中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习含答案

中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习（含答案）一、直角三角形的边角关系1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角NCOD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米.当NAOC=90°时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上【答案】55<34【解析】的点E'处，贝UB'E'-BE为分米.C 图2 。ZX平地面【分析】如图，作OPLCD于P,OQ±AM于Q,FK±OB于K,FJ±OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B'E'即可.【详解】解：如图，作OPLCD于P,OQ±AM于Q,FK±OB于K,FJ±OC于J.「AM±CD,..NQMP=NMPO=NOQM=90°,•・四边形OQMP是矩形，..QM=OP,.OC=OD=10,NCOD=60°,.△COD是等边三角形，「OP±CD,.nCOP=1NCOD=30°,2QM=OP=OC*cos30°=5*（分米），.NAOC=NQOP=90°,NAOQ=NCOP=30°,-1AQ=-OA=5（分米），.AM=AQ+MQ=5+5产.「OBIICD,NBOD=NODC=60°在RtAOFK中，KO=OF・cos60°=2（分米），FK=OF・sin60°=2<3（分米），在RtAPKE中，EK=、:EF2—FK2=2、6（分米），・•.BE=10-2-2,.6=（8-2%6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OF・cos60°=2（分米），FJ=2<3（分米），在RtAFJE中，EJ=个62-（2^''3）2=2.,6,「.B'E'=10-（2%；6-2）=12-2%：6,B'E'-BE=4.故答案为：5+5<3,4.MC图？D水平地面【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30。、60。，此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行30c3m到达A'处.(1)求AxB之间的距离(2)求从无人机A'上看目标口的俯角的正切值.【答案】(1)120米;【解析】【分析】(1)解直角三角形即可得到结论；(2)过A'作A'E±BC交BC的延长线于E,连接A'D，于是得到A'E=AC=60,CE=AA'=30<3，在RtAABC中，求得DC=今AC=20%"，然后根据三角函数的定义

即可得到结论.【详解】解：（1）由题意得：NABD=30°,NADC=60°,在RtAABC中，AC=60m,AB=ACsin30oAB=ACsin30o60=1=120(m)2(2)过A'作A'E1BC交BC的延长线于E,连接A'D,则A'E=AC=60，CE=AA'=30<3，在RtAABC中，AC=60m，NADC=60°，••DC=亘AC=20<33•.DE=50.3A'E60 2-二tanNAA'D=tanNA'DC== =—<3DE50<35答：从无人机A'答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是2<3.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键3.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B）,1NBPE=-NACB,PE交BO于点E,过点B作BF^PE,垂足为F,交AC于点G.（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证：△BOGM△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BF= ，并结合图2证明你的猜想；PEBF（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若NACB=a，求的PE值.（用含a的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）BF1 、BF=-(3)PE2PE21=—tana【解析】解：（1）证明：:四边形ABCD是正方形，P与C重合，「.OB="OP",乙BOC=NBOG=90°.;PF±BG,NPFB=90°,「.NGBO=90°—NBGO,NEPO=90°—NBGO.「.NGBO=NEPO.「.△BOG^△POE(AAS).(2)BF1PE=(2)BF1PE=2证明如下:如图，过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,•NPNE=NBOC=900,nBPN=NOCB.:NOBC=NOCB=450,二nNBP=NNPB.•NB=NP.丁Nmbn=900-nBMN,NNPE=900—NBMN,•NMBN=NNPE.△BMN^△PEN(ASA).•BM=PE.BPE=1NACB,NBPN=NACB,•NBPF=NMPF.2;PF±BM,•NBFP=NMFP=9001又「PF=PF,•△BP碎△MPF(ASA).•BF="MF"又「PF=PF,••BF=1PE,

