学好物理动量和角动量

学好物理动量和角动量第一页，共三十五页，2022年，8月28日本章对应新书p76——88即下面：2.2力对物体的时间积累效应——

动量守恒定律第二页，共三十五页，2022年，8月28日2§2-2动量定理动量守恒定律2.冲量

（力的作用对时间的积累，矢量）3、动量定理：（将力的作用过程与效果〔动量变化〕联系在一起）质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。一¸质点动量定理方向：速度变化的方向单位：kgm/s大小：mv方向：速度的方向1.动量

（描述质点运动状态，矢量)第三页，共三十五页，2022年，8月28日3F为恒力时，可以得出I＝FtF作用时间很短时，可用力的平均值来代替。第四页，共三十五页，2022年，8月28日4注意：动量为状态量，冲量为过程量。

动量定理可写成分量式，即：为X,Y,Z方向合外力的分量第五页，共三十五页，2022年，8月28日5

学习要求：要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。

例2

质量为m的质点，经时间t、以不变的速率v越过一水平光滑轨道60º的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。

解由动量定理：完成积分得：v=2i+5j(m/s)。

解

平均冲力可视为恒力，由动量定理有例1一物体质量m=2kg,受合外力F=(3+2t)i(SI)的作用，初速度v0=5j(m/s)；求第1秒末物体的速度。v130o30omv2第六页，共三十五页，2022年，8月28日6于是平均冲力的大小为这里|v1|

=|v2|

=v

。求解(v2-v1

)的方法有两个：

（1）三角形法

画出v=v2-v1的

矢量三角形，再解此三角形;由图可求得|v|

=|v2-v1|=2vcos300=v30ov1vv230ooF(即v)的方向与轨道成300(竖直向上),如图所示。|F|=|(v2-v1

)|=

平均冲击力v130o30omv2第七页，共三十五页，2022年，8月28日7

建立直角坐标系(如图)，把每个矢量用单位矢量表示出来:

大小:,方向:j(y轴正方向)。代入式(1)就得例图（2）单位矢量法30o30ooxyv2v1v130o30omv2第八页，共三十五页，2022年，8月28日8

例3

如图所示，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m处，煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,

传送带A以v=3m/s的水平速度匀速向右运动。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）

（1）单位矢量法间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象,应用动量理,有解

煤粉下落h时的速度

。

取在时hAvv0dm:第九页，共三十五页，2022年，8月28日9

建立直角坐标系(如图)，于是dm受到的平均冲力:由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小:画出的矢量三角形如右图所示，(2)三角形法

根据牛顿第三定律，煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小相等而方向相反。

大小:|F|=200N,方向与X轴正方向成53.1o。F=40(v-v0)=40(3i+4j)方向与图中v的方向相反,=53.1o。v0vvYXhAvv0第十页，共三十五页，2022年，8月28日10证

设绳的线密度为。任意时刻t(下落h时)，绳的速度

例题4一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。

个力的作用：重力mg、桌面的支持力N、落下绳的冲力F。由右下图可知：

N=mg+F

取时间t~t+dt内落下的绳dm=.vdt为研究对象，由动量定理得

F.dt=dm.v=.v2dt

所以F=.v2=.2gh=2mg最后得:N=mg+F=3.mg

(即压力是重量的三倍)。为；此时落在桌面上绳的质量为m=h,m受三个dmFmNFmgm第十一页，共三十五页，2022年，8月28日11质点系(系统)—作为研究对象(它是质点的集合）。

内力—系统内各质点间的相互作用力。

外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。处理质点系问题的思路是：把质点动量定理应用于质点系中的每一个质点,然后将这些方程相加，就得到用于整个系统的动量定理。

二¸质点系动量定理

设系统有n个物体,如图所示。别表示系统外的物体对系统内物体作用的外力。对第i个质点应用动量定理：图mjmimnFnfinFjFifnifjifijfjnfnj用f12,f21,…,fij…等表示系统内物体间相互作用的内力;用F1,F2,…Fn分第十二页，共三十五页，2022年，8月28日12

这就是质点系的动量定理,它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。

式中j=1,2,…..。对所有质点求和，就得:

mi:(fij+Fi)dt=mivi-mivio(fij+Fi)dt=mivi-mvio

根据牛顿第三定律，内力之和fij=0，于是图mjmimnFnfinF1Fifnifjifijfjnfnj(１)第十三页，共三十五页，2022年，8月28日13三¸动量守恒定律几点说明:

(1)系统动量定理和动量守恒定律告诉我们，一个系统总动量(矢量和)的改变完全由合外力来确定，与内力无关。内力能引起动量在系统内的物体间传递，而不能改变系统的动量的矢量和。

如果质点系所受的合外力为零,即Fi=0,则可得

这就是说,当质点系所受的合外力为零时,这一质点系的总动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律.(2)mivi

=常矢量第十四页，共三十五页，2022年，8月28日14

(2)系统动量守恒的条件是合外力为零,即

由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零,则沿此坐标方向的总动量守恒。

(4)动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。

(3)动量守恒表示式

是矢量关系式。在实际问题中,常应用其沿坐标轴的分量式:

