届人教版九年级数学中考模拟试卷含答案

总分D.-总分D.-3D．3浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含解析答案题号得分注意事项：．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第 I卷的文字说明评卷人 得分一．选择题（共 12小题， 12*3=36）TOC\o"1-5"\h\z1．的值是（ ）A.1 B.-1 C.32.已知x2-3x+1=0,则的值是（ ）A． B．2 C．3．如图，在数轴上表示实数的可能是（ ）A.点P B・点Q C・点M D.点N4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是S甲2二,S乙2=,S丙2=,S丁2=,你认为派谁去参赛更合适（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（）A． B． C． D．6.计算-？的结果是（ ）A． B． C． D．7．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费 a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途电话被收费 m元，则这次长途电话的时间是（ ）

A.分钟B.分钟A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟8.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABCffiDEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A.四边形ACDF1平行四边形B.当点E为BC中点时，四边形ACDF1矩形C.当点B与点E重合时，四边形ACDF1菱形D.四边形ACD环可能是正方形.若不等式组的解集为x>3,则a的取值是（ ）A.a<6 B.a>6 C.a<6 D.a<0.如图，点A、B的坐标分别为（0,2）、（2,0）,OC的圆心坐标为（-1,0）,半径为1,若点D为。。上的一个动点，线段DB与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B,2 C,2- D.4-.已知二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=-1；②abc=0;③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值,ax2+bx<a-b.其中，正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1.如图，已知边长为4的正方形ABCDE是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE,彳EF±AE交正方形的外角/DCG勺平分线于点F,设BE=x，△ECF的面积为y,下列图象中，能大致表示 y与x的函数关系的是（）A． B．C．DC．第R卷（非选择题）请点击修改第n卷的文字说明评卷人得分二.填空题（共6小题，4*6=24）.分解因式（xy-1）2-（x+y-2xy）（2-x-y）=..如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC^,分别以点B,C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点MN;（2）作直线MN5CAB于点D;（3）连接CR若/BCA=90,AB=4则CD的长为..关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x；+x22=4,贝Ux：—x1x2+x2?的值是..如图，△AOBAB//x轴，OB=2点B在反比例函数y=上，将△AO啜点B逆时针旋转，当点。的对应点O落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A'B恰好经过点0,则k的值为..如图，动点P从（0,2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为 Pi（2,0）,贝UP2017的坐标为..如图，MN为。。的直径，四边形ABCDCEFG匀为正方形，若OM=2则EF的长为.评卷人得分三.解答题（共7小题，60分）.（6分）解方程组：..（8分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖 100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.

甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价(元/千克) 15千克(千克) 30(1)甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价(元/千克) 15千克(千克) 30(1)该什锦糖的单价为元/千克.20402530(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克.(8分)某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵 10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.(1)求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元(2)若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的 3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元.(8分)如图①，AE是。。的直径，点C是。。上的点，连结AC并延长AC至点D,使CD=CA连结ED交O。于点B.(1)求证：点C是劣弧的中点；(2)如图②，连结EC,若AE=2AC=4求阴影部分的面积..(10分)问题探究(1)如图①，已知正方形ABCD勺边长为4•点M和N分别是边BGCD上两点，且BM=CN连接AMff口BN交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.(2)如图②，已知正方形ABCD勺边长为4•点M和N分别从点BC同时出发，以相同的速度沿BGCD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值；问题解决(3)如图③，AC为边长为2的菱形ABCD勺对角线，/ABC=60.点M和N分别从点BC同时出发，以相同的速度沿BGCA向终点C和A运动.连接AMff口BN,交于点P.求△APB周长的最大值..(10分)如图，BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DAffiDB与水平路面AB所成的夹角/DANffi/DBM^IJ是37°和60° （图中的点 A、B、C、DM N均在同一平面内，CM/ANN.（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到米）.（参考数据：=.sin37°cos37°tan37°A.（10分）已知，矩形OABCE平面直角坐标系的位置如图所示，点 B的坐标为（8,10）,抛物线y=ax2+bx+c经过点。，点C,与AB交于点D,将夕!