高中数学十章复数10222课时复数的除法实系数一元二次方程在复数范围内的解集B

第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标]1.掌握复数的除法法例，并能运用复数的除法法例进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一复数的除法[填一填]复数的除法z1假如复数z2≠0，则知足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z2z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．复数的倒数给定复数z≠0，称1z1z为z的倒数，z1除以z2的商也能够当作z1与z2的倒数之积．z2(3)运算法例＋i1c－i(a＋bi)÷(c＋di)＝c＋di＝(a＋bi)(c＋di)＝(a＋bi)·c2＋d2＝ac＋bd＋bc－adiac＋bdbc－adc2＋d2＝c2＋d2＋c2＋d2i.[答一答]如何理解和应用复数代数形式的除法法例？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算．(2)复数除法的运算法例不用死记，在实质运算时，只需把商a＋bi看作分数，分子、c＋di分母同乘以分母的共轭复数c－di，把分母变成实数，化简后，就能够获得运算结果．知识点二实系数一元二次方程[填一填]当a，b，c都是实数且a≠0时，对于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内老是有解的，并且当＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝a2＋b2，(1)|－；z|＝|z|(2)|z1·z|＝|z|·|z|；212z1|z1|(3)|z2|＝|z2|(z2≠0)；(4)|zn|＝|z|n；(5)|－z|＝1?z·z＝1；(6)|z|2－22－2－＝|z|＝|z|＝|z|＝z·z.种类一复数的除法运算[例1]计算以下各式：1－4i1＋i＋2＋4i(1)；3＋4ii－2i－1(2)1＋ii－1＋i.[剖析]题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算次序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解](1)1－4i1＋i＋2＋4i3＋4i1＋4＋－4＋1i＋2＋4i7＋i＝3＋4i＝3＋4i＝7＋i3－4i＝21＋4＋3－28i＝25－25i3＋4i3－4i25251－i.(2)i－2i－1－1－i－2i＋21－3i1＋ii－1＋i＝i－1－1－i＋i＝－2＋i＝1－3i－2－i－2－3＋6－1i－2＋i－2－i＝55＋5i＝－1＋i.5复数的运算次序与实数运算次序同样，都是先进行高级运算

乘方、开方

，再进行次级运算

乘、除

，最后进行初级运算

加、减

.如

i

的幂运算，先利用

i的幂的周期性，将其次数降低，而后再进行四则运算.[变式训练1]计算：(1)3－4i2－i1＋i2＋(1－i)2；(2)i－23＋(5＋i3)－(1＋i)6.1＋23i2解：(1)3－4i2－i1＋i2＋(1－i)22－i2－i2－i8－6i＝3－4i·2i－2i＝8＋6i－2i＝8＋6i8－6i－2i10－20i111＝100－2i＝10－5i.(2)i－23＋(5＋i3)－(1＋i)61＋23i2＝1＋23ii＋(5＋i2·i)－[(1＋i)2]31＋23i2i＋5－i－i3＝5＋i.种类二实系数一元二次方程的解集[例2]求以下一元二次方程的解：(1)3x2＋5x＋1＝0；(2)2x2－3x＋3＝0；(3)4x2－5x＋2＝0.[剖析]求一元二次方程的根，最适用的方法是用求根公式法，假如>0，则在实数系中有解，若<0，则在复数系中有解.[解](1)＝52－4×3×1＝13，故x＝－5±13－5±132×3＝6.＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x＝3±15i3±15i.2×2＝4＝(－5)2－4×4×2＝－7，故x＝5±7i5±7i.2×4＝8在解一元二次方程的解时，要注意的符号.[变式训练2]已知对于x的方程x2－2＋a2－4＋4＝0(∈R)的两根为、，且axaaαβ|α|＋|β|＝3，务实数a的值．解：由已知有＝(－2a)2－4(a2－4a＋4)＝16a－16.①当≥0即a≥1时，α＋β＝2a>0，由＝－22≥0可知两根都是非负实根，αβa3∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a?a＝2；②当<0即a<1时，此时方程两根为共轭虚根，设α＝m＋ni，则β＝m－ni.α＋β＝2m＝2a，∴

22αβ＝m＋n＝

a－2

2.∴|

α|

＋|β|＝2

22m＋n＝2|a－2|＝3?

1a＝2；1综上，a＝2或2.种类三复数运算的综合应用1[例3]设z是虚数，ω＝z＋z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；1－z(2)设u＝1＋z，求证：u为纯虚数；(3)求ω－u2的最小值．[剖析](1)ω是实数可获得哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝ω)(2)u为纯虚数可获得哪些结论？(u的实部为0且虚部不为0，或u＝－u)[解](1)∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.11∴ω＝z＋z＝x＋yi＋x＋yix－yixyx＋yi＋x2＋y2＝x＋x2＋y2＋(y－x2＋y2)i.y∵ω是实数，且y≠0，∴y－x2＋y2＝0，22∴x＋y＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x.1∵－1<ω<2，∴－1<2x<2，进而有－<x<1.2即z的实部的取值范围是11)．(－，2(2)1－z1－x＋yi证明：u＝＝x＋yi1＋z1＋1－x－yi1＋x－yi1－x2－y2－2yi＝1＋x2＋y2＝1＋x2＋y2y＝－1＋xi.1y∵x∈(－2，1)，y≠0，∴1＋x≠0.∴u为纯虚数．(3)ω－2＝2x－(－yi)2＝2＋(y)2u1＋xx1＋x＝2x＋1－x22＝2＋1－x21＋xx1＋xx1＋x2＝2(x＋1)＋1＋x－3.1∵－2<x<1，∴1＋x>0.222于是ω－u＝2(x＋1)＋1＋x－3≥22x＋1·1＋x－3＝1.2当且仅当2(x＋1)＝1＋x，即x＝0时等号建立．∴ω－u2的最小值为1，此时z＝±i.该题波及复数的基本观点和四则运算以及均值不等式等知识.只需观点清楚，运算熟练，按惯例思路自然而然不难求解.注意：解决后边的问题时，能够使用前面已经获得的结论.23100[变式训练3]设z＝8＋6i，求z－16z－z.3100z4－16z2－100z2－82－164解：z－16z－z＝z＝z6i2－164200－200z200z.＝z＝－z＝z·z＝－|z|2∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，又由z2＝8＋6i，得z＝±(3＋i)，∴z＝±(3－i)，z∴原式＝－|z|2＝－60＋20i或60－20i.1．已知a为正实数，i为虚数单位，若a＋i的模为2，则a＝(B)iA．2B.3C.2D．1分析：由于a＋i＝1－ai，因此1＋a2＝2，又a>0，故a＝3，应选B.i10i2．在复平面内，复数3＋i对应的点的坐标为(A)A．(1,3)B．(3,1)C．(－1,3)D．(3，－1)分析：此题考察复数的乘法与除法．10i10i3－i10＋30i＝1＋3i.3＋i＝3＋i3－i＝1010i∴复数3＋i对应的点的坐标为(1,3)．3．复数z知足(z－i)(2－i)＝5，则z＝(D)A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i分析：由题意可得，z－i＝552＋i＝2＋i，2－i＝2－i2＋i因此z＝2＋2i.xy54．若x，