备战2020中考数学专题复习分项提升第15讲 三角形及其基本性质(教师版)

第15讲三形及其基本性质【考点梳理】1．三角形的分类三角形(1)按边分等等腰三角形等腰三角形角形(2)按角分斜三角2．三角形的基本性质(1)内角和定理：三角形内角和180°；(2)内外角关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外_大于任何一与它不相邻的内角．(3)三边关系：三角形的任意两之_于第三边；任意两边之差_小于第三边；3．三角形中的重要线段(1)角平分线：①如图，线段A平分BAC则AD是△ABC一条角平分线．②心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．(2)中线①图E是线BC中点则段AE是△的一条中线，②重三形三条中线的交点．(3)高：①如图，AF⊥BC，则线AF是△ABC高线．②垂心：三条高线的交点．(4)中位线：①连接三角形两边点的一段，叫做三角形的中位线．②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一.1

(5)垂直平分线：①如图，点D是的中，DE⊥BC，则DE是△ABC的条直平分线．②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．命题(1)命题：判断一件事情的语句做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．(2)真命题和假命题：如果题设立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命.【高频考点】考点1：三形三边关系【例题1浙丽水3分度别为的三线段能组成一个三角形a的可以）A．1

BCD．8【答案】【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得5﹣3＜a＜5+3即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：．归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．考点2：三形重要线段的计与应用2

【例题2】如图，，CE，CF分是的高、角平分线、中线．1(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE∠ACB③AE＝BE④CD⊥AB，则错误的说法是③；2(2)若∠＝72°，，求∠DCE(3)BG是△的，∠A＝72°求DHB(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC，求FM长．【分析】(1)由角形高线，平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠，∠ABC可∠ACB由CE是平分线，可求得ACE，而可利用ACE和作差可解决问题；(3)由边形内角和，可求得∠DHG，由互补可求得∠；(4)勾股定理求，由中位线定理求【解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°∴∠ACB＝80°.∵CE是△ABC的平分线，∴∠ACE＝∵∠A＝72°是△的，∴∠ACD＝18°.∴∠DCE＝－(3)是△的，是△ABC的高，∴∠ADC＝∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°∴∠DHG＝108°.∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°.(4)∵＝90°＝16，∴AC＝12.∵FM是△ABC的中位线，1∴FM＝AC＝6.2归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1考点3：三形内角和与外角质的综合应用【例题3】如图：已知AB∥CD与∠两个角的角平分线相交于F．3

（1如图1，若∠，求BFD的度数．（2如图2：若（3若

写出∠和∠之间的数量关系证明你的结论．设∠E＝m°,直用含有n、m°的代数式写出＝(写过)【分析首作EG∥AB，FH∥AB利用平行线的性质可得ABE+∠CDE=280°，再利用角平线的定义得到∠∠CDF=140°，而到的度数；（2先由已知得到∠ABE=6∠ABM∠CDE=6∠CDM由）得ABE+∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可得；（3由（）的方法可得到∠M+∠E=360°将∠E=m°代入可得∠M=【解析）作EG∥AB，FH∥AB∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF=，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；（2∵∠ABM=∠ABF，∠CDF，∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM∵∠ABE与∠CDE两个角的角平线相交于点，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，∵∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°；（3由（）的结论可得，2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠ABM+∠CDM解得：，故答案为：.

.4

【自我检测】一、选择题：1.（2018·吉长春·分如，在ABC中，CD平∠ACB交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【答案】【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，

78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：．2.•长沙）下列长度的三线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm

B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm．6cm，7cm，14cm【答案】【解答】、，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；5

故选：．3.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市分）如图，直线∥b将一块含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两分别落在直线a和．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A

BC．40°D．50°【答案】【解答】解：∵直线a，∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°∴∠2＝40°故选：．4.（2018长图△ABC中分∠交AB于点点D作∥BC交AC于E∠A=54°∠B=48°，则∠的小为（）A．44°B．40°【答案】【解答】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，

C．39°D．38°∴

78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：．5.•江苏泰州3分如所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A在正方形的顶点上，则△的心是（）6