2BFPE（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,...NBPN=NACB=a,NPNE=NBQC=90O.1由(2)同理可得BF=-BM,NMBN=NEPN.2丁NBNM=NPNE=90o, △BMN-△PEN..BMBN隹-PN.BN BM 2BF在RtABNP中，tana= , =tana，即 =tana.PN PE PEBF1•二——=—tana.PE2(1)由正方形的性质可由AAS证得△BQG^△PQE.(2)过P作PM//AC交BG于M,交BQ于N,通过ASA证明△BMN^△PEN得到BM=PE,通过ASA证明△BPF^△MPF得到BF=MF,即可得出BF=1的结论.PE21（3）过P作PM//AC交BG于点M,交BQ于点N,同（2）证得BF=-BM,NMBN=NEPN,从而可证得△BMN-△PEN,由竺m二"»和BNP中tana二更1即PEPN PN可求得BF1=—tana可求得PE24.如图，平台4.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度（，3=1.7）.【答案】32.4米.【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解.试题解析：如图，过点B作BE±CD于点E,根据题意，NDBE=45°，NCBE=30°.;AB±AC,CD±AC,•・四边形ABEC为矩形，「.CE=AB=12m,在RtACBE中，C0tNCBE=BE,CE•.BE=CE・cot30°=12x超=12J3,在RtABDE中，由NDBE=45°,得DE=BE=12%：3.•.CD=CE+DE=12(v3+1)=32.4.答：楼房CD的高度约为32.4m.A C考点：解直角三角形的应用一一仰角俯角问题.5.如图，AB是。O的直径，弦CD±AB于H,过CD延长线上一点E作。O的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD・GE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3【答案】（1）证明见解析；（2）ACIIEF,证明见解析；（3）FG=【解析】*

试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及CDLAB,可以推出NKGE=NAKH=NGKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由NKGE=NGKE，及KG2=KD«GE，^用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与工EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到NC=NAGD，可推知NE=NC，从而得到ACIIEF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在□△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG.丁EG为切线，「.NKGE+NOGA=90°,;CD±AB,「.NAKH+NOAG=90°,又:OA=OG,「.NOGA=NOAG,「.NKGE=NAKH=NGKE,「.KE=GE.(2)ACIEF,理由为连接GD,如图2所示..「kg2=kd・ge,即‘""一'；,KGKD又「NKGE=NGKE,「.△GKD-△EGK,「.NE=NAGD,又「NC=NAGD,「.ACIIEF；(3)连接OG,OC,如图3所示，FG E图3丁EG为切线，「.ZKGE+ZOGA=90°,;CD±AB,「.ZAKH+ZOAG=90°,又「OA=OG,「.ZOGA=ZOAG,「.ZKGE=ZAKH=ZGKE,「.KE=GE.丁sinE=sinZACH=1，设AH=3t,贝UAC=5t,CH=4t,=KE=GE,ACIEF,CK=AC=5t,「.HK=CK-CH=t.在RtAAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即（3t）2+t2=（2「）2,解得t='：’.设。O半径为一在RtAOCH中，OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,tanZOFG=tantanZOFG=tanZCAH='" ：,【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得丁EF为切线，「.△OGF为直角三角形，2577工在RtAOGF中，OG=r=,2525r=」t=；「CH4raEl⑵若raEl⑵若AB=5, 求PD的长;AG三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.6.如图，在。O的内接三角形ABC中，NACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交。O于另一点D,垂足为E.设P是.：上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.⑴求证：△PAC-△PDF；x的取值范围）x的取值范围）3、1口 1, y=—【答案】（1）证明见解析；（2） '；（3）' ''⑶在点P运动过程中，设：；=x,tanNAFD=y，求y与x之间的函数关系式.（不要求写出【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明NAPD=NFPC,得到NAPC=NFPD,又由NPAC=NPDC,即可证明结论.（2）由AC=2BC,设:'''，应用勾股定理即可求得BC,AC的长，则由AC=2BC得「二一二」，由4ACE-△ABC可求得AE,CE的长，由目目可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长，PAAC由（1）△PA1△PDF得，即可求得PD的长.AD 2（3）连接BP,BD,AD,根据圆的对称性，可得）’’，由角的转换可得AP AGAP DGAD上口;叱 y ''''，， ，由△AGP-△DGB可得""1’"'，由△AGD-△PGB可得：’，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O,得NFPC=NB,又：NB=NACE=90°-NBCE,NACE=NAPD,:.NAPD=NFPC.Napd+ndpc=nfpc+ndpc,即napc=nfpd.文:NPAC=NPDC, △PAC-△PDF.(2)连接BP,设力'匕VNACB=90°,AB=5,」. '..♦.：,， ■■■■■..'.