系统不受外力

Fi=0系统受外力，但矢量和为零

内力»外力(如爆炸、短时间内的碰撞）第十五页，共三十五页，2022年，8月28日15动量定理与动量守恒定律的应用1.可运用动量定理求解的问题特征不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。2.动量定理应用的常用近似方法A.平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力，即平均冲力。B.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。第十六页，共三十五页，2022年，8月28日16

例题5

如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度v0滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？

(M+m):水平方向不受外力，故动量守恒：

mv0=(M+m)v式中v是相对静止时的速度。

(1)对物体m应用动量定理，有

-mg.t=mv-mv0解得M0m解第十七页，共三十五页，2022年，8月28日17

(2)物体m的加速度a=-mg/m=-g。设车长至少为S，则由v2-v02=2aS得

S=(v2-v02)/2a=M(M+2m)v02/(2g(M+m)2)这个结果对吗？正确解法是先求出小物体m相对地面运动的距离

S1=(v2-v02)/2a，a=-g

再求出小车M相对地面前进的距离

S2=v2/2a0，a0=mg/M车的最小L=S1-S2=Mv02/[2g(M+m)]这个结果显然是错误的。因为用牛顿定律求出的加速度a是相对惯性系–地面的，而速度v、v0也是相对地面的，故由公式v2-v02=2aS求出的S当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是相对非惯性系(车顶)的运动距离。第十八页，共三十五页，2022年，8月28日18

例题6

有一门质量为M(含炮弹)的大炮,在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）

以炮车、炮弹为系统,在L处发射炮弹的过程中，由于内力很大，外力可忽略，水平方向动量守恒:

Mv0cos=mv(2)MgLsin=Mv02

(1)解

设炮车下滑L时的速度为v0,由机械能守恒定律，有

Lvv0图第十九页，共三十五页，2022年，8月28日19

炮车在发射炮弹的过程中，受两个力的作用：重力Mg和斜面对炮车的支持力N(它的方向垂直于斜面)；虽然内力很大,重力Mg可以忽略，但斜面对炮车的支持力N与内力是同数量级的，不可忽略，所以水平方向的动量根本不守恒。但N在斜面方向没有分量，所以我们只能沿斜面方向应用动量守恒定律:事实上，式(2)是完全错误的。解式(1)、(2)就得炮弹初速v。你认为上面的解法有问题吗？

LvMgNv0Mv0=mvcos(3)解式(1)、(3)就得炮弹的初速第二十页，共三十五页，2022年，8月28日20例题7

光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体(倾角为)，其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，M的水平直角边的边长为a

，m的水平直角边的边长为b。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。

解

对M与m组成的系统，由于水平方向受外力为零，故水平方向动量守恒。设M与m相对地面的速度分别是v和v，m相对于M的速度为v`,则

mvx-Mvx=0(1)由相对运动公式有

vx=v`x-vx

(2)a图bmMxoV第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日21设m的下边缘滑到水平面需用的时间为t，将上式两边对时间积分，有:最后求得M在水平面上移动的距离：而是m相对于M在水平方向移动的距离。显然，

=S就是M相对水平地面移动的距离；将(2)式代入(1)式得：(M+m)vx=mv`xa图bmMxoV第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日22例8、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S1＝1000米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2)解：知第一块方向竖直向下yhxv1mv2第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日23爆炸中系统动量守恒最高点处:发射点至最高点:yhxv1mv2第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日24第二块作斜抛运动所以mv1/2mv2/2mvxt’2＝－1s(舍去）2212tvsxx+=(1)落地时:y2=0t2=4s由(2)由(1)得:第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日25P87质心坐标系P88火箭的飞行问题(不要求)碰撞问题一,碰撞过程

名称碰撞前后相碰物体有无动能损失形变能否恢复弹性碰撞无动能损失形变能完全恢复物体碰后分离非弹性碰撞有部分动能损失形变能部分恢复物体碰后分离完全非弹性碰撞有部分动能损失形变完全不能恢物体碰后不分离恢复碰撞通常分为三类：新书p79作为一个专题来讲第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日26对心碰撞问题：动量守恒定律；碰撞定律。碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2v1)与碰撞前两球的接近速度(v10

v20)成正比，比值为恢复系数e，二,恢复系数三,非弹性碰撞(１)m2v10v20m1m2v2v1m1x0讨论三种情况:第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日27讨论：当两个物体发生完全弹性碰撞时，速度变为：当m1=m2时，v1=v20，v2=v10，两球速度交换。当m1<<m2时，v1=2v20v10，v2=v20，1.e=0，完全非弹性碰撞，两个物体合二为一机械能损失最大（转换成热能或其它能量）；2.0<e<1，非弹性碰撞，能量不守恒；3.e=1，完全弹性碰撞，能量守恒。第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日28弹弓效应，用于星际探测器加速和改变运动方向。大质量物体保持静止，小质量物体速度大小几乎不变，方向相反。4.碰撞中的能量损失若且v20=0

，则v1=v10，v2=0，完全非弹性碰撞:第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日29例题10

光滑的水平桌面上，有一质量为m、速度为u的小球A沿水平方向飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为v1，其方向与u方向成90º，B球的质量为5m，它被撞后以速度v2飞行，v2的方向与u成=arcsin(3/5)角，求两小求相碰后速度v1、v2的大小。

解对两小球组成的系统，显然动量守恒:X方向：mu=5mv2cos