A．点D

B．点EC．D．点【答案】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过的AB边的中线，直线AD经eq\o\ac(△,过)ABC的边上中线，∴点D是△ABC重．故选：．二、填空题：6.（2018湖南州分一个正多边形的每个外角为60°那么这个正多边形的内角和是．【答案】720°【解答】这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．7.若角形的周长是60cm，三条边的比为：4：5则三边长分别为，20．【答案】，20【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5∴设三角形的三边长分别为3x，5x∵其周长为60cm，∴3x+4x+5x=60，解得x=5，∴三角形的三边长分别是15，20，25故答案为：，20，258.（2018白）已知，b是△ABC三边长，b足（b=0为奇数，则c=．【答案】【解答】解：∵a，b满|a﹣7|+（b﹣1=0，∴a﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7，7+1=8，∴6＜8，又∵c为奇，7

∴c=7，故答案是：．9.（2018·辽省抚顺市）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+∠2+∠3+∠4=220°，则5=．【答案】40°．【解答】解：如图所示：∠6=180°，∠4+∠7=180°，∠2+∠4=220°，∴∠2+∠6+∠4+∠7=360°，∴∠7=140°，∴∠5=180°﹣（∠7）=40°故答案为：．三、解答题：10.如，在△ABC中点D为AC的点，且DB＝4，CD＝5.(1)求DB的；(2)在△ABC中求边BC上的．【解析】：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°.∵在eq\o\ac(△,Rt)DBC中，BC＝4＝5∴DB＝CD

－BC＝5

－4

＝3.(2)过A作AE⊥BC交线段CB延线于点，则AE∥DB.∵点D为AC的点，8

∴DB为△ACE的位线．∴边BC上的为6.11.如，在△ABC中∠ABC=40°∠ACB=80°是BC边的高，AE平∠BAC．（1求∠的数；（2求∠的数．【分析）由∠、∠ACB的数结合三角形内角和定理，可求出BAC的度数，再根据角平线的性质可求出∠BAE的度；（2利用三角形的外角性质可出AEB的数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．【解答】解）∵∠ABC=40°∠ACB=80°，∴∠BAC=180°﹣﹣∠ACB=60°∵AE平分∠，∴

∠BAC=30°（2∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°∴∠AEB=∠CAE+，∵AD是BC边的高，∴∠ADE=90°，﹣．12.如，是△边BA延上一点．(1)①若＝3＝6，则AB的在什么范围？②若AC＝6，则△的长可能()A．8B．10C．12D(2)①若∠CAB，∠B＝∠ACB，则∠ACB；②若∠∶∶∠ACB＝3∶5∶7求∠CAD度数；4③若CE是△ABC的角分线，∠CAD∠CEA∠BCA＝80°求∠CEA的度数．39

【点拨可用三角形三边大关系来解(2)①可利用三角形内角和为180°，通过方程组来求解；②设每份为x，利用三角形内角，求出∠CAB再利用互补求∠CAD；需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解．【解答】解(1)①由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜AB＜9.(2)②∵∠CAB∶∠B∶∠ACB∶5∶7，∴设∠＝3x°，∠B＝5x°，∠ACB＝7x°.∵∠CAB＋∠B＋∠ACB＝180°，∴3x＋5x＋7x＝180，解得x∴∠CAB∴∠CAD＝180°－∠CAB＝144°.4③∵∠CAD＝∠CEA＋∠ECA，∠CAD＝∠CEA，3∴∠CEA∠ECA.3∵CE是△ABC的角平分线，∴∠CEA＝∠BCA＝120°.213.（2019•河北省9分如，△ABC中AB＝6＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B重，E在AD异侧，为APC的内心．（1求证：∠BAD＝∠CAE；（2设AP＝x，请用含x的子表示PD并求PD的最值；（3当AB⊥AC时∠AIC的取值范围为m°∠AIC＜n°分别直接写出m，n的值【解答】解）在△和△ADE图1）∴eq\o\ac(△,≌)ABC△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝．（2∵AD＝6，AP，10

∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时AP＝AB＝3最，即PD＝6﹣3为PD的大值．（3如图2，设∠BAP＝，则∠APCα+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°α，∵I为△APC的心∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA＝180°﹣（∠PCA）＝180°﹣（90°﹣）α+105°∵0α，∴105°＜α+105°，105°∠AIC，∴m＝105，n＝150．14.如1，在△中CD，CE分别是的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)图1

图2

图3(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°求∠的度数；α－β(2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)则DCE(含α，β的代数式表)；2(3)若将△换成钝角三角形如图2，其他条件不变，试用α，β的代数式表示DCE的度并说明理由；(4)如图3，若CE是△ABC外∠ACF的分线，交BA的