单位脉冲函数如图3-4（b）所示，

(t)函数满足

脉冲信号的拉普拉斯变换为单位脉冲函数的拉普拉斯变换为图3-4脉冲信号

(b)

(a)

第七页，共七十一页，2022年，8月28日正弦信号主要用于求解控制系统的频率特性，以便分析与设计控制系统。显然，

(t)所描述的脉冲信号实际无法得到。在控制工程中，对于单位窄脉冲信号可用

(t)函数来近似。5．正弦信号正弦信号的数学表达式为式中，为振幅；为角频率。正弦信号的拉普拉斯变换为第八页，共七十一页，2022年，8月28日

3.1.2控制系统的时域指标在典型输入信号作用下，任何一个实际控制系统的时域响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程是指系统从加入输入信号到系统输出达到稳态值前的响应过程。动态过程主要是由于系统的惯性、摩擦以及其他一些因素造成的，根据系统结构和参数选择不同，动态过程表现为衰减、发散及等幅振荡几种形式。

稳态过程是指时间t趋于无穷时，系统的输出状态。稳态过程表征了系统输出信号复现输入信号的程度。第九页，共七十一页，2022年，8月28日控制系统的时域性能指标包括动态性能指标和稳态性能指标。通常时域性能指标以零初始条件下的单位阶跃响应曲线为定义依据，控制系统的典型阶跃响应曲线如图3-5所示，定义的时域指标如下。图3-5单位阶跃信号作用下的系统响应特性

延迟时间td：响应曲线上升到其稳态值的50%所需要的时间。(2)上升时间tr：响应曲线第一次达到稳态值所需的时间。(3)峰值时间tp：响应曲线第一次达到峰值所需的时间。第十页，共七十一页，2022年，8月28日(4)调节时间ts：响应曲线到达并保持在稳态值的±2%或±5%误差范围内所需要的最短时间。调节时间又称为过渡过程时间。(5)超调量%：响应曲线首次达到的峰值超过稳态值的百分数，即表征动态过渡过程的时域性能指标称为动态性能指标。通常用调节时间ts表征系统的响应速度。超调量%是一个十分重要的系统动态性能指标，它表征了控制系统的稳定性。(6)稳态性能ess：当t→∞

时，系统输出响应的期望值和实际值之差称为稳态误差。控制系统的稳态性能指标即为稳态误差ess，是系统控制精度和抗干扰能力的一种度量。第十一页，共七十一页，2022年，8月28日3.2典型系统的时域分析式中，T为一阶系统的时间常数。一阶系统的动态结构图如图3-6所示，其闭环传递函数为3.2.1一阶系统的时域分析若系统的运动微分方程为一阶微分方程或系统传递函数分母s多项式的最高次方为1次，则该系统称为一阶系统。1.一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为图3-6一阶系统的动态结构

第十二页，共七十一页，2022年，8月28日一阶系统只有时间常数T这一个参数，故系统响应的性能指标和T密切相关。一阶系统作为复杂系统的一个环节，常称为惯性环节，时间常数T是表征系统惯性的主要参数。2.一阶系统的单位阶跃响应当R(s)=1/s时，系统的单位阶跃响应为取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有式中，第一项为稳态分量；第二项为暂态分量，它随时间t趋于无穷而最终衰减为0。第十三页，共七十一页，2022年，8月28日一阶系统的单位阶跃响应如图所示。系统响应曲线特点是单调上升且无振荡现象，故也称为非周期响应。当t=T时，c(T)=0.632，表明系统响应达到稳态值的63.2%所需的时间，即为一阶系统的时间常数。由此可得，一阶系统单位阶跃响应的性能指标如下：，可见，一阶系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，系统的响应的快速性越好。图3-7—阶系统的单位阶跃响应第十四页，共七十一页，2022年，8月28日3.一阶系统的单位斜坡响应当R(s)=1/s2时，系统的单位斜坡响应为取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有式中，(t-T)为稳态分量，为暂态分量。当时间t趋于无穷时，暂态分量最终衰减为零。第十五页，共七十一页，2022年，8月28日

