高考数学专题复习精-导数的运算(理)

导数的运算精选ppt()=(v0).uv-uvv2uv一、复习目标掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,了解复合函数的求导法则,会求某些函数的导数.二、重点解析在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时,要熟记常见函数的导数公式及运算法则.对复合函数的求导,要搞清复合关系,选好中间变量,分清每次是对哪个变量求导,最终要把中间变量换成自变量的函数.三、知识要点1.函数的和、差、积、商的导数:(uv)=uv;

(uv)=uv+uv;

(cu)=cu(c

为常数);精选ppt2.复合函数的导数设函数

u=(x)

在点

x

处有导数

ux=(x),函数

y=f(u)

在点

x

的对应点

u

处有导数

yu=f

(u),则复合函数

y=f((x))

在点

x

处有导数,且

yx=yu·

ux.

或写作

fx((x))=f(u)(x).

即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.典型例题1解:(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-2);(2)y=x2sinx+2cosx;(2)y=(x2sinx)+(2cosx)=18x2-8x+9.法2

y=(6x3-4x2+9x-6)(3)y=(

x+1)(-1).x1=18x2-8x+9.=(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx)=2xsinx+x2cosx-2sinx.精选ppt典型例题1求下列函数的导数:(3)y=(

x+1)(-1).x1解:(3)y=(

x+1)(-1)+(

x+1)(-1)x1x1=(x+1)(x-

-1)+(x+1)(x-

-1)12121212=

x-

(x-

-1)+(x+1)(-

x-

)121212321212=

x-1-

x-

-x-1-

x-

123212121212=-

-

2

x12x

x1=-

.2x

xx+1=-

-

2

x12x

x1法2

∵y=1-

x

+

-1=-

x

,

x1

x1

x1∴y=(-

x

)=-

.2x

xx+1精选ppt典型例题2已知

f(x)

的导数

f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且

f(0)=2a,若

a≥2,

求不等式

f(x)<0

的解集.解:

∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设

f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,

∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a

=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令

(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于

a≥2,则当

a=2

时,不等式

f(x)<0

的解集为(-∞,-1);当

a>2

时,不等式

f(x)<0

的解集为(-∞,-1)∪(2,a).精选ppt典型例题3设曲线

y=e-x(x≥0)

在点

M(t,e-t)

处的切线

l与

x

轴、y

轴所围成的三角形面积为

S(t).(1)求切线

l的方程;(2)求

S(t)

的最大值.解:(1)∵y=(e-x)=-e-x,∴切线

l的斜率为

-e-t,切线

l的方程为

y-e-t=-e-t(x-t),

即

e-tx+y-e-t(t+1)=0.

(2)令

y=0,得

x=t+1;令

x=0,得

y=e-t(t+1).∴S(t)=

(t+1)e-t(t+1)12=

(t+1)2e-t(t≥0).1212又S(t)=

e-t(1-t)(1+t),令

S(t)>0,得

0≤t<1;令

S(t)<0,得

t>1.∴S(t)

在

[0,1)

上为增函数,在

(1,+∞)

上为减函数.∴S(t)max=S(1)2e=.精选ppt典型例题4求曲线

y=x3+3x2-5

过点

M(1,-1)

的切线方程.

解:由

y=x3+3x2-5

知

y=3x2+6x,设切点为

P(x0,y0),则y

|

x=x0=3x02+6x0,曲线在点

P

处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点

M(1,-1),

∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即

y0=3x03+3x02-6x0-1.而点

P(x0,y0)在曲线上,满足

y0=x03+3x02-5,∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得

x03-3x0+2=0.解得

x0=1

或

x0=2.∴切点为

P(1,-1)

或

P(-2,-1).故所求的切线方程为

9x-y-10=0

或

y=-1.

精选ppt典型例题5已知函数

f(x)=2x3+ax

与

g(x)=bx2+c

的图象都过点

P(2,0),且在点

P

处有相同的切线.(1)求实数

a,b,c

的值;(2)设函数

F(x)=f(x)+g(x),求

F(x)

的单调区间,并指出函数

F(x)

在该区间上的单调性.解:(1)∵f(x)=2x3+ax

的图象过点

P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c

的图象也过点

P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴F(x)=2x3+4x2-8x-16.综上所述,实数

a,b,c

的值分别为

-8,4,-16.∴223+2a=0.∴f(2)=622-8=16.(2)由(1)知

f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.∴F(x)=6x2+8x-8.由

F(x)>0

得

x<-2

或

x>;23由

F(x)<0

得

-2<x<.23∴F(x)

的单调区间为:(-∞,-2)、(-2,

)

和

(

,+∞),2323(-∞,-2)

上是增函数,在

(

,+∞)上也是增函数.2323并且

F(x)

在

(-2,)