AECEAC4E_CE_△ACE-△ABC,二/叫即入与\：一 :..•.二三一「：下一;AB,CD,••.■'，一.二T.如图，连接BP,..⑴卬.,..⑴卬.,・•.△APB是等腰直角三角形.「.NPAB=45°,「.△「.△AEF是等腰直角三角形.「.EF=AE=4.「.DF=6.PAACF2/ 4\/IU由(1)4「八1△PDF得，即」3 " ''.3、1口・•.PD的长为」.(3)如图，连接BP,BD,AD,AD—=2.AC=2BC,「•根据圆的对称性，得AD=2DB,即切,..AB±CD，BP±AE，「.NABP=NAFD.AGAPDG=AGAPDG=DB「△AGP-△DGB,4GDGAPADAfiAPAD4GDGAPADAfiAPAD*■_ ,1.：：；：：」.，即！？一 51AG一•：-,♦♦一..「与’•之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直7.如图，在△ABC中，NABC=90°,以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,OE.（1）判断DE与OO的位置关系，并说明理由;(2)求证：BC2=2CD・OE； 3-14若cos/BAD—5,BE——，求OE的长.(3)35(3)【答案】（1）DE为。O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE二,6【解析】试题分析：（1）连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到NADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得至1」CE=DE，从而得NC=NCDE，再由OA=OD，得NA=NADO，由RSABC中两锐角互余，从而可得NADO与NCDE互余，可得出NODE为直角，即DE垂直于半径OD,可得出DE为OO的切线;（2）由已知可得OE是^ABC的中位线，从而有AC=2OE,再由NC=NC,NABC=NBDC,可得△ABC-△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得;（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得.试题解析：（1）DE为。O的切线，理由如下:连接OD,BD,AREDARED丁AB为。丁AB为。O的直径，「.NADB=90°,在RtABDC中，E为斜边BC的中点，「.CE=DE=BE=-BC，「.NC=NCDE，;OA=OD，「.NA=NADO，丁NABC=90°，「.NC+NA=90°，「.NADO+NCDE=90°，「.NODE=90°，•.DE±OD，XOD为圆的半径，•.DE为。O的切线；（2）丁E是BC的中点，O点是AB的中点,・•.OE是^ABC的中位线，「.AC=2OE，;NC=NC，NABC=NBDC，「.△ABC-△BDC，「.BC「.BC2=2CD・OE；（3）解：,「（3）解：,「COSNBAD=t，「.sinNBAC=SC4AC514 28又•••BE=—，E是BC的中点，即BC=-，35「.AC=—.又「AC=2OE，OE=-AC=.考点：1OE=-AC=.考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数8.某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）.已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：＜3=1.7,=1.4）.【答案】车辆通过AB段的时间在8.1【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知NCAB=75°，NCAP=45°，NPBD=60°，「.NPAH=NCAB-NCAP=30°,50丁NPHA=丁NPHA=NPHB=90°，PH=50•・AH= =<3=50\'3,tan/PAH—

3「ACIIBD,「.NABD=180°-NCAB=105°,「.NPBH=NABD-NPBD=45°,贝UPH=BH=50，「.AB=AH+BH=50%3+50，50 50t3+50 _:60千米/时二 米/秒，「.时间t=—50—=3+3、汽，8.1（秒），3 即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速.点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

1 19.如图，直线y=-x+2与x轴交于点4与y轴交于点B,抛物线y=--x2+bx+c经过4、B两点，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；11(2)根据图象，直接写出满足不x+2>--x2+bx+c的x的取值范围；(3)设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若ND4C=NCB。，求点D的坐标.「3八【答案】(1)J=--%2--x+2；(2)当x>0或x<-4；(3)D点坐标为(0,2)或(2,-3).【解析】【分析】1(1)由直线y=-x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；(3)如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO=1,AO=4,再由NDAC=DECON办。，得出tanzDAC=tanZCB。，从而有，—-= ，最后分类讨论确定点D的坐标.AEBO【详解】1解：(1)由y=-x+2可得：当x=0时，y=2；当y=0时，x=-4,・•・A(-4，0)，B(0，2)，b=--1把A、B的坐标代入y=--x2+bx+c得：J2，，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c=2 一…1 3••・抛物线的解析式为：y=--x2-_%+2\o"CurrentDocument"2 2(2(2)当x>0或x<-4时，11—x+2> x2+bx+c2 2(3)如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，「3八由y=万x2——x+2令y=0解得：x1=1,x2=-4,「.CO=1,AO=4,、 一 一3 「设点D的坐标为(m,——m2-—m+2),丁NDAC=ACBO,「.tanNDAC=tanNCBO,DECO..在RtAADE和RtABOC中有二AEBOTOC\o"1-5"\h\zm2——m+2 1当D在x轴上方时，2 2 =1m+4 2解得：m1=0,m2=-4（不合题意，舍去），•••点D的坐标为（0,2）..13（——m2——m+2） 1当D在x轴下方时，（2 2 =1m+4 2解得：m1=2,m2=-4（不合题意，舍去），•••点D的坐标为（2,-3）,故满足条件的D点坐标为（0,2）或（2,-3）.【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式.解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点.10.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60）

