数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章第六章微分中值定理及其应用一、填空题1．若a0,b0均为常数，则________。3axbx2xlimx02．若，则a______，b______。1acosxbsinx1x2limx03．曲线yex在x0点处的曲率半径R_________。4．设y4x42，则曲线在拐点处的切线方程为x2___________。5．1___________。(1x)xelimx0x6．设f(x)x(x21)(x4)，则f(x)0有_________个根，它们分别位于________区间；7．函数f(x)xlnx在上满足拉格朗日定理条件的1,2__________；8．函数f(x)x3与g(x)1x2在区间上满足柯西定0,2理条件的_____；9．函数ysinx在上满足拉格朗日中值定理条件0,2的____；10．函数x的单调减区间是；__________f(x)ex211．函数yx3x的极大值点是______，极大值是3A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根5．已知在处某邻域内连续，，f(x)x0f(x)x01cosxlim2则在处()。x0f(x)A.不可导B.可导且C.取得极大值f'(0)2D.取得极小值6．设函数在区间1,内二阶可导，且满足条f(x)件f(1)f(1)0，x1时，则在内f(x)f(x)0g(x)1,x()A．必存在一点，使f()0B．必存在一点，使f()0C．单调减少D.单调增加7．设有二阶连续导数，且，，f(x)f(0)0limx01f(x)x则()A．是的极大值B.是的极小值f(0)f(x)f(0)f(x)C．是曲线yf(x)的拐点0,f(0)D．f(0)不是f(x)的极值，也不是曲线0,f(0)yf(x)的拐点8．若和在处都取得极小值，则函数f(x)g(x)xx0在处()xxF(x)f(x)g(x)0A．必取得极小值B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设由方程确定，且，yy(x)x3axy2by0y(1)1x123是驻点，则()A.ab3B.C.D.a2,b3a,b53a,b13222210．曲线的拐点的个数为()y(x1)(x3)22A.0B.1C.2D.311．是大于0的可导函数，且f(x),g(x)，则当时有()axbf'(x)g(x)f(x)g'(x)0A．B.f(x)g(a)f(a)g(x)f(x)g(b)f(b)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)12．曲线的渐近线有()xx112yearctanx2x1x2A．1条B.2条C.3条D.4条13．2xq的O点的个数为()f(x)x3A．1B.2C.3D.个数与有关q1x14．曲线则曲线()t1bt1A．只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C．无渐近线D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设为的解，且，则有yf(x)yyesinx0f(x)00f(x)()A．的某个邻域内单调增加x0B．的某个邻域内单调减少x0C．处取得极小值x0D．处取得极大值x016.罗尔定理中的三个条件;在上连续,在f(x)[a,b]内可导,且是在内至少存在一点(a,b)f(a)f(b)f(x)(a,b)).,使得成立的(f()0必要条件充分条件充要条(A)(B)(C)件既非充分也非必要(D)17.下列函数在上满足拉格朗日中值定理条[1,e]件的是().;;1(A)ln(lnx);(B)lnx(C)lnx(D)ln(2x);18.若在开区间内可导,且是内任意f(x)(a,b)x,x2(a,b)1两点,则至少存在一点使得下式成立().(a,b);(A)f(x)f(x)(xx)f()2112(B)f(x)f(x)(xx)f()xx212121(C)f(x)f(x)(xx)f()xx212211(D)f(x)f(x)(xx)f()xx22121119.设是内的可导函数,x,xx是内的yf(x)(a,b)(a,b)任意两点,则().(A)yf(x)x在之间恰有一个,使得yf()x(B)(C)(D)x,xx在之间至少存在一点,使得yf()xx,xx对于与xx之间的任一点,均有yf()xx20.若在开区间内可导,且对内任意两点f(x)(a,b)(a,b)恒有f(x)f(x)(xx)2,则必有().x,x212121(A)f(x)0(B)f(x)x(D)f(x)c(C)f(x)x(常数)21.已知函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),则方程有f(x)0().分别位于区间内的三个根;(1,2),(2,3),(3,4)(A)(B)四个根,它们分别为x1,x2,x3,x4;1234四个根,分别位于(C)(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);分别位于区间内的三个根;(1,2),(1,3),(1,4)(D)22.若为可导函数,为开区间内一定点,而f(x)且有(a,b),则在闭区间上必总有[a,b]xfx()0,()()0f().(A)f(x)0(B)f(x)0(C)f(x)0(D)f(x)023.若a3b0,则方程f(x)x3ax2bxc0().2无实根有唯一实根有(A)(B)(C)三个实根有重实根(D)24.若在区间[a,]上二次可微,且f(x)(),则方程在上f(x)00,()0,f(a)0f(a)Afaxa[a,]().没有实根有重实根有无(A)(B)(C)穷多实根有且仅有一个实根(D)25.设f(x)为未定型,则存在是f(x)也g(x)f(x)limxxlimxxlimxxg(x)g(x)000存在的().必要条件充分条件充要条件(C)(A)(B)既非充分也非必要条件(D)26.指出曲线y的渐近线().x3x2没有水平渐近线,也没有斜渐近线;(A)为垂直渐近线,无水平渐近线;x3(B)(C)(D)既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.27曲线1的渐近线有().x2xyex2arctan(x1)(x2)11条;4条;2条;3条;(A)(D)(B)(C)28．函数在x取得极值，则af(x)acosx1cos2x23（）。0；；1；12(A)(B)(C)2。(D)29．下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。