技巧计算1-34比较与估算.题库版

教学目知识点⑴通分母：分子小的分数小⑵通分子：分母小的分数大⑶比倒数：倒数大的分数小⑷11相减，差大的分数小．(适用于真分数⑸①②⑹在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！要根据具体情况展开思维例题精1】a2005，b2006，那a，b中较大的数 【考点】两个数的大小比 【难度】2 【】2006年，希望杯，第四届，五年级，一【解析 方法一：<与1相减比较法1 2005

；1 2006

．因

b

方法二：<比倒数法>因

2006200720052006ab

【答案】【巩固 试比较1995和1946的大 【考点】两个数的大小比 【难度】2 【解析 1995> 【答案】1995 【巩固 比较444443和555554的大 【考点】两个数的大小比 【难度】2 【解析 因为1444443

，1555554

，显

有：444443555554 444443

【例2】如果A ，B ,A与B中哪个数较大【考点】两个数的大小比 【难度】3 【】第六届，迎春杯，决【解析 方法一：观察可以发现A、B都很接近1，且比它小．我们不防与1比较12A

A2

,1B ,

B2

A，即B比A1，换句话说2方法二

AB方法三 A

显然11A 【巩固 如果A222221,B333331，那么A和B中较大的数 【考点】两个数的大小比 【难度】2 【】

A

A【巩固 试比较111和1111的大 【考点】两个数的大小比 【难度】3 【解析 们的倒数比较大小．111的倒数是1 111

10

，1111的倒数是１

1

容易看出

，所以

111111111110

大的分数比较大，所以

1111即1111111【答案】11111111111

【例3】在 ×2002和 ×2003中，较大的数 ，比较小的数大 。【考点】两个数的大小比 【难度】3 【】2003年，第1届，希望杯，4年级，1【解析】b- ab【答案】ab【例4】设a=11，b=111,则在a与b中，较大的数 【考点】两个数的大小比 【难度】3 【解析 可采用放缩法。因为1=1+1＞1+1，1＞1。所以11＞111，即a是较大

【答案】【例5】比较111

6428【考点】两个数的大小比 【难度】3 【解析 如果直接放缩 7 7 1 1111 11 但是111，所以不能确定111

1

81 8

1

但是如果保留

，将

11 118 11

1 1818【巩固 57 99与

相比，哪个更大，为什么 【考点】两个数的大小比 【难度】3 【解析 记a1357

，显然有：ab2468 100 100ab1

1a2

1，所以原分式比1小【答案】

6】试比较

222 2与333 3哪一个大296个 185个【考点】两个数的大小比 【难度】3 8个222 2333 5个【解析 8个222 2333 5个2222 296个

296个

185个7图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位2．黑色

【考点】两个数的大小比 【难度】3 【】第五届，华杯赛，口【解析 此题利用到平方差：a2b2(ab)(a1997219962(19971996)(19971996)19971996199321992219931992199721996219932199219972199221996219932,1,,1,998】在1,,,,23

中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数【考点】两个数的大小比 【难度】3 【解析 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数,1,,1,99有1,,,,23

有111111111 而111111111

11【答案】11【例9】已知：A258 998，那么A与0.1 比较大，说明原因 【考点】两个数的大小比 【难度】4 3n

3n12

3n

3n2

998 998A3 A1,A比0.1A 【例10】⑴比较以下小数，找到最大的数：1.121，1.121，1.12，1.12121⑵比较以下5个数，排列大小：1

0.42

3，1.667，5 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 ⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示1.121→ 1.121→

1.12121 1①l

30.4237

7

28571

0.428571

0.4237

0.42②1的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.6675，先将假分数化为带分数12 较三数整数部分，发现都为1121.666666<<1.667，所以得到1<1 <1.667．即得：

1

121.667【答案】

⑵

1

121.667

在1在

2，3中，最小的数 【考点】多个数的大小比 【难度】2 【】2005年，希望杯，第三届，五年级，一12222213所以最小的是 【答案】【巩固 在17、3.04、31四个小数中，第二小的数 【考点】多个数的大小比 【难度】2 【】2009年，第七届，走美杯，五年级，初【解析】由于173.4，31 ，可以看出，其中第二小的数为31 【答案】33【巩固 分

3417101, 7935203

中最大的一个 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】2007年，第五届，走美杯，初赛六，年【巩固 有8个数，0.51，2,5,0.51,24,13是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4 47数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 2=0.6,5=0.5,240.5106,13

，显然有 ，即 24<051<0.511352，84个是 25 25 4个数是【答案】【巩固 中，最小的分数 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】数学者夏令【解析 因 81998 91999 02000根据重要结论——对于两个

199819992000，所以，最小的 【例11】（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：

，5，

， （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来

，12，15，20， 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 ⑴我们可以用通分子的方法，可得5945，9 13 16

＜＜ ⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60正好是10、分数．我们称之为“通分子比大小”10=

