上海大学2023-2023学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案

上海大学2023~2023学年冬季学期?微积分A2?(A卷)答案一、单项选择题(5小题,每题3分,共15分)1.设为的一个原函数,且常数,那么(A).A．B．C．D．2.设直线及平面,那么直线(C).A．平行于B．在上C．垂直于D．与斜交3.设是区间上连续函数,且,那么(B).A．B．C．D．4.曲线自至之间的一段弧的弧长(C).A．B．C．D．5.设向量满足,那么必有(D).A．B．C．D．二、填空题(5小题,每题3分,共15分)6..7.由不等式及所确定的平面图形的面积为.8.设,那么.9..10.曲线在平面上的投影曲线是.三、计算题(4小题,每题6分,共24分)11.(6分)计算解:---------------------(3分)---------------------(2+1分)12.(6分)计算解:---------------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1分)---------------------(1分)13.(6分)计算.解:---------------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1+1分). 14.(6分)计算.解:---------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1分).---------------------(1分)四、计算题(4小题,每题6分,共24分)15.(6分)函数连续,且满足,求.解:令,那么, ---------------------(1分)由, ---------------------(2分)解得, ---------------------(2分)所以或. ---------------------(1分)16.(6分)设和垂直,和垂直,求非零向量与的夹角.解:由得;(1)---------------------(1分)由得;(2)---------------------(1分)(1)式减(2)式得,即.---------------------(1分)代入(1)式得,即.---------------------(1分)所以所求夹角余弦为,---------------------(1分)那么.---------------------(1分)17.(6分)求过直线且与轴平行的平面方程.解:设平面束方程为,---------------------(2分)即.由条件知所求平面的法向量,---------------------(2分)所以,解得,---------------------(1分)所以所求平面方程为.---------------------(1分)18.(6分)求过点且与直线垂直相交的直线方程.解:设所求直线方程为,---------------------(1分)那么由两直线垂直得.---------------------(1分)直线过点.---------------------(1分)由两直线相交得.---------------------(1分)所以.---------------------(1分)所以所求直线方程为,即.---------------------(1分)五、应用题(2小题,每题8分,共16分)19.(8分)设一向量的模长为,且与轴和轴的正向成等角,与轴的正向的夹角是它们的二倍,求此向量.解:设此向量为,且与轴的正向的夹角为,那么它与轴及轴的正向的夹角分别为和,其中.---------------------(1分)由,---------------------(2分)得,解得或.---------------------(1分)那么,,;或,,.所以或.---------------------(2+2分)20.(8分)过抛物线上点作切线,求该切线与上述抛物线及轴所围成的平面图形的面积,并求该平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.解:,,切线方程为,即. ---------------------(2分)切线交轴于点.面积---------------------(2分);---------------------(1分)体积------------------(2分). ---------------------(1分)六、证明题(1题,共6分)21.(6分)设在上连续且递减,常数满足,证明.证:-------------(2分).-----