形OABCSC所叠，点B的对应点E刚好落在OA上.2（1）求抛物线 y=ax+bx+c的表达式；（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点 P、Q,使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共 12小题）TOC\o"1-5"\h\z1．的值是（ ）A.1 B.-1 C.3 D.-3【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【解答】解：=-1.故选： B．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．2.已知x2-3x+1=0,则的值是（ ）A． B．2 C． D．3【分析】先根据x2-3x+1=0得出x2=3x-1,再代入分式进行计算即可.【解答】解：Vx2-3x+1=0,x2=3x-1,「•原式==.故选： A．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．3．如图，在数轴上表示实数的可能是（ ）A.点P B・点Q C・点M D.点N【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点．【解答】解：-2<<3,点Q在这两个数之间，TOC\o"1-5"\h\z故选： B．【点评】此题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键是求出介于哪两个整数之间．4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是S甲2二,S乙2=,S丙2=,S丁2=,你认为派谁去参赛更合适（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【解答】解：・•・甲的成绩最稳定，派甲去参赛更好，故选： A．【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（）A． B． C． D．【分析】 由已知条件可知，从正面看有 3列，每列小正方数形数目分别为4，3，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，4，3．据此可画出图形．【解答】 解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，该几何体的主视图为：该几何体的左视图为：故选： B．【点评】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．6.计算-？的结果是（ ）A． B． C． D．【分析】先进行二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=3-=3-TOC\o"1-5"\h\z故选： C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．7．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费 a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途电话被收费 m元，则这次长途电话的时间是（ ）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟【分析】打电话的时间二（m-超过a元的钱数+b）+b,把相关数值代入即可.【解答】 解：这次长途电话的时间是分钟，故选： C．【点评】 考查列代数式；得到打电话所用两个时间段的和的关系式是解决本题的关键．8.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABCffiDEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A.四边形ACDF1平行四边形B.当点E为BC中点时，四边形ACDF1矩形C.当点B与点E重合时，四边形ACDF1菱形D.四边形ACD环可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、正确.=/ACBWEFD=30,••.AC//DF,.AC=DF」•四边形AFDO平行四边形.故正确.B、错误.当E是BC中点时，无法证明/ACD=90,故错误.C、正确.BE重合时，易证FA=FD=四边形AFDO平行四边形，」•四边形AFDO菱形，D正确.当四边相等时，/AFD=60,/FAC=120，.二四边形AFDC^可能是正方形.故选： B．【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定．正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．9.若不等式组的解集为x>3,则a的取值是（A.a<6 B.a>6 C.a<6 D.a<0【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集即可确定a的范围．【解答】解：解不等式2x+a<3（x+1）得：x>a-3,解不等式>，得：x>3,•••不等式组的解集为x>3,.•.a-3<3,解得：a<6,故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键10.如图，点AB的坐标分别为（0,2）、（2,0）,OC的圆心坐标为（-1,0）,半径为1,若点D为。。上的一个动点，线段DB与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值为（）A.1 B,2 C,2- D.4-【分析】由于OA的长为定值，若^ABE的面积最小，则BE的长最短，止匕时AD与。。相切；可连接CD在Rt^ADC中，由勾股定理求得AD的长，由^AESAACD求出OE的长即可解决问题；【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与。C相切，连接CR则CD!AD;RtAACD^,CD=1AC=OC+OA=3由勾股定理，得： AD=2；vZAOE=ADC/OAEWDAC・.△AOE^AAD（C..=，..=，OE=，BE=2-,・•.△ABE的面积的最小值=?BE?AO=2,故选：C．此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与。C的位置关系是解答此题的关键..已知二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=-1；②abc=0;③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值,ax2+bx<a-b.其中，正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由抛物线的开口方向判断 a的符号，由抛物线与 y轴的交点判断 c的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：二.抛物线与x轴的交点坐标为（-2,0）,（0,0）,「.对称轴为x==-1,故①正确；.•.抛物线开口向下，a<0,抛物线与原点相交，c=0,abc=0,故②正确；:c=0,；b2—4a（c+1）=b2—4a>0,故③正确；当x=-1时，抛物线有最大值，「•无论x取何值，ax2+bx+c<a-b+c,即ax2+bx<a-b,故④正确.正确的为①②③④，故选： A．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与 y轴的交点、抛物线与 x轴交点的个数确定是解题的关键．.