2020北京重点校初二（上）期中数学汇编：三角形章节综合1

28/282020北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形章节综合1一、单选题1．（2020·北京四中八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长 B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长2．（2020·北京四中八年级期中）我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：（1）作射线；（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；（3）以为圆心，为半径作弧，交于；（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；（5）连接作射线则就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A． B． C． D．3．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．65°4．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（）A． B． C． D．5．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等6．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，点E是正方形ABCD的边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，△AEP周长最短时，点P可能在（）A．点G处 B．点H处 C．点F处 D．点I处7．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，则等于（）A． B． C． D．8．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（）A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高线的交点C．三角形三条角平分线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点9．（2020·北京师大附中八年级期中）小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（）A．180° B．210° C．360° D．270°10．（2020·北京一七一中八年级期中）下列每组数分别是小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3、4、8 B．8、7、15 C．13、12、20 D．5、5、1111．（2020·北京师大附中八年级期中）若一个等腰三角形的两边长分别为，，则三角形的周长为（）A． B． C． D．或二、填空题12．（2020·北京四中八年级期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．13．（2020·北京四中八年级期中）如图，已知每个小方格的边长为两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点，使为等腰三角形，则这样的格点有_________________个．14．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，是内过顶点的一条射线，作，，垂足分别为，，将和分别沿直线，翻折得到和，已知，，则的长度是__________．15．（2020·北京师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有__________个16．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=_____．17．（2020·北京师大附中八年级期中）已知：如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，若，，则△BEC的周长为_______．18．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为__________．19．（2020·北京四中八年级期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为______．20．（2020·北京·汇文中学八年级期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是_________cm．21．（2020·北京一七一中八年级期中）建高楼通常用吊塔来吊建筑材料，而吊塔的上部是三角形结构，这是应用了三角形的_________．三、解答题22．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如下：（1）如图，在正方形ABCD中，点_______为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，0)，且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图形；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明．③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，用含x的代数式表示y=________．23．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取到最大值，且最大值为；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且PA=4，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：）24．（2020·北京四中八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到．若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．25．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，在

中，∠ACB=90°，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N，．猜测MN，AM，BN的关系，并证明．26．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．27．（2020·北京一七一中八年级期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．AB=8（1）求BE的长（2）求证：DB=DE．28．（2020·北京师大附中八年级期中）尺规作图：如图，在中（1）作的角平分线；（2）作边的中线29．（2020·北京·汇文中学八年级期中）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°．点D是射线BA上一点，点E是线段AB上一点．且点D与点E关于直线AC对称，连接CD，过点E作直EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．（1）根据题意补全图形；（2）写出∠CDA与∠G之间的数量关系，并进行证明；（3）已知在等腰直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的倍，写出线GB，AD之间的数量关系，并进行证明．30．（2020·北京一七一中八年级期中）已知如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是、．求证：．

