2.第二章群论自测练习

群自练一概解群群二判题G

a,b

ax

中HH的

HH

G

2413

三选题

(

(,

(*

(

e

G

G

ab)

a

b

ab)

b

a

2

a

ba阶(

的

H,K

G

则

K

G

(

2的

S

4

2

2

G

G

G

G

G

G

G/N

G

G/N

四填题

G

a

an

n

Ga)

G

Z

2Z{2n|nZ}

Z

Z/

12Z112

p

p

*

3i

S

4

S/N4

p

p

A

11.模12的剩余类加Z的单位元是.12.群G素a为6则a

4

于.13.整数加的所有生成元是.14.对称的阶是.n

4161001五计题是2

10

5656798942

六解与明是0

G

2

G

G

群

G

阶

a

次是Z作7.的bR

ab

8.R

(,y)

(bd)a,)R9.

aab

2()

x

13.G1G

G

G

acac

a,c

19.假定阶n,a证明Gr),这r,n).20.一个可以写式的元叫做换位子,证明：(1)所有有限个换位子的乘积组成的集G一个不变子群G导群或换位子群；G交换群；(3)N一个不变子群，并G是交换群，那NC.

,x

axxye等的

G

(

的为24.假定群G的不变子群N的阶是2,证明:G中心C(G)包含N.G和

到

kerker{}m一mZ

000010101G=

a

28.整数加是否与偶数加2Z态整数否与偶数2同态请简要陈述理由.29.GNGN

H,

[H:H]G:K]

[:K]

[H:H]G:K]

GHK

f

G

N

N

()

G

G

自练参答一概解二判题,,三选题8.）

ab

变换群

,

3i2

01

!

01eaa04

ab

n0()n

的的3,

(143)(265)

（1）

(15)(9732)(864),|

六解与明

A

|f:AaA}

M

做f()

f

g(n

fg

gffggf由

G的是G的G2

G

阶

a,b

G

{a,,}G阶

422|n

xx2(10

R

1，x

aa)

m

e

m

n

ee,

次

)

B

A

ABG

对单AA

nn

A

1

AG作是

R

a(0,0),b(0,0),ca(0,0)(0,1)((0,0)a对是

e

a

b

G

xGe(xy)x(ey)ye)()(xx)

x{a,b}

y

xxy,yyx

a

1R

R对R

xx0)

x

R

1，x的e

a,a

2

a

ae满

xx

G

nnn中a|112n

n2

G

H,K

GHK

H,K

G

a,b

bH,

GHK

aH,b

HK

bH

K

bH

H

G

UU

(abKK)b

(12),(13),(23),(123),(132)}3

H{(1),(12)},K{(1),(13)}

HK

(132)

(123)HK

GGGGGG

G

a1

a1

G

aG()21

()Ga2

G

Gai

ai

i

G

除的

ncan

c

n

ca

c

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(r

st,

rsnt

m

G

a

m

mrs

r

ms

a

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mt

a

r

ms

r

r

)

（1）

,e的

C

C

C

C

aGC

c

C是）

abG

那

ba

aba

b

abc

此得

abC

bCaC

G

C

（3）因

G

G

a

(bN))(aN)

ab)a

b

abNNC由e,bH

～e～～b

～

nn

a

a

a

H

的e的

s,at

asattts

G

(

G

aG

Ha

He}

a

(

)

G

a

nna1212

|(a2

)

e}

ana

N

ana

ana

ana

(G)

G

定a|p

n

n

H

)

G

a

mn

am

n

am

a

m

n

m

，到Z

Z

Z

Z

Z

aN•Nb)N(bN)N));

,b

aN•cNab(ab)NcNaN•bNabNGn,(an)(

naN•

N

anaN

AHK|}B{xKx}

((H))hKH

A

B

h,h,H1

1

K2

1

K2

h(Hh(H12

A

B

B|

即[H:H]]

（2）

[:K]

[H:H]:]

xGHxxKhKHKGHK

(x)

x(hH,