sin2x；x3x；f(x)x23x1f(x)(A)(B)；。f(x)xex2ef(x)ln(3)(C)(D)x30．=（）。11xlimxx11；；；(A)(B)e(C)e1。(D)三、计算题1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f′(ξ)=0：（1）f(x)=1,0x1π,xsinx0,x0;（2）f(x)=|x|,—|≤x≤|.2.求下列不定式极根:(1);(2)1-2sinx;cosx;e1xlimx0sinxlimxx(3)1n(1x)-x;(4)6limx0limtgx-xcosx-1x-sinxx0(5)tgx-6;xsecx5(6);lim(1x1ex1)limx0x2(7);(8);1-x1lim(tgx)sinxx0limxx1(9);(10);limsinxlnx1lim(1x2)xxx0(11);(12).lim(11)tgxlim()x01x2xsin2xxx023.求下列不定式极限:(1);limlncos(x1)xx11sin2(2)lim(π2arctgx)lnx;(3)xlimxsinxx0(4)lim(tgx)tg2xxx4(5)(6)limln(1x)(1x)1x2xx0lim(ctgx1);xx0(7)(8);1lim(1x)xexx0.1lim(arctgx)lnx2x4.求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:(1)f(x)=x3+4x2+5,在x=1处;(2)f(x)=在x=0处;11x,(3)f(x)=cosx的马克林公式.5.求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：（1）f(x)=arctgx到含x5的项；（2）f(x)=tgx到含x5的项.6.求下列极限:(1)(3);exsinxx(1x)1limx0;(2)limxx2ln(1)xx3x.11lim(ctgx)xxx07.估计下列近似公式的绝对误差:(1);sinxx,当|x|1x362(2)当x∈[0,1].xx2821x1,8.计算:(1)数e准确到10-9;(2)lg11准确到10-5.1.确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=2x2-lnx;(3)f(x)=2xx2;(4)f(x)=.x12x9.求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4;(2)f(x)=2x;1x2(3)f(x)=(|nx);(4)f(x)=arctgx-1ln(1+x2).2x210.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1)y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2];(2)y=2tgx-tg2x,[0,];2(3)y=lnx,(0,+∞).x11.把长为1的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12.一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13.设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,…,an.问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？14.求下列函数的极值:(1)f(x)=|x(x2-1)|;(2)f(x)=;(3)x(x21)x4x21f(x)=(x-1)2(x+1)3.15.设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取得极值;试定出a与b的值;并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值?16.求正数a,使它与其倒数之和为最小.17.要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米(β>α),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18.确定下列函数的凸性区间与拐点:(1)y=2x3-3x2-36x+25;(2)y=x+1;x(3)y=x2+1;(4)y=ln(x2+1);x19.问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?四、证明题1.证明：（1）方程x3—3x+c=0（这里C为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程xn+px+q=0(n为自然数，p，q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。2.证明：（1）若函数f在[a，b]上可导，且(x)f≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a);(2)若函数f在[a,b]上可导，且|(x)|≤M，则f|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；（3）对任意实数x1,x2,都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）bba，其中0<a<b;ba1nbaa（2）h<arctgh<h，其中h>0.1h24.设函数f在[a,b]上可导。证明：存在ξ∈（a,b），使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)(ξ).f5.设函数在点a具有连续的二阶导数。证明：.f(ah)f(ah)2f(a)f''(a)limh2h06.试讨论函数f(x)=x2,g(x)=x3在闭区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？7.设0<α<β<，试证明存在θ∈(a,b)，使得2ctgθ.sinasincoscosa8.设h>0，函数f在[a-h,a+h]上可导。证明：（1），θ∈（0，1）；f'(ah)f'(ah)f(ah)f(ah)h（2），θ∈（0，1）.f'(ah)f'(ah)f(ah)f(a)f(ah)h9.