【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在RtAABC中，NACB=90°，sinAsinA=BCAB•;BC=AB义sinA=152义sin31°=152义0.52=79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94x86.9(米)答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键如图，△ABC中，AC=BC=10,cosC=5，点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，以PA长为半径的。P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE±CB于点E.(1)当。P与边BC相切时，求。P的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下，当以PE长为直径的。Q与。P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）【答案】（1）y=3X+20x:X2-8x+80；(3)50-10<5.【解析】【分析】3（1）设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP±BC,cosC=5，则sinC=4 HPR 4sinC=5，sinC=CP=70—R=5，即可求解;5 CP10—R5(2)首先证明PDIIBE(2)首先证明PDIIBE,则EBBFPDPF'xx2-8x+80-y，即可求解;(3)(3)【详解】（1）设。P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R,证明四边形PDBE为平行四边形，贝UAG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4V；5,即可求解.、 3 4连接HP,贝UHP±BC,cosC=5，则sinC=5,HPR440HPR440sinC=C=10=R=5'解得：R=6；3(2)在^ABC中，AC=BC=10,cosC=5,设AP=PD=x,NA=NABC=0,过点B作BH±AC,贝UBH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4%：5，则：tan贝UBH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4%：5，则：tanZCAB=2,BP=482+(x-4)2=、jx2-8x+80，2<5DA= x5则BD=455-255x,如下图所示，PA=PD,「.ZPAD=ZCAB=ZCBA=0,tan0=2,则cosB=-5,,EB=BDcos0=(4、.：5-1 2X苫二4一5x，「.PDIIBE,EBBFPDPF即:x2—8x+80—y5x整理得：y=宝育<x2-8x+80；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦，•・•点Q是弧GD的中点，「.DG±EP，丁AG是圆P的直径，」.乙GDA=90°,「.EPIIBD,由（2）知，PDIIBC,「.四边形PDBE为平行四边形，「.AG=EP=BD,「.AB=DB+AD=AG+AD=4,5,设圆的半径为r,在AADG中，2r4rAD=2rcos0=~,,DG=~,,AG=2r,2r「 20—++2r=455，解得：2r=.51,4r —则：DG=-75=50-10<5,相交所得的公共弦的长为50-10。5.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3）,要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.3 312.如图，直线；厂…与'•轴交于点'I；,与；'轴交于点,■’,抛物线一一「--•1；+,经过点；，：.点:山k「为'轴上一动点，过点且垂直于:轴的直线分别交直线J及抛物线于点;'，'.（1）填空：点■'的坐标为，抛物线的解析式为 ;（2）当点”在线段3-上运动时（不与点:，重合），①当■”为何值时，线段■「最大值，并求出的最大值；②求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点"到直线"'的距离是1'，，请直接写出此时由点匕；：，匕:构成的四边形的面积.13 9【答案】（1）11 ：，■；11（2）①当升：=••时，P'有最大值是3；②使为直角三角形时二的值为3或,；（3）点"，：：，N，：构成的四边形的面积为：6或一%:或"「.【解析】【分析】3（1）把点A坐标代入直线表达式y=「•「，求出a=-3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；3 3 9（2）①设：点P（m,」；；3）,N（m,」•--_「.；-•-：）求出PN值的表达式，即可求解；②分NBNP=90°、NNBP=90°、NBPN=90°m种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可.【详解】3解：（1）把点；坐标代入直线表达式；厂1口，3TOC\o"1-5"\h\z解得：2则：直线表达式为：；—「令' 」，则：； ,将点的坐标代入二次函数表达式得：「二，3把点；的坐标代入二次函数表达式得：：“♦1；' ”，一解得：—L1，\o"CurrentDocument"3 9故：抛物线的解析式为：；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 9故：答案为：11 :,.1 '（2）①•小在线段31上，且;个「•轴，HYPERLINK\l"bookmark1