高考大纲版数学一轮复习第九章第35讲-排列、组合(课件)

高考大纲版数学一轮复习第九章第35讲——排列、组合(课件)

本章考点列举如下：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式、组合数的两个性质公式、二项式定理、二项展开式。高考命题趋势：高考命题以基本概念为考察对象，排列、组合、二项式他们既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计等高等数学的基础。因此排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题。二项式定理与高等数学的知识有关，其考查常有两类问题：一是直接运用通项公式求特定项的系数和与系数有关的问题；第二类需要用转化化归为二项式定理来处理的问题。●热点点击●排列组合应用问题（属传统知识）每年高考都有1至2道小题，试题难度中档；二项式定理有的年份（2009年安徽高考就压根没有涉及）高考会有一道小题，着重考查二项式定理展开式的通项应用或系数的性质，试题难度较小●高考复习建议●排列组合应用题所取的背景材料是很广泛的，主要以实际生活材料为命题背景，密切联系实际、应用性较强，其热点问题类型主要有排列数字、组数问题，分组分配问题，集合计数问题，至多至少问题，几何图形问题，涂色问题等，常常是有限制条件的排列组合混合，而以上问题常考常新。因此关键是在理解两个计数原理的基础上，掌握一些常见的解题方法和解题策略。二项式定理的复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，特别是赋值法要有足够的重视。在处理三项式或者多项展开式的问题时，可运用转化的思想将其中的某些项作为一个整体，使用二项式定理处理。二项式定理考查的热点是常数项、有理项、指定某项的系数问题，以及一些代数式的求值问题。其中指定某项系数问题常考常新，并且有好几年出现了两个二项式相乘展开式中指定系数问题，在复习过程中应引起足够的重视。对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的内在联系与区别.特别要重视数学思想方法的训练，如分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想、对称思想、集合思想等等，同时还要注意发散思想、逆向思想的培养和“数学建模”方法的归纳和应用。复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力.2010年高考中，本章的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型，以小题的形式直接考查。第1讲排列与组合●知识精讲●●基础梳理●1、加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，第一类办法有种不同的方法，第二类办法有种不同的方法，……，第n类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种①

不同的方法。2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成步，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有②

种不同的方法。

名称排列组合定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有组合的个数符号计算公式关系性质，排列和组合的区别和联系名称排列组合定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有组合的个数符号计算公式关系性质，●高考再现●●排位问题【例1

】4个男同学，3个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？

(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（男生）（女生）(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

【解析】3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法，由乘法原理，有种不同排法.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其它元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列。(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？

【解析】先将男生排好,共有种排法,再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有种方案,故符合条件的排法共有种不同排法.

(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？

元素不相邻，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通元素之间或两端插入不相邻的元素。(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

★★★★★★(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

【解析】甲、乙2人先排好，有种排法,再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间,有种排法,这时把已排好的5人视为一个整体,与最后剩下的2人再排,又有种排法，这样总共有种不同排法.(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

★◆★◆★◆★◆★◆★◆(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

【解析】安排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有种排法,最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有种排法,这样,总共有种不同排法.(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)

【解析】从7个位置中选出4个位置把男生安排好，则有种方法，然后再在余下的3个空位置中安排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法，这样一共有种不同排法。(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？

【解析】学生甲不站在排头，则他可能站在中间或排尾，故可分两类，一类是甲站在中间有5种站法，此时乙有5种站法，其他5名学生站在五个不同的位置上有种站法，故共有种站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有6种站法，其他5名同学站在五个不同的位置上有种，由加法原理，故共有3720种站法。(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件●分组问题【例2】某高校为支援农村高中教育,拟定分某6名毕业生去某县的甲、乙、丙三所不同的农村高中任教。按以下要求分配各有多少种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。（2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，一校2名，一校3名。（3）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各1名。（1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。

【解析】分三步：甲学校2名，有种方法，乙学校2名有种方法，丙学校2名，有种方法，依据分步计数原理，所求不同方法数为。（2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，一校2名，一校3名。

【解析】分两步：第一步，把6名毕业生分为三组，分别为一、二、三名，共有＿＿＿＿＿种方法;第二步，把他们分给甲、乙、丙三所学校有＿＿种方法，依据分步计数原理，共有＿＿＿＿＿种方法。(3)分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各1名。

【解析】分三步：第一步，从6名毕业生中选取4名有＿＿＿种方法；第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的一所有＿＿种方法；第三步：余下两名毕业生分给剩下的两所学校有＿＿种方法；由分步计数原理有＿＿＿＿＿种方法。●邮筒问题解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“信件”，能重复的元素看作“邮筒”，再利用乘法原理直接求解。【例3

】2008年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.【例3】2008年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（）

A.B.CD.

【分析】因同一运动员可以同时夺得n项冠军，故运动员可重复排列，将七名运动员看作7个“邮筒”，五项冠军看作5个“信件”，每个“信件”有7种投放方法，由乘法原理得种。【注】对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。●染色问题【例4】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共有______种.(用数字作答)612345【解析】本题是一道涂色问题的应用题,可将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进行排列；也可以根据条件分布涂色.

612345把不相邻的区域合并后，成为4个“大区域”，然后再把4种颜色对应全排列124356

124365

125364

125463

123546共5种合并方法，所以种栽种方法.方法一：方法二：先从区域1开始栽种，其方法有4种，则区域6有3种栽法，区域5有2种栽法，若区域4与区域6栽种同一种花，则区域2、3两块各有2种栽法，故总共有4×3×2×2×2=96种；若若区域4与区域6不栽种同一种花，则区域2、3两块各有1种栽法，总共有4×3×2×1×1=24种，所以一共有96+24=120种栽种方法。612345●方程的解问题【例5】方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？【例5】方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？【解析】建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个“空挡”中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆的各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有种。因此方程a+b+c+d=12有165组正整数解。●放球问题【例6】将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法？(1)有多少种放法？

(2)每盒至多一球，有多少种放法？

【解析】（1）每个小球都等可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有种放法。（2）为全排列问题，共有种放法。(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？【解析】先将4个小球分为三组有＿＿＿＿种，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子有＿＿种投放方法，故一共有＿＿＿＿＿＿种投放方法。

(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法？【解析】1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子的编号相同时,同局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有种.【点评】

1.做排列组合应用题，首先要分清问题的类型，是用基本计数原理，还是排列问题或是组合问题.

2.掌握常见