以S(x)记由（a,f(a)）,(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。10.若函数f,g和h在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，证明存在实数ξ∈(a,b)，使得f(a)g(a)h(a)=0.f(b)g(b)h(b)f'()g'(ξ)h'(ξ)再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11.设f为[a,b]上二阶可导函数，且f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈（a,b）使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)<0.12.证明达布定理：若f在[a,b]上可导，且(a)f≠f(b),k为介于(a)与(b)之间的任一实数，则ff至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=k.13.设函数f在（a,b）内可导，且f＇单调。证明f＇在（a,b）内连续。14.证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根。15.设p(x)为多项式，α为p(x)=0的r重实根。证明：α必定是p＇(x)=0的r-1重实根。16.证明：（1）设f在（a,+∞）上可导,若和都limf(x)xlimf'(x)x存在,则=0;limf'(x)x(2)设f在(a,+∞)上n阶可导.若和都limf(x)xlimf(x)xk存在,则=0,(k=1,2,…,n)。limfk(x)x17.设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:limf(ah)f(a-h)-2f(a)f''(a)h2h018.对函数f在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f(x)-f(0)=f＇(θx)x,θ∈(0,1).试证对下列函数都有1;limx02(1)f(x)=ln(1+x);(2)f(x)=ex.19.设f(0)=0,f＇在原点的某邻域内连续,且f＇(0)=0.证明:.limxf(x)1x020.证明定理6.5中limf(x)0,limg(x)0情形时的罗比xx塔法则:若(i)limfx0,lim(x)0xx(ii)存在M0>0,使得f与g在(M0,+∞)内可导,且g＇(x)≠0;(iii)A(A为实数,也可为±∞或g'(x)limf'(x)limf'(x)g'(x)xx∞),则limf(x)limf'(x)Ag(x)g'(x)xx21.证明:f(x)xe为有界函数.3x222.应用函数的单调性证明下列不等式.(1)tgx>x-x3;;3,x(0,π3)(2)2πxsinxx,x(0,π2)(3)xπ2|n(1x)x2(1x),x0x2223.设1.xsin2,x0,4f(x)x0,x0(1)证明:x=0是函数f的极小值点;(2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24.证明:设f(x)在(a,b)内可导,f(x)在x=b连续,则当(x)≥0(a<x<b)时,对一切x∈(a,b)有f(x)≤ff(b),当(x)≤0(a<x<b)时,对一切x∈(a,b)有f(x)f≥f(b).25.证明:若函数f在点x0处有f+(x0)<0(>0),f_(x0)>0(<0),则x0为f的极大(小)值点.26.证明：若函数f,g在区间[a,b]上可导,且(x)>(x),f(a)=g(a),则在内有f(x)>g(x).a,bfg27.证明:tgxx.πx,x0,sinx228.证明:(1)若f为凸函数,λ为非负实数,则λf为凸函数;(2)若f、g均为凸函数，则f+g为凸函数；(3)若f为区间I上凸函数,g为Jf(I)上凸的递增函数,则gof为I上凸函数.29.设f为区间I上严格凸函数.证明:若X0∈I为f的极小值点,同x0为f在I上唯一的极小值点.30.应用凸函数概念证明如下不等式:(1)对任意实数a,b,有;ab1e(ee)ab22(2)对任何非负实数a,b,有2arctg≥arctga+arctgb.ab231.证明:若f.g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函数.32.证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1<x2<x3,恒有1Δ11xf(x)≥0.11xf(x)22xf(x)33(2)f为严格凸函数的充要条件是对任意x1<x2<x3,△>0.33.应用詹禁不等式证明:(1)设ai>0(i=1,2,…n)，有.aaa12nn11aa(2)设ai,bi>0(I=1,2,…,n),有1naaan12nan121，81nnmab(a)(bq)ppiiii1i1i1其中P>0,q>0,=1.11pq五、考研复习题1.证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且limf(x),则至少存在一点ξ∈a,b),使limf(x)xaxb(ξ)=0.f2.证明:若x>0,则(1)(2),其中1;12x(x)14(x)2x1x1.lim(x)14,lim(x)3.设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ab>0.2x0x证明存在ξ∈(a,b),使得.ab1f()f()abf(a)f(b)4.设f在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈(a,b),使得.f(b)f(a)1(ba)[f(a)f(b)]1(ba)f()32125.对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有.10ln(1x)1x16.证明:若函数f在区间[a,b]上恒有f(x)>0,则对(a,b)内任意两点x1,x2,都有,f(x)f(x)fxx121222其中等号仅在x1=x2时才成立.7.证明:第6题中对(a,b)内任意n个点x1,x2…,xn也成立nx，1nkf(x)fk1nnkk1其中等号也仅在x1=x2=…=xn时才成立。8.应用第7题的结果证明：对任意n个正数x1,x2,…,xn恒成立，x1x2xnnxxxn12n即算术平均值不小于几何平均值。9.设a1,a2,…,an为n个正实数，且a