上是减函数,在精选ppt典型例题6已知

a>0,函数

f(x)=,x(0,+∞),设

0<x1<

.记曲线y=f(x)

在点

M(x1,f(x1))

处的切线为

l.(1)求

l

的方程;(2)设

l

与

x轴的交点为

(x2,0),证明:①

0<x2≤;②若

x1<,则

x1<x2<

.x1-ax1a2a1a1a(1)解:

f(x)=(

-a)=(x-1)1x=-x-2=-.1x2∴切线

l的方程为

y=-(x-x1)+.

x11-ax1

1x12(2)证:依题意,在切线

l的方程中令

y=0,得x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),∴ax1<2,其中

0<x1<

.2a∴2-ax1>0.又

x1>0,∴x2=x1(2-ax1)>0.①当

x1=时,x2=-a(x1-)2+取得最大值,1a1a1a1a1a∴0<x2≤.②当

x1<时,ax1<1,1a∴x2=x1(2-ax1)>x1.又由①知

x2<,1a1a∴x1<x2<

.精选ppt课后练习1求下列函数的导数:(1)y=

+;(2)y=cos(x2-4);1+

x

11-

x

112(3)y=(sinx)cosx.1-x

2解:(1)∵y==2(1-x)-1,∴y=-2(1-x)-2(1-x)(2)y=-sin(x2-4)(x2-4)1212=-xsin(x2-4).12(3)∵y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx,∴y=(ecosxlnsinx)=ecosxlnsinx(cosxlnsinx)=(sinx)cosx[-sinxlnsinx+cosx(lnsinx)]=(sinx)cosx(-sinxlnsinx+cosxcosx)sinx1=(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx)=(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)=.(1-x)22

精选ppt课后练习2(1)求

y=(x2-3x+2)sinx

的导数.

(2)求

y=ln

1+x2

的导数.

3解:(1)y=(x2-3x+2)sinx+(x2-3x+2)(sinx)=(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx

(2)∵y=

ln(1+x2),13∴y=

2x

131+x213(1+x2)

2x=.精选ppt解:由已知

f(x)=[aex+bln(2+x)]=(aex)+[bln(2+x)]课后练习3设

f(x)=aex+bln(2+x),若

f(1)=e,且

f(-1)=,求函数

f(x)

的解析式.1e=aex+b2+x∴f(x)=ex.∵f(1)=e,f(-1)=,1e解得

a=1,b=0.

ae+

=e,ae+b=

.1e∴b3精选ppt课后练习4对于

x[0,2],令

f(x)>0

得0≤x<1;令

f(x)<0

得1<x≤2.∴f(x)

在

[0,1)

上为增函数,在

(1,2]

上为减函数.∴f(1)>f(2).∴f(0)=0

为函数

f(x)

在区间

[0,2]

上的最小值;求函数

f(x)=ln(1+x)-

x2

在区间

[0,2]

上的最大值和最小值.14解:f(x)=

-x,1+x112又∵f(0)=0,f(1)=ln2-,f(2)=ln3-1>0,

14f(1)=ln2-为函数

f(x)

在区间

[0,2]

上的最大值.14精选ppt又∵切线过原点,解得

x0=-3

或

x0=-15.课后练习5解:由已知可设切点为

(x0,),其中,x0-5.x0+9x0+5试求经过原点且与曲线

y=相切的切线方程.x+9x+5∵y==-(x-5),(x+5)2

4(x+5)2

x+5-x-9∴过切点的切线的斜率为

-

(x0-5).(x0+5)2

4x0+9x0+5x0∴=-

.(x0+5)2

4当

x0=-3

时,

y0=3.此时切线的斜率为

-1,切线方程为x+y=0.x+25y=0.35当

x0=-15

时,

y0=

.此时切线的斜率为

-

,切线方程为251精选ppt课后练习6已知函数

f(x)=2x3+ax

与

g(x)=bx2+c

的图象都过点

P(2,0),且在点

P

处有公共切线,求

f(x)、g(x)

的表达式.解:∵f(x)=2x3+ax

的图象过点

P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c

的图象也过点

P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.综上所述,

f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.精选ppt课后练习7设函数

y=ax3+bx2+cx+d

的图象与

y

轴的交点为

P

点,且曲线在

P

点处的切线方程为

12x-y-4=0.若函数在

x=2

处取得极值

0,试确定函数的解析式.解:由已知,P

点的坐标为(0,d).∵曲线在

P

点处的切线方程为

12x-y-4=0,∴120-d-4=0.又切线斜率

k=12,解得:d=-4.故函数在

x=0

处的导数

y|x=0=12.而

y=3ax2+2bx+c,y|x=0=c,∴c=12.∵函数在

x=2

处取得极值

0,∴y|x=2=0

且当

x=2