1260156020606060；可见

6060606017

19

也就是10201215 ⑴＜＜

⑵102012

【巩固 将131、21、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决1310.52421 0.520.5230.52313121，第三小的数是 【答案】【巩固 这里有五个分数

251510, 382317

如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 【答案】【巩固 将下列乘式结果按从小到大排序：661669，662668，663667，664666，665665【考点】多个数的大小比 【难度】3 看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样一个简单算式”的形式．看661669，我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：661 5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较19，28，37，46，5661669662668663667664666665665【答案】661669662668663667664666665【巩固 编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为115，302，439克的重物．问：金、银、铜应分别发给几号蚂蚁

【考点】多个数的大小比 【难度】3 【 【解析 1151

1

13021311

1

1

1

111

302115439 302115439 【巩固 请把656,52,2679,8这4个数从大到小排列657532680【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 将1与这四个分数依次做差，得

、1

、1,显然

<1<11,同,差小的数反而大,2679656528 53267965652 53

53【例12】24<80<7，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少31口【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析

<1口

，而

、7倒数分别为310、720，而□应该在 720之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将 2位数字)103，所以□【答案】【巩固 ⑴比

27

.(写出一个即可大比小的分数有无数多个，则分子 ⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立 599【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 ⑴设比2大比1小的分数为x则：2x1即6x7，12x14所以24x28

x

227

、、272785862727⑵54914，利用加成分数原理得4【答案】

【巩固 比2大，比3小的分数有无穷多个，请写出三个 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】2003年，希望杯，第一届，五年级，一【解析】 120，120，【答案】 120，120，【巩固 ⑴找出一个比4大，比5小的分数 ⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数15 )【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 459，9455 24252 4549；如果把这两个分数扩大3 74我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比4大、比5小的分数 可以自己试一试 ⑵首先判断第一个不等号两边的关系，15因此 =１５，因此 )15．根据以上分析，可以确定 )中能填入19个自然数=３【答案】

【巩固 下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少1＞2＞3＞4＞ 【考点】多个数的大小比 【难度】3 由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此可选择的最小自然数为2，2只能放在第一个分数上做分母．后面要找比1小的最简分数：3、4依2被淘汰，5

＞＞＞ 258111413】在下9个算式中①3

②

,③3

,④3

8,⑤3

⑥⑦⑧

第几个算式的答数最小，这个答数是多少【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 方法一①-②=3

5-3

6

3

0即 20 20

5 ②-③=3

63

7

3

0，即 20 20

6 ③-④=3

73

8

3

0，即 20

7 ④-⑤=3

83

9

3

0，即 20 20

8

1

1

10,10

⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④3

方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为3

、

4个算式最小4【巩固 若a=20052006，b=20062007 2008 【考点】多个数的大小比 【】2008年，第十三届，华杯赛定【巩固 甲、乙两个天平上都放着定【考点】多个数的大小比 【】1997年，第六届，华杯赛，3因为478除以3余1，9763除以 以3的余数)，所478×9763除以3余1×1＝1， 除以3余2)，因 【例14】用“＞”号把下列分数连接起来【考点】多个数的大小比 【难度】3 么我们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。 ＞9＞13 2:4413136

26,

2 11 4,32 4 4 因为21＞21＞21＞2 【答案 3＞

1， 3＞ 【巩固 这里有5个分数

251510，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数382317【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】第四届，华杯赛，初赛，试60560，即12

，，，，6060606090969260606060【答案】

211【例15】从1,1.1,,1 312

六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出的三个数使得C）尽量大，并写出A×（B-C）的最简分数表示【考点】多个数的大小比 【难度】3 【解析 要求A×（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小A取次大数，B11是比1小的数，所以C11 再看其它五个数字本题将分数化为小数容易判断：111.25,71.75,12 6 因此B7,A12ABC25

ABC16】在四个算式6□0.3，6□

，6□

的四个方框内，分别填上加乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的四个圆圈之和尽可能大，那么这个和等于多少【考点】多个数的大小比 【难度】3

0.30.3

1

0.3,

前填加号

1)(6

1)6106163

54

3 3 【答案】543

【例17】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】2003年，希望杯，第一届，五年级，一1 28【答案】92818】

1111,,,2345

中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与7

接近，去掉的两个数是 （A）1,1（B）1,1（C）1,1（D）1,2 2 3 3【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】第十五届，华杯赛，初

201512 111 111 67,6042073053293853646360364【答案】

19】A1511=B2315=C15.24=D14.873 A、B、C、D四个数中最大的 【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】第八届，小数报，决【解析 1 15、15.24、14.873中最小的．容9求 15最小，所以B最大

【答案】20】a3711bcabc都不等于0a、b、c这三个数按从小到大的顺序 列 。【考点】多个数的大小比 【难度】3 【】2009年，第七届，走美杯，初赛，六年【解析】由于16a11bc，且16111acb ac