参考答案1．A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．C【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．3．D【分析】先根据线段垂直平分线的尺规作图和性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】由题意得：是AC的垂直平分线，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质是解题关键．4．B【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值．【详解】解：连接．垂直平分，，，当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点，，在一条直线上时，有最小值是解题的关键．5．C【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．6．A【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP，根据正方形对角线互相平分且垂直的性质，可得A和C关于BD对称，由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等性质，解得，再根据两点之间线段最短性质解题即可．【详解】连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP，正方形ABCD中，OA=OC，，即A和C关于BD对称，，此时AP+PE=CP+PE=CE的值最小，即△AEP周长最短故点P可能在点G处，故选：A．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识，是重要考点，难度较易，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．7．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A＋∠D＝∠A＋2∠A＝180°−120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．C【分析】利用角平分线的性质进行判断．【详解】解：在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．9．B【分析】已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；【详解】解：如图所示，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴；故选D．【点睛】本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．10．C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7=15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．11．C【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4＋2＋4＝10（cm）；当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，所以此三角形不存在．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键．12．Q【分析】先找到OA、OB上的格点E、F，连接EQ、FQ，证明，即可进行判断．【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ平分，∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．13．8．【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的点C有8个．故答案是：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．14．【分析】由折叠的性质得出AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，求出AM=3，证明△AMB≌△CNA（AAS），由全等三角形的性质得出BM=AN=7．【详解】解：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=90°，∠CEA=90°，∵将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，∴△AMB≌△ADB，△ANC≌△AEC，∴AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，∵MN=AM+AN=AM+AD+DE，∴2AM=MN-DE=10-4=6，∴AM=3，∴AN=MN-AM=10-3=7，∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠CAN=90°，∵∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠CAN，在△AMB和△CNA中，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴BM=AN=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．15．【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．【详解】解：如图所示，一共有5个这样的点，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．16．1【分析】在直角三角形中，根据性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此解题即可．【详解】在中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，CD是高，故答案为：1．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，其中涉及余角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．11【分析】根据题意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∵，DE垂直平分线段AB，∴AD=BD，AE=BE，∵AD=3，∴AB=AC=2AD=6，∵BC=5，∴；故答案为6．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．18．【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC−CE＝2−＝，故答案为：．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．19．【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得，；结合，通过计算即可得到答案．【详解】如下图，连接AD根据题意得：，∴∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、∴，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．20．15【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为时，，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题的关键是题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21．稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【详解】解：吊塔的上部是三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．22．（1）A；（2）①如下图；②GF⊥x轴，证明见解析；③【分析】（1）将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA，即可求解；（2）①按题干定义补图即可；②首先根据SAS证明△GEF≌△PEO，根据全等三角形的性质得到∠GFE＝∠EOP＝90°，进而得到四边形EFHO是矩形，然后即可得结论；③分两种情形：如图4中，当0＜x＜5时，如图5中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由题意，将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA∴点A为线段BC关于点B的逆转点；故答案为A；（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4，当0＜x＜5时，∵E（0，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴；如图5中，当x＞5时，；综上所述，．【点睛】此题主要考查旋转，结合题干中新定义，按照旋转法则解题，涉及到求三角形面积问题．23．（1）CB的延长线上，a+b；（2）①CD，理由见解析；②9；（3）46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．【分析】（1）当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，此时最大值为BC+AB可得；（2）①根据已知条件可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，易知∠CAD=∠EAB．由SAS可判断△CAD≌△EAB可证得结论；②线段BE长的最大值即为线段CD的最大值，由（1）可知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，故可得BE的最大值；（3）如图1，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，可得△APN是等腰直角三角形，故PN=PA=2，BN=AM.由条件可知OA=4，OB=10，故AB=6，由线段AM长的最大值为线段BN长的最大值，故当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，由等腰直角三角形三边关系可求得最大值；如图2，过P作PE⊥x轴于E．由△APN是等腰直角三角形，可得PE=AE=2，结合已知条件可计算OE=BO﹣AB﹣AE，可得P点坐标；如图3，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．【详解】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE．故答案是：CD；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=9．故答案为：CD=BE=9．（3）如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM．∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），∴OA=4，OB=10，∴AB=6，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．∵ANAP=4，∴最大值为46．如图2，过P作PE⊥x轴于E．∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=2，∴OE=BO﹣AB﹣AE=10﹣6﹣24﹣2，∴P（4﹣2，2）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．综上所述：满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2），AM的最大值为46．故答案为：46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，以及平面直角坐标系中几何图形的动点问题，较为综合，根据已知条件确定图形作出正确的辅助线是解题的关键.24．BC，DC，线段的垂直平分线的判定【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．【详解】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．，证明见详解．【分析】根据，，，可得，再根据即可判定，此可以得到；【详解】解：猜想，AMl，，，∴=90°，∴，=180°-90°90°∴，在和中，∴△AMC≌△CNB(AAS);∴AM=CN,，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．【点睛】