单位斜坡响应的曲线如图3-8所示。一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差，即有

可见，一阶系统在单位斜坡响应下的稳态误差与时间常数成正比，从提高斜坡响应的稳态精度来看，应要求一阶系统的时间常数小。图3-8一阶系统的单位斜坡响应

第十六页，共七十一页，2022年，8月28日4.一阶系统的单位脉冲响应当R(s)=1时，系统的单位脉冲响应为取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-9所示。当时间常数T越小，系统响应的快速性越好。图3-9一阶系统的单位脉冲响应

第十七页，共七十一页，2022年，8月28日

对于线性定常系统有一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数，即线性定常系统可根据一种典型信号的响应，推知其他响应。3.2.2二阶系统的时域分析若控制系统的运动方程为二阶微分方程或传递函数分母s的最高次方为2，则系统称为二阶系统。1.二阶系统的数学模型典型二阶系统的动态结构图如图3-11所示，则二阶系统的开环传递函数为式中，K为二阶系统开环放大系数；T为惯性时间常数。第十八页，共七十一页，2022年，8月28日系统闭环传递函数为令，则由振荡参数描述的二阶系统闭环传递函数为，称为二阶系统无阻尼自然振荡角频率；，称为二阶系统的阻尼比。

式中，图3-11典型二阶系统的动态结构图

第十九页，共七十一页，2022年，8月28日2.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的特征方程为则可求得系统特征根为显然，对于不同的取值，s1、s2的性质是不同的，可能为实数根、复数根或重根。二阶系统相应的单位阶跃响应有不同的工作状态。1)无阻尼的情况(=0)闭环传递函数为系统特征根为第二十页，共七十一页，2022年，8月28日取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有无阻尼情况的单位阶跃响应为系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为自然振荡角频率。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状态。第二十一页，共七十一页，2022年，8月28日2)欠阻尼的情况(0<<1)时，两个特征根为共轭复根，即欠阻尼情况的单位阶跃响应为当(0<<1)取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有第二十二页，共七十一页，2022年，8月28日式中，，称为阻尼振荡角频率。设二阶系统的一对共轭复数根如图所示。由图可得则欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应改写为图3-12欠阻尼二阶系统特征参数间的关系第二十三页，共七十一页，2022年，8月28日显然，欠阻尼二阶系统的响应包括暂态分量和稳态分量两部分，是一个衰减振荡波形，最终达到稳态值1，但必有超调产生。第二十四页，共七十一页，2022年，8月28日3)

临界阻尼的情况(=1)当=1时，此时，系统的特征根为一对重负实数根，临界阻尼情况的单位阶跃响应为

设部分分式为式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-于是有取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有即s1,2=-第二十五页，共七十一页，2022年，8月28日单位阶跃响应曲线无振荡和超调，在不允许有超调量的场合，临界阻尼有最短的响应时间。4)过阻尼的情况(>1)时，系统的特征根是两个不相等的负实数根，即当>1系统单位阶跃响应的输出拉普拉斯变换量C(s)可以表示为式中，A1，A2，A3为待定系数。由此，输出响应的拉普拉斯逆变换可表示为第二十六页，共七十一页，2022年，8月28日过阻尼情况的二阶系统的单位阶跃响应由两个单调衰减的指数项和一个稳态值组成，系统输出曲线随时间t单调上升，无振荡和超调，响应曲线最终趋于稳态值1。二阶系统由无阻尼向欠阻尼、临界阻尼、过阻尼变化时，其单位阶跃响应曲线如图3-13所示。其中，阻尼比为曲线参变量。由图可以得出以下结论：(1)阻尼比越小，上升时间越短，超调量越大。因此，阻尼比是二阶系统的重要参量，影响二阶系统的振荡性。图3-13二阶系统阶跃响应曲线

第二十七页，共七十一页，2022年，8月28日(2)阻尼比取值在0.4～0.8之间为宜。此时，系统单位阶跃响应的快速性和稳定性得到兼顾。其中，当=0.707时，系统超调量小(%<5%)，调节时间也很小。因此，