【例21】气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表景 张家界庐三丽大九寨鼓浪武夷黄气温 8/-其中，温差最小的景区 ，温差最大的景区是 【考点】多个数的大小比 【难度】2 【】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试22】a

的整数部分【考点】数的估 【难度】2 这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪a11个分数都不大于

，不小于10所以

11

a【答案】【巩固 已

A1111111A的整数部分 【考点】数的估 【难度】2 【】2009年，希望杯，第七届，五年级，一【解析】A1111111

111 所以A的整 21【例23】求 1111 11

的整数部分是几【考点】数的估 【难度】3 【】第三届，华杯赛，复1 11 111 111 111 11 111111 11

1＜原式＜1.9【答案】【巩固 求111

的整数部分【考点】数的估 【难度】3 11111 111

1.2又所 111 13

1.7

510111111111 21 1111 即1.2【答案】

111

1.7【巩固 已知：S

1

...

,则S的整数部分 1981 【考点】数的估 【难度】3 【】2006年，附中，入学测【解析 如果全是

那么结果是731如果全

748731＜S748

S的整数部分.1010

1

10 1981 1010

1

...

10 1981 1 1981 ⑴1 1981198319821982 1981 1982 1980198419821982 1980 1982 那么也就有：

1

1 1981 1 （2） 1981 19801983198119821 1981

(1 1 111 11 11则3221993

1【答案】【巩固 已知A

1

1，则与A最接近的整数 1 【考点】数的估 【难度】3 【】仁华学【解析 由于 所以14

114

所以995A

1 2008 AAA是如果要求A的整数部分，又该如何进行呢？将分母中的14个分数两两分为一组：

，

，<<，

可 007 2001 11111111111可1

1 1 A2002143，即142.5A143A【答案】【巩固

的整数部分 11

【考点】数的估 【难度】3 【】2008年，杯，六年9【解析 由于30493148 ，所9

39401 1

， 11 30 31

311 所 11311

1 所

1211

又11

1202，所

13

11

所

11

【答案】

111111111

的整数部分 11111【考点】数的估 【难度】11111【解析 对分母进行放缩．令s s

又200420052005，根据两个数和一定则差越小积越大

2005111111

2s

1

200540154003s401s5

【答案】24】

111

1 N的整数部分 11 【考点】数的估 【难度】4 11 题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成kk11，对于kk11不好直接进行处理，很容易联想到kk1及k1k，所以可以进行放缩．11由于k1kkk11kk1

kk1

kk11

k1

N111 2 3N111 ，即1 21N2NN1【答案】【例25】A8.88.988.9988.99988.99998，A的整数部分 【考点】数的估 【难度】3 【】第六届，小数报，决【解析 方法一：A8.8544，A9545，所以A的整数部分是44A8.88.988.9988.9998(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)45A44【答案】【巩固 a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分 【考点】数的估 【难度】3 【】2009年，杯，6年【解析】a54【答案】【巩固 已知x0.90.990.999 ．求x的整数部分【考点】数的估 【难度】3 【解析】方法一：要求xxaxa1，x的整数n相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是11010；然后将原算式缩小，0.90.91091099x10x的整数部分是9．x0.90.990.999 (10.1)(10.01)(10.001) (1 10(0.10．010.001 )10x【答案】26】8.011.248.021.238.031.22整数部分【考点】数的估 【难度】3 【】第五届，华杯【解析】8.011.248.021.238.031.22中，各式的两个因数之和都相等1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003，即29.28原式30，所以原式的整数部分是29.方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.0381.2481.2381.228(1.241.231.22)83.660.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06【答案】【例27】老师在黑板上写了七个自然数，让计算它们的平均数（保留小数点后面两位 计算的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应 【考点】数的估 【难度】3 【解析】114.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9103，104，<<103103÷7≈14.71104104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71．之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。确的平均数是103÷7＝14.71【答案】 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小【考点】数的估 【难度】3 和介于1326.85和1326.95之间即在349.05和350.35之间所以只能是350．所以3501326.92【答案】 【考点】数的估 【难度】3 【解析 各取被除数、除数前两位，有：原式12320.375，原式13310.4194；在0.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大再各取被除数、除数前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍无法确定；0.3953～0.3957【答案】29】1111111的整数部分是多少 【考点】数的估 【难度】3 【解析 分段放缩.1413<原式1314，即1原式

12【答案】

【巩固 A=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋…＋

的整数部分是多少 【考点】数的估 【难度】3 【解析 把算式中的分数放大或缩小如果全部放大为1则A＜81全部缩小为1则A＞115 这样无法确定A的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法．1＋1＋1＋1＋<＋ 1＋（11）＋（1111）＋（11 11111＋<＋

8

＞3，1＋1＋1＋1＋<＋1＜1＋1＋1＋（1＋1＋1+1）+（1＋1＋1＋1+1＋1＋1＋1

+1A＜3433＜A＜343A 【答案】1 【例30】111111 1101 【考点】数的估 【难度】4 【】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年【解析】原式必然小于1111110，大于11111110 8