如图，已知边长为4的正方形ABCDE是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE,彳EF,AE交正方形的外角/DCG勺平分线于点F,设BE=x，△ECF的面积为y,下列图象中，能大致表示 y与x的函数关系的是（）B．AB．D.C.D.【分析】过F作FGLBC于G,求出FG=CG求出ABAaAGEF得出=,求出FG=x代入y=XCEXFG求出解析式，根据解析式确定图象即可.【解答】解：过F作FGLBC于G,二.四边形ABCD1正方形，丁./DCG=90,.CF平分/DCG丁./FCG=DCG=45,•/G=90,./GCF=CFG=45,.FG=CG丁四边形ABCD1正方形，EF±AE,.•./B=/G4AEF=90,・•/BAE它AEB=90,/AEB吆FEG=90,丁•/BAEWFEG「/B=/G=90,.△BAE^AGEF..=vBE=x.EG=BGBE+CG=4x+FG,..=解得：FG=x..y=XCEXFG=X(4-x)?x,即：y=2x-x2,故选：C.【点评】本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、相似三角形的性质和判定的应用等知识，能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决问题的关键.二.填空题(共6小题).分解因式(xy—1)2—(x+y—2xy)(2—x—y)=(yT)2(x-1)2.【分析】式中x+y;xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设 x+y=a,xy=b,将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解.【解答】解：令x+y=a,xy=b,贝U(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)=(b-1)2-(a-2b)(2-a)=b2-2b+1+a2-2a-2ab+4b=(a2-2ab+t2)+2b-2a+1=(b-a)2+2(b-a)+1=(b-a+1)2；即原式=(xy—x—y+1)2=[x(y—1)—(y—1)]2=[(y—1)(x—1)]2=(y—1)2(x-1)2.故答案为：(y-1)2(x-1)2.【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求..如图是按以下步骤作图：(1)在△ABC^,分别以点B,C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点MN;(2)作直线MN5CAB于点D;(3)连接CR若/BCA=90,AB=4贝UCD的长为2.【分析】利用基本作图可判断MN®直平分BG根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC再证明DA=DC从而得到CD=AB=2【解答】解：由作法得MN®直平分BG.DB=DC「•/B=/BCD.•/B+/A=90°,/BCD廿ACD=90,./ACD=A,.DA=DC.CD=AB=4=2.故答案为2.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).15.关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、X2,且x；+x22=4,贝Ux12—xix2+x22的值是4 .【分析】根据根与系数的关系结合xi+x2=xi?x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于 k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.【解答】解：:x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是xi、x2,xi+x2=2k,xi?x2=k2-k,xi2+x22=4,•••=4,(2k)2-2(k2-k)=4,2k2+2k-4=0,k2+k-2=0,k=-2或1,・.△=(-2k)2-4X1X(k2-k)>0,k>0,..k=1,xi?x2=k2-k=0,. 2 2xi—xix2+x2=4—0=4.故答案为：4.【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△学0”是解题的关键.16.如图，△AOBAB//x轴，OB=2点B在反比例函数y=上，将△AO啜点B逆时针旋转，当点。的对应点O落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A'B恰好经过点0,则k的值为.【分析】先求得△B00是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；【解答】解：(1)VAB//x轴,./ABO=BOO,・•/ABO=A'BO,./BOO=/OBO,•.OO=OB,.OB=BO,•.△BOO是等边三角形，丁./BOO=60°,.OB=2•B（1,）;,•,双曲线y=经过点B,.k=1x=,故答案为.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得△ BOO是等边三角形是解题的关键..如图，动点P从（0,2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为 Pi（2,0）,贝UP2017的坐标为 （2,0） .【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形， 可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2017除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0,2）,..2017+6=336-1,・•・当点P第2017次碰到矩形的边时为第336个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（2,0）.故答案为：（2,0）.【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每 6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键..如图，MM。。的直径，四边形ABCDCEFG匀为正方形，若OM=2则EF的长为2【分析】连接ODOF，彳OKAD于H,如图，利用垂径定理得到AH=DH再证明OC=AD