=0.707称为最佳阻尼比。3.二阶系统的时域性能指标上升时间tr;根据上升时间的定义，则有当t=tr时，c(t)=1，即也即第二十八页，共七十一页，2022年，8月28日当时，输出响应首次达到了稳态值，故可见，若系统阻尼比不变，则θ不变。若增加减小上升时间tr。2)峰值时间tp根据峰值时间的定义，在峰值t=tp处，有c(t)的导数为0，即，则可当时，第一次出现峰值，则峰值时间为第二十九页，共七十一页，2022年，8月28日3)(最大)超调量%的定义为由于单位阶跃响应的稳态值c(∞)=1，则最大超调量为可见，二阶系统的最大超调量仅与值有关，

频率无关。

这样便可根据系统对振荡的要求确定求确定。

与自然振荡值后，再按其他要4)调节时调节时间ts可由如下近似公式估算间ts第三十页，共七十一页，2022年，8月28日式中，T=1/为系统的时间常数。当值大于上述值时，可采用如下近似公式可见，调节时间ts

与、

都有关。振荡性的要求来确定，因此，ts

就可由自然振荡频率来确定。值主要由对系统第三十一页，共七十一页，2022年，8月28日3.3控制系统的稳定性分析稳定性是控制系统最重要的性能，也是控制系统正常工作的前提。自动控制系统稳态性定义：线性系统处于某一初始平衡状态下，若在扰动作用下而偏离了原来的平衡状态，而扰动消失后，经过足够长的时间，系统能够回到原平衡状态或原平衡点附近，则称控制系统是稳定的或称系统具有稳定性，否则，系统为不稳定的。控制系统稳定性是扰动消失后，系统自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性，它取决于系统的结构和参数，而与系统初始条件及外作用无关。系统稳定性可分为绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性是指系统是稳定的或不稳定的；相对稳定性是用于衡量系统的稳定程度。第三十二页，共七十一页，2022年，8月28日设系统闭环传递函数为系统单位阶跃响应的一般形式可表示为式中，si为系统特征根(闭环极点)

由式可知，系统阶跃响应包括输出稳态分量和暂态分量两部分。显然，处于平衡状态的稳定系统其输出暂态分量应均为0，即→0。

。第三十三页，共七十一页，2022年，8月28日系统稳定的充分必要条件是：闭环系统的所有特征根的实部小于0，即全部系统特征根(闭环极点)都位于s的左半平面。劳斯稳定判据求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。希望寻求一种不需要求解的特征方程就能判别系统稳定性的间接方法，劳斯判据就是其中的一种。劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据。因此，这种判据又称为代数稳定判据。第三十四页，共七十一页，2022年，8月28日设线性系统的特征方程为根据特征方程的各项系数，可以建立如下劳斯表，即其中

……依次类推，可求出各元素b31，…，bn1。第三十五页，共七十一页，2022年，8月28日36劳斯稳定判据：若系统闭环特征方程式的各项系数都大于0，且劳斯表中第一列元素均为正值，则系统是稳定的。若劳斯表第一列元素有负数，则系统是不稳定的，即系统有闭环极点位于s右半平面，且位于右半平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列元素符号改变的次数。

【例3-3】设线性系统特征方程式为试判断系统的稳定性。解：建立如下劳斯表第三十六页，共七十一页，2022年，8月28日369

10400-6

9559特征方程各项系数为正，但劳斯表中第一列元素不全为正，故在s右半平面有根(正根)，系统是不稳定的。第一列元素符号改变两次，故有两个正实部根。第三十七页，共七十一页，2022年，8月28日38

劳斯判据的特殊情况劳斯表第一列出现元素为0。如果劳斯表第一列中出现0元素，则可以用一个小的正数

代替0参与计算，在完成劳斯表的计算后，再令

→0即可得到代替的劳斯表。

【例3-4】

设线性系统特征方程式为试判断系统的稳定性。解：建立如下劳斯表第三十八页，共七十一页，2022年，8月28日劳斯表第三行第一列元素为0，用无穷小的正数

代替0，当

→0时，3-3/

的值是一个很大的负数，劳斯表中第一列元素有负数，系统是不稳定的，且第一列元素符号改变两次，系统有两个闭环特征根位于s右半平面第三十九页，共七十一页，2022年，8月28日【例3-5】已知系统的特征方程为

