第5讲静电场分析

第5讲静电场分析1主要内容静电场的基本变量真空中静电场的基本方程电位函数电介质的极化及极化强度介质中的高斯定律边界条件恒定电场的基本方程边界条件电场能量静电力25.1静电场分析的基本变量静电场是一种物理矢量场，当我们用矢量分析方法，进一步研究静电场的普遍规律时，先来明确静电场分析时需要的基本变量。1.源变量2.场变量、单位面积上位移穿过的束缚电荷量（C/m2）.3微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：5.2真空中静电场的基本方程4一个任意形状的闭合面对一点所张立体角有两种情况：立体角：取与的比值为对球心所张的立体角，用表示，单位为(球面度)。5场变量沿此曲线的线积分：当积分路径是闭合回路，即与两点重合时，则6高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。静电场的散度（微分形式）2.静电场散度与高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。静电场的旋度（微分形式）3.静电场旋度与环路定理静电场的环路定理（积分形式）7

在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。

4.利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳多层同心球壳均匀带电球体aOρ08

无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。

轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。9例1

求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a

，电荷密度为0。解：（1）球外某点的场强（2）求球体内一点的场强ar0rrEa(r≥a)（r<a）由由10由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义5.3电位函数112.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：123.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。

电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功13静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。

同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即14

Exp.1

求电偶极子的电位.

解

在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q15将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

电场线微分方程：

等位线方程：16

解：选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P

的位置矢量为r，则若选择点O为电位参考点，即，则在球坐标系中，取极轴与的方向一致，即，则有在圆柱坐标系中，取与x轴方向一致，即，而，故

Exp.2

求均匀电场的电位分布。17xyzL-L解

采用圆柱坐标系，令线电荷与z

轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与无关。在带电线上位于处的线元，它到点的距离，则

Exp.3

求长度为2L、电荷线密度为的均匀带电线的电位。18在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ=a

的点为电位参考点，则有19在均匀介质中，有5.电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程20极化是媒质对电磁场的响应。描述媒质电磁特性的参数之一：介电常数。5.4电介质的极化极化强度211.电介质的极化现象

电介质的分子分为无极分子和有极分子。无极分子有极分子无外加电场无极分子有极分子有外加电场E在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。222.极化强度矢量极化强度矢量

是描述介质极化程度的物理量，定义为

——分子的平均电偶极矩

的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，

与电场强度成正比，即

——电介质的电极化率

E23

由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。3.极化电荷(1)极化电荷体密度

在电介质内任意作一闭合面S，只有电偶极矩穿过S的分子对S

内的极化电荷有贡献。S

所围的体积内的极化电荷为E

S在为底、斜高l的一块小体积内的正电荷都将从S面穿出，其电荷量为:24(2)极化电荷面密度紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元的极化电荷为故得到电介质表面的极化电荷面密度为255.5介质中的高斯定理

介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。自由电荷和极化电荷共同激发的结果介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：26任意闭合曲面电位移矢量D的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和

小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

引入电位移矢量（单位：C/m2)将极化电荷体密度表达式代入，有则有

其积分形式为

（微分形式），

（积分形式）

27在这种情况下其中称为介质的介电常数，称为介质的相对介电常数（无量纲）。*介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质电介质的本构关系极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

有简单的线性关系28媒质的传导特性

对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量J和电场强度E成正比，表示为这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数称为媒质的电导率，单位是S/m（西/米）。晶格带电粒子

存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。

29边界条件或或若分界面上不存在面电荷，即，则30静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时导体表面上电位的边界条件：由和媒质2媒质1若介质分界面上无自由电荷，即常数，31

Exp.4两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为

的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。

解在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为obaxy两块无限大平行板32利用边界条件，有处，最后得处，处，所以由此解得33

由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。5.6恒定电场的基本方程和边界条件341.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷352.恒定电场的边界条件媒质2媒质1场矢量的边界条件即即导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系36电位的边界条件恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；

说明：37媒质2媒质1媒质2媒质1如2>>1、且2≠90°，则1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；

若媒质1为理想介质，即1＝0，则

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即导体中的电流和电场与分界面平行。385.7恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。静电场恒定电场39恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场40Exp.一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。

解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。41Exp.填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2

、电导率为

1和2

。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。外导体内导体介质2介质142

（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由可得电流密度介质中的电场

解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度的表达式，然后求出和，再由确定出电流I。43故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于于是得到44（2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为45

工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即5.7漏电导46(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布

；(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：47Exp.求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I

。48方程通解为

Exp.在一块厚度为h

的导电板上，由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为

0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。解：设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿

方向流动，而且电流密度是随

变化的。但容易判定电位只是变量的函数，因此电位函数满足一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到环形导电媒质块r1hr20σ49电流密度两电极之间的电流故沿方向的两电极之间的电阻为所以50如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。5.8静电场的能量

511.静电场的能量

设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α。(0≤α≤1)当α增加为(α+dα)时，外电源做功为:α

(qdα)。对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We

，即

对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为52故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有——第i个导体所带的电荷——第i个导体的电位式中：532.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有54由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故

推证：ρρ＝0S55

例:

半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。