振动与波题目

振动与波题目第一页，共三十页，2022年，8月28日等效摆长

在质心下方（OC连线外侧）

在OC连线上能否找到另一点O’，与O点具有相同的周期？即T’=T，或l0=l’0?mgOO’hh’C第二页，共三十页，2022年，8月28日第三页，共三十页，2022年，8月28日IPhO13-2金属丝衣架可在图示平面内做小幅振动。在位置(a)和(b)的情形，长边是水平的，另两边边长相等。所有三种情形的振动周期均相同。问质心位于何处？试求出周期。（图中除尺寸外并未给出关于质量分布的任何信息。）长边42cm,高10cm.解:设质心到三个悬挂点的距离为l1,l2,l3,周期取决于等值摆长，相同L时l有两个解，满足因此前面l1,l2,l3,三者中有两个是相等的。由于l1＋l2＝10，l3>21，所以l3不可能与l1,或l2相等，故l1＝l2＝5cm，第四页，共三十页，2022年，8月28日IPhO15-2在某些湖泊中能经常观察到称之为“湖震”的奇异现象。它通常发生在长且窄的浅湖中。水的整个质量就像端咖啡待客时杯中的咖啡那样运动，这不能错当成湖面所看到的正常水波。建立湖震模型，取一个矩形容器。用L表示容器的长度，h表示水的高度。假定水面最初与水平面有一很小的夹角。水开始绕容器一半长度处的水平轴振动，而水面始终保持为平面。试对水的运动建立一个模型，并求出振动周期T的表示式。表中列出了两个不同长度的容器中不同水深的振动周期。用适宜的方法核查，使实验数据较好得符合你求出的公式，并发表对你所用的模型的看法。L=47mmh/mm30506988107124142T/s1.781.401.181.081.000.910.82L=143mmh/mm31385867124T/s0.520.480.430.350.28/第五页，共三十页，2022年，8月28日解:水面下方的三角形移动到水面上方，三角形底边L/2,高r<<h。直角三角形质心在离底部1/3处，整个水体的质心移动：第六页，共三十页，2022年，8月28日

做T-h1/2图，实验值为第七页，共三十页，2022年，8月28日发射卫星质量为m的卫星环绕的地球（质量为M）作半径为R0的圆周运动，求卫星的速度u0。在上述圆轨道的某一点Q沿切线从u0加速到u1，使之改变轨道，达到远地点P距离地心为R1的椭圆轨道上，求加速后的速度u1，用u0和R0，R1表示。导出卫星远离地球引力场范围的最小速度u1，用u0表示。接第二问，卫星达到远地点P的速度u2，用u0和R0，R1表示。在远地点P再次变轨，从u2加速到u3，使之沿着半径为R1的大圆轨道运行，求加速后的速度u3，用u2和R0，R1表示。第八页，共三十页，2022年，8月28日6.如果卫星受到一个微小的扰动，偏离了原先半径为R1的圆轨道，导出卫星到地心的距离r围绕平均距离R1来回振动的周期T。7.描绘受到扰动的轨道以及原有圆轨道的草图。提示：必要的话可以运用以下卫星轨道的运动方程：第九页，共三十页，2022年，8月28日解：第十页，共三十页，2022年，8月28日h取零级近似第十一页，共三十页，2022年，8月28日第十二页，共三十页，2022年，8月28日秋千问题.

一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=1.072。第十三页，共三十页，2022年，8月28日为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍)，需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。第十四页，共三十页，2022年，8月28日角动量守恒，

由B摆到最高点C机械能守恒，

由D摆到E的过程也满足机械能守恒，即经过n个周期角速度增加的因子是第十五页，共三十页，2022年，8月28日。经过n个周期角速度增加的因子是第十六页，共三十页，2022年，8月28日滑动摩擦下的谐振子