试用劳斯判据分析系统的稳定性。解：建立如下劳斯表(2)劳斯表中出现某行元素全为0。如果劳斯表中出现某行元素全为0，说明特征方程有关于原点对称的根(如大小相等、符号相反的实数根；一对共轭纯虚根；对称于原点的两对共轭复数根)，此时可利用全0行的上一行构造一个辅助多项式F(s)，并以辅助多项式F(s)的导数代替劳斯表中的全0行，再进行计算。第四十页，共七十一页，2022年，8月28日劳斯表中s3行出现元素全为0，由s4行元素构造辅助方程式为辅助多项式F(s)的导数为s3行中的元素用4和6代替，建立劳斯表，即有第四十一页，共七十一页，2022年，8月28日可见，劳斯表第一列元素符号全为正数，系统没有正实根，但系统仍是不稳定的。可由辅助方程式求得系统对称于原点的根，即则,，易求出系统另一个特征根为-1。第四十二页，共七十一页，2022年，8月28日劳斯稳定判据的应用(1)确定系统个别参数的取值范围【例3-6】设单位负反馈系统的开环传递函数为试确定系统稳定时的取值范围解：系统的特征方程式为两边同乘以40，则有第四十三页，共七十一页，2022年，8月28日建立如下劳斯表定，劳斯表的第一列中所有元素都必须为正值，即有故开环增益k的取值范围为0<k<14，说明开环增益k增大，系统稳定性变差。第四十四页，共七十一页，2022年，8月28日

(2)判断系统的稳定裕度。可用闭环极点离虚轴的距离作为衡量系统的稳定裕度，如图3-15所示。通常，越大，系统的稳定度越高。方法：在系统的特征方程中，以s=z-代入原系统的特征方程，得到以z为变量的方程式，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充分必要条件，则说明系统特征根必在s平面中s=-

直线的左边，即系统具有

的稳定裕度。图3-15系统的稳定裕度第四十五页，共七十一页，2022年，8月28日2．胡尔维茨稳定判据设线性系统的特征方程式为

其中，主行列式为胡尔维茨稳定判据：如果系统特征方程系数所构成的主行列式及其主对角线上各阶顺序主子式(i=1,2,…,n-1)全部为正，则系统是稳定的，否则系统不稳定。第四十六页，共七十一页，2022年，8月28日【例3-8】设线性系统特征方程为试判断系统的稳定性。解：建立胡尔维茨行列式为各阶顺序主子式分别为主行列式及各阶顺序主子式均大于0，故系统是稳定的。第四十七页，共七十一页，2022年，8月28日3.4控制系统的稳态误差计算稳态误差是系统控制精度及抗干扰能力的度量。研究稳态误差的前提是系统必须是稳定的。

3.4.1稳态误差的定义——系统稳态条件下输入信号加入后经过足够长的时间，输出响应的期望值与实际值之间的误差，即稳态误差分为两种：①给定稳态误差；②扰动稳态误差。当输入信号和扰动信号同时作用时，系统的稳态误差应为这两项误差之和。第四十八页，共七十一页，2022年，8月28日典型闭环控制系统的结构图如图3-16所示，其稳态误差有两种定义方法。(1)从系统输入端定义，系统的输入信号r(t)与反馈信号b(t)之差称为误差函数，即稳态误差的定义为从系统输出端定义，设系统在输入信号作用下输出期望值为c‘(∞)，则稳态误差定义为第四十九页，共七十一页，2022年，8月28日两种稳态误差的定义存在内在的联系，可以证明两者满足如下关系式中，为反馈系数。ess具有输入信号的量纲，可间接反映稳态误差，计算公式中的输入信号和反馈信号在实际系统中均是可以量测的，便于分析计算。ess'具有输出信号的量纲，直接反映系统的稳态误差，由于输出响应的期望值的并不已知，故不便于计算。第五十页，共七十一页，2022年，8月28日3.4.2控制系统的型别设系统的开环传递函数为式中，K为系统开环增益；原点处有重极点。根据开环传递函数中包含的积分环节数目将系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…系统。

