椭圆专题复习讲义

1/16第1页共16页Q椭圆专题复习Q★知识梳理★(1)第一定义：平面内与两个定点F、F的距离之和为常数2a(2a>|FF|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定1222(2)椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹为椭圆(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).2.椭圆的方程与几何性质:++=1(a>b>0)+=1(a>b>0)abab2ab+c2x=士cca对称性离心率xyy2x2性质22考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是yCAOBxA．4aB．2(a－c)C．2(a+c)CAOBx[解析]按小球的运行路径分三种情况:2作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF的周长为()1.短轴长为5，离心率e=作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF的周长为()231212A.3B.62/16第2页共16页x2y2y2x2y2x2x2y216x2y2y2x2y2x2x2y2PM+PN的最小值为()4．椭圆9x2+y2=9的长轴长为()A．2B.3C.6D.9xyabFFFFa2b2121212题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来||xyxy2解之得：a=42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为+=xyxy2【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．[警示]易漏焦点在y轴上的情况．1212程为()43432()3/16第3页共16页DA求这个椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率(或范围)【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1[解析]S=|AB|.|AC|sinA=3，e===e【名师指引】(1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定(2)只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率(或范围)(3)“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为B.....4x2y22.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆+=x2y2mn，椭圆，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F的距离是2，N是MF的中点，O是椭圆的中心，那么1椭圆方程线段ON的长是()AA.2B.4C.8.12a2b21若三PFF=30。，则椭圆C的离心率为()121 61 333633312b2124/16第4页共16页且三FPF=90。,则椭圆的离心率为()66(B)(C)((B)(C)(D)66．已知椭圆C的上、下顶点分别为B、B，左、右焦点分别为F、F，若四边形BFBF是正方形，则此椭圆1211221A．31B．2222332椭圆C的离心率为()121212()111111244242x2y29．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，a2b22211+5411+34题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)【解题思路】把x2+y2x看作x的函数x2y21x2y2142212x202x22113x2+y2x=x2x+2=(x1)2+,x[2,2]222325/16第5页共16页x【新题导练】xm2n2则PF+PF+PF+PF+PF+P则PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________12345677考点3椭圆的最值问题[例5]椭圆+=1上的点到直线l:x+y9=【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数12+122【名师指引】也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】1.椭圆+169a2b2121224PB6/16第6页共16页x2y2x43x2y2xA.4B.5C.2D.35．点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为()．222221 222D．1 227．动点P(x,y)在椭圆x+y=1上,若A点坐标为(3,0),|AM|=1,且PM.AM=0,则|PM|的最小值是(222516A.2B.3C.2D.38．在椭圆x2+y2=1上有两个动点P,Q，E(3,0)为定点，EP」EQ，则EP.QP的最小值为()369A.6B.33C.9x2y29．[2014·福建调研]若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则43A.2B.3C.6D.8x2y21．已知椭圆+=1，则以点M(1,1)x2y243C．4x3y+7=0D．4x+3y+1=02．已知椭圆x2+y2=1，则以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为()．C．2x3y+8=0D．2x+3y4=03697/16第7页共16页若率为________．考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．式[解析](1)由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C:y2+x2=1(a>b>0)a2b2由条件知a=1且b=c，又有a2=b2+c2，解得a=1,b=c=22ya21 2〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)－2kmm2－1kxxkx|x1x2＝－3x－2kmm2－1消去x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴3(k2＋2)2＋4k2＋2＝0112－2m2m2＝4时，上式不成立；m2≠4时，k2＝4m2－1容易验证k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范围为(－1，－2)∪(2，1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】O222222.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|2(2)设直线l的斜率为(2)设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。22x2(2)直线MN的方程为y=k(x+1),设M(x,y),设M(x,y,),N(x,y)111122∴方程有两个不等的实数根8/16第8页共16页9/16第9页共16页x：x+x=一x.xx22+2k2,121+2k212212121211121277777777基础巩固训练11AA2B2C2D3222.设F1、F2为椭圆4+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，412122112_________.6.在平面直角坐标系中，椭圆x2+y2=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点(|a2,0)|作圆a2b2(c)的两切线互相垂直，则离心率e=．综合提高训练10/16第10页共16页xy2y直线l的方程;若不存在,说明理由xy2y直线l的方程;若不存在,说明理由.CA2ab22(1)求椭圆的标准方程；(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。O42421122联立方程:〈1212121212128-4k2a2b21⑴、求该椭圆的离心率.1PcycPcycPF=b2，：b=c,a2b21a2BOOAa1222.2、设F,F是椭圆的两个焦点，2c105爪P是椭圆上一点，若三FPF=，证明：AFPF的面积只与椭圆的短轴长有关231212123AF1PF211/16第11页共16页22123b2，命题得证312/16第12页共16页61．已知椭圆(a＞b＞0)和直线l：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为2．3(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(﹣1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以k12．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=83y的焦点.2(Ⅰ)求椭圆C的方程；122xa2b222x(1)求椭圆的标准方程：2(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC.kBD=a22(ⅰ)求OA.OB的最值：(ⅱ)求证：四边形ABCD的面积为定值.a2b222(1)求椭圆E的方程；14212左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l:y=kx+BOk213/16第13页共16页14/16第14页共16页(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．x2y2x6．设F,F分别是椭圆+y2=1的左，右焦点.1245(1)若P是椭圆在第一象限上一点，且PF.PF=，求P点坐标；(2)设过定点(0,2)的直线l与椭圆交于不同两点A,B，且三AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l的斜率k的取值范围.y2x237．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线a2b2