力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。 当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicitform）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。xp0第十七页，共三十页，2022年，8月28日问题A相图（3.0分）A1[0.5分]画出自由质点相轨迹，该质点在两个互相平行位于x=-L/2和x=L/2的全反射墙壁之间运动。A2研究谐振子的相轨迹，也就是质量为m受胡克力（F=-kx）作用的质点的相轨迹。[0.5分]写出相轨迹的方程和相应的参数[0.5分]画出谐振子的相轨迹。A3[1.5分]考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角a作为描述系统的坐标。相平面是由()描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度a下该摆的相图。设K为该系统不同性质的相轨迹种类的数目，求K的值。对每种相轨迹至少画出一条典型的相轨迹。给出描述的每一种相轨迹的参数的取值范围。（不要将平衡点当作相轨迹）。忽略空气阻力。第十八页，共三十页，2022年，8月28日B.滑动摩擦下的振子(7.0分)考虑运动的阻力，我们通常处理两种类型的摩擦力。第一类是与速度有关的摩擦力（粘滞摩擦），可用来表达，例如固体在气体或液体中的运动。第二类是跟速度无关的摩擦力，其大小可用F=mN来表达，力的方向和接触物体间的相对速度的方向相反（滑动摩擦），如一个固体在另一个固体表面的运动。作为第二种摩擦力的一个特例，考虑水平表面上和弹簧一端相连的物体，弹簧的另一端固定。该物体的质量是m，弹簧的弹性系数是k，物体和表面之间的摩擦系数是m。假定物体沿x轴作直线运动（取x=0为弹簧未伸缩的位置）。假定动摩擦系数和静摩擦系数是相同的，初始时刻物体位于x=A0（A0>0）的位置，速度为零。第十九页，共三十页，2022年，8月28日B1.[1.0分]写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动方程。B2.[2.0分]画出这一振子的相轨迹，确定振子的平衡位置。B3.[1.0分]振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。B4.[2.0分]确定振子的x正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出x正方向第n次最大偏离量A(tn)的表达式，其中tn是第n次达到正向最大偏离处的时间。B5.[1.0分]画出坐标与时间的关系，并估计物体总的振动周数N。第二十页，共三十页，2022年，8月28日A1.[0.5p]xpp–p-L/2L/2A2.[1.0p]第二十一页，共三十页，2022年，8月28日A3.[1.5p]E<2mgL摆动；E<<mgL谐振动E=2mgL趋向于最高点E>2mgL绕轴转动K=3，三种轨迹：振动，转动，临界点。第二十二页，共三十页，2022年，8月28日B1.

[1.0p]

Ffr=mg,

02=k/m

B2.

[2.0p]，摩擦力的影响体现为平衡位置的漂移：第二十三页，共三十页，2022年，8月28日相图是两组椭圆的组合：p>0对应的上半平面的中心位于x-椭圆的一部分，p<0对应的上半平面的中心位于x+椭圆的一部分，两者在p=0的地方连续，B3.[1.0p]

落在以下区域范围即可第二十四页，共三十页，2022年，8月28日B4.[1.5p]

在下半平面椭圆半长轴减小，所以在x轴的交点平移了一个长轴的缩短量：

第二十五页，共三十页，2022年，8月28日B5.

[1.5p]总的振动周数N第二十六页，共三十页，2022年，8月28日练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为k=605.6N/m。(1)当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是T0=1.28195s。计算椅子的质量m0

(2)

当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期T’，测得T’=2.33044s,于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0’=1.27395s。问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。第二十七页，共三十页，2022年，8月28日第二十八页，共三十页，2022年，8月28日假定弹簧弹性常数k=mgA/V0，气体常数R=8.314JK-1mol-1，对于单原子氦气，热容比=5/3。活塞在平衡位置作小幅谐振动，计算其谐振频率f。从初始平衡状态出发将活塞向下压缩气体至原来体积的一半，以初速度为0释放活塞任其运动。忽略气体渗漏，也忽略气缸、活塞、弹簧等热容量，即所有过程都是绝热的。计算在活塞速度为时氦气体积的所有可能的数值。Figure1.1气缸里的活塞与弹簧(spring)Figure1.1考虑n=2摩尔的理想气体氦气，置于一垂直