随着ν的数值增大，系统的稳态精度将得到改善，但系统型别增加会使系统的稳定性变差。Ⅱ型以上的系统不作研究。为串联积分环节数目或表示在第五十一页，共七十一页，2022年，8月28日3.4.3给定稳态误差及误差系数如果不考虑扰动，即，只在给定信号作用下，误差函数的拉普拉斯变换式为式中，。根据拉普拉斯变换的终值定理可得显然，上式表明给定稳态误差取决于参考输入的性质和系统的结构类型及参数。下面分析不同给定输入信号作用下稳态误差。第五十二页，共七十一页，2022年，8月28日对于单位阶跃信号输入时，则有0型系统的静态位置误差系数为则0型系统在阶跃信号作用下的稳态误差为1．阶跃信号作用的稳态误差及静态位置误差系数在阶跃信号()作用下的稳态误差可以表示为第五十三页，共七十一页，2022年，8月28日Ⅰ型系统的静态位置误差系数为则Ⅰ型系统在阶跃信号作用下的稳态误差为类似可得，Ⅱ型及Ⅱ型以上系统的静态位置误差系数为Kp=∞，稳态误差为essr=0。可见，在阶跃信号作用时，0型系统是有差的，Ⅰ型及Ⅰ型以上系统是无差的。2．斜坡信号作用下的稳态误差及静态速度误差系数在斜坡信号()作用下的稳态误差可以表示为第五十四页，共七十一页，2022年，8月28日式中，，称为静态速度误差系数。对于单位斜坡信号输入时，则有按照类似的方法，可求得对于0型系统：对于Ⅰ型系统：对于Ⅱ型或Ⅱ型以上系统：第五十五页，共七十一页，2022年，8月28日可见，0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入信号；Ⅰ型系统能够跟踪斜坡输入信号，但是存在稳态误差。也就是说，在稳态时，系统输出速度和输入速度恰好相同，但存在一个位置误差。该稳态误差和输入信号的斜率A成正比，和开环增益K成反比。Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统能够很好地跟踪斜坡输入信号，且在稳态时无稳态误差。3．抛物线信号作用下的稳态误差及静态加速度误差系数在抛物线信号()作用下的稳态误差可以表示为式中，，称为静态加速度误差系数。对于单位抛物线信号输入时，则有第五十六页，共七十一页，2022年，8月28日按照类似的方法，可求得对于0型系统：对于Ⅰ型系统：对于Ⅱ型系统：对于Ⅱ型以上的系统：通过以上分析可知，利用静态误差系数可方便地计算不同输入信号作用下的稳态误差，误差系数越大，则给定稳态误差越小，控制精度越高。不同典型输入作用下的稳态误差如表所示。第五十七页，共七十一页，2022年，8月28日第五十八页，共七十一页，2022年，8月28日3.4.4扰动稳态误差的计算

扰动作用下误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。若不考虑给定输入(R(s)=0)，仅考虑扰动信号N(s)作用时。一般用ed(t)表示用扰动信号引起的误差，则其拉普拉斯变换为由终值定理可得，扰动作用下的稳态误差为第五十九页，共七十一页，2022年，8月28日3.4.5系统稳态误差的方法

当控制系统既要求高的稳态精度又要求良好的动态性能时，单靠增加系统的开环增益或提高系统型别，往往难以满足。采用复合控制或称为顺馈控制的方法对误差进行补偿。常用的复合控制结构有如下两种。

1．按扰动量补偿的复合控制若系统扰动是可测量的，同时它对系统的影响是明确的，则可通过引入扰动的补偿信号来提高稳态精度。对扰动进行补偿的系统结构图如图所示。第六十页，共七十一页，2022年，8月28日令输入信号为零，即R(s)=0，可以求出在扰动作用下系统的输出为

可见，引入扰动的补偿装置GN(s)后，系统的闭环特征方程没有发生任何改变，即不会影响系统的闭环稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令第六十一页，共七十一页，2022年，8月28日这表明引入扰动补偿后，在扰动作用点处干扰经两通道作用后相互抵消，不影响系统的输出，实现了对扰动的完全补偿。2．按给定量补偿的复合控制

为了减小给定信号引起的稳态误差，可从输入端引入一补偿装置Gc(s),系统的输出为于是有系统误差可表示为第六十二页，共七十一页，2022年，8月28日显然，要使E(s)=0，则有于是有

这表明当输入补偿装置的传递函数Gc(s)为被控对象的传递函数G2(s)的倒数时，系统的输出量能无误差地复现输入信号的变化规律。由于Gc(s)在闭环回路之外，对系统闭环特征方程不会产生任何影响，即不会影响系统的闭环稳定性。