设正方形ABCD勺边长为x,利用勾股定理x2+x2=(2)2,解得x=4(x=-4舍去)，然后设正方形CEFG勺边长为a,在RtzXOFG^利用勾股定理得到a2+(2+a)2=(2)2,于是解关于 a的方程即可．【解答】解：连接ODOF,彳OKAD于H,如图，则AH=DH二.四边形ABC时正方形，」•四边形OCDHfe矩形，•.OC=AD设正方形ABCD勺边长为x,在RtzXOC肌「OD=2OC=xCD=xx2+x2=(2)2,解得x=4(x=-4舍去),设正方形CEFG勺边长为a,贝UFG=aOG=2+a在RtAOFGfr,a2+(2+a)2=(2)2,解得a=2,即EF=2．故答案为 2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的性质和勾股定理．三．解答题(共 7小题)19．解方程组：．【分析】 方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】 解：方程组整理得：，①+②得： 8x=24，解得： x=3，把x=3代入②得：y=-5,则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖 100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克） 15 20 25千克（千克） 30 40 30（1）该什锦糖的单价为20元/千克.（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克【分析】（1）根据单价=三种糖果的总价+三种糖果的总质量，由此即可得出结论；（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100-x）千克，根据单价=总价+数量结合单价不超过18元/千克，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内的最小值即可.【解答】解：（1）（15X30+20X40+25X30）+（30+40+30）=20（元/千克）.故答案为：20.（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100-x）千克，根据题意得：<20-2,解得：x>80.答：最少需要加入甲种糖果80千克.【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及加权平均数，解题的关键是：（ 1）根据单价二三种糖果的总价+三种糖果的总质量列式计算；（2）根据单价=总价+数量结合单价不超过18元/千克，列出关于x的一元一次不等式.21.某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵 10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同.（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的 3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元【分析】（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x-10）元，根据数量=总价+单价结合用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价=单价X数量列式计算，即可得出结论.【解答】解：（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x-10）元，根据题意得:解得： x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，・•・x-10=40.答：甲种学习用品的价格是50元，乙种学习用品的价格是 40元．（2）50XX800+40XX800=34000（元）.答：按照此比例购买这 800件学习用品所需的资金为 34000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价+单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价X数量列式计算.22.如图①，AE是。。的直径，点C是。。上的点，连结AC并延长AC至点D,使CD=CA连2gED交。。于点B.（1）求证：点C是劣弧的中点；（2）如图②，连结EC,若AE=2AC=4求阴影部分的面积.【分析】（1）连接CE,由AE是。。的直径，得到CELAR根据等腰三角形的性质得到/AECWDEC于是得到结论；（2）连接BC,OBOC由已知条件得到△AED是等边三角形，得到/A=60°,Jt出AE//BG/BOC=60,于是得到结论.【解答】解：（1）连接 CE，.「AE是。。的直径，.•.CE1AR.AC=CD.AE=ED./AECWDEC…；♦•点C是劣弧的中点；（2）连接 BC，OB，OC，.AE=2AC=4./AEC=30,AE=AD./AED=60,」.△AED^等边三角形，A=60°，=，==，.AE//BG/BOC=60,Saob=S\EBq•S阴影=S扇形==Tt.【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．问题探究(1)如图①，已知正方形ABCD勺边长为4•点M和N分别是边BGCD上两点，且BM=CN连接AMff口BN交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论.(2)如图②，已知正方形ABCD勺边长为4•点M和N分别从点BC同时出发，以相同的速度沿BGCD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值；问题解决(3)如图③，AC为边长为2的菱形ABCD勺对角线，/ABC=60.点M和N分别从点BC同时出发，以相同的速度沿BGCA向终点C和A运动.连接AMff口BN,交于点P.求△APB周长的最大值.【分析】(1)结论：AMIBN只要证明△AB眸△BCMIW解决问题；(2)如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形4AEB/AEB=90,作EFLPA于E,彳EG!PB于G,连接EP.首先证明PA+PB=2EF求出EF的最大值即可解决问题；(3)如图③中，延长DA到K,使得AK=AB则4ABK^等边三角形，连接PK；取PH=PB首先证明PA+PB=PK求出PK的最大值即可解决问题；【解答】解：(1)结论：AMLBN理由：如图①中，••四边形ABCD1正方形，.AB=BC/ABM=BCN=90,,.BM=CN.△AB阵ABCN./BAM=CBN./CBN+ABN=90,「•/ABN廿BAM=90,./APB=90,.AMLBN(2)如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形4AEB/AEB=90,作EF，PA于E,彳EG!PB于G,连接EP../EFPWFPGNG=90,」•四边形EFPB矩形，./FEGWAEB=90,./AEFWBEGvEA=EB/EFA&G=90,•.△AE售ABEG.EF=EGAF=BG」•四边形EFPB正方形，PA+PB=PF+AF+RG3G=2PF=2E,FvEF<AE,••EF的最大值=AE=2「.△APB周长的最大值=4+4.(3)如图③中，延长DA到K,使得AK=AB则4AB双等边三角形，连接PK取PH=PB.AB=BC/ABM=BCNBM=CN.△AB阵ABCN./BAM=CBN./APNWBAM+ABPWCBN廿ABN=60,・./APB=120,・•/AKB=60,•/AKB廿APB=180,•・A、K、B、P四点共圆，「•/BPHWKAB=60,,.PH=PB•.△PBH^等边三角形，./KBAWHBPBH=BP./KBHWABPvBK=BA..△KB阴AABPHK=APPA+PB=KH+PH=PK♦•PK的值最大时，△APB的周长最大，••当PK是4ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4,•.△PAB的周长最大值=2+4.【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.24.如图，BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角/DANS/DBN^别是37°和60°（图中的点A、B、C、DMN均在同一平面内，CM/AN）.（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到米）.（参考数据：=.sin370cos370tan370【分析】（1）延长DC交AN于H.只要证