理论力学第二章平面力系

第二章平面力系2第二章平面力系本章重难点：平面汇交力系合成与平衡的几何法及解析法平面力偶的合成及平衡条件的应用平面力偶与力对点的矩的区别与联系平面任意力系向作用面内一点简化及简化结果分析平面任意力系的平衡方程式物系的平衡平面简单桁架的内力计算3§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系:诸力作用线共面且汇交于同一点AA取A环为受力体ACBGD取B铰(点)为受力体B4A1.平面汇交力系合成的几何法–力多边形规则bb任意改变力系中力的力矢的衔接次序可得不同形状的力多边形,但是,封闭边–合力的大小和方向是不变的.任选一点,将诸力按各自的大小及方向依次首尾相连,可得一不封闭多边形.力系的合力大小构成其封闭边,方向为由第一个力的始端指向最后一个力的终端.5例一.在物体O处作用一平面汇交力系.F1=F2=100N,F3=150N,F4=200N.

方向如图示.

试用几何法求合力.o50º70º80ºOd解:选比例尺10cm=50N量得:od=34cm650º70º80ºO2.平面汇交力系平衡的几何条件50º70º80ºOoo等效于原力系若原力系O处加一力则新的合力此时,汇交力系平衡,力多边形自行封闭.诸力首尾相接.7例二(书上p29例2–1)图示由两杆组成的三角架受力如图示.已知C为AB杆的中点,力P=10kN,杆重不计,求A端的支反力和DC杆所受到的力.ACBEACBD45º45º45º116.6º18.4º解:取AB杆为研究对象由三力平衡汇交,A,B,C三点的作用力汇交于E点.由平衡而力多边形自行封闭,可得封闭的力三角形.(下面不用直接测量法,而用解三角形法)答:A端的支反力方向图中已给出,大小为22.36kN.DC杆由二力平衡和作用反作用公理可知为两端受同样大小为28.34kN的压力.CD8xO§2–2平面汇交力系合成与平衡–解析法1.力在正交坐标系下的投影与力的解析表达式Ay同理可有上述的定义式中,角为力矢与Ox轴的正向所夹的角.所以,力在规定了方向的轴上的投影是代数量.其正负或零由角度的大小来决定.不过,在实际的计算中,投影值的正负可直接从图中判断,而大小为力与其和x

轴所夹锐角正余弦乘积的值.9xOAyFyFx力的正交分解与力的投影:称为力的解析表达式注意:这里的分力与投影的关系此外,分力有确定的作用点,力的投影没有这个概念,只有‘代数长’的概念.一个力对所有同一方向的有向直线的投影都相等.10OyxFxFy2.平面汇交力系合成的解析法汇交力系的合成是一合力.根据数学上的合矢量投影定理可得知:汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和.由可得:为合力与x轴所夹锐角,其方位由合力在x,y轴投影的正负来确定.11xy例一.在物体O处作用一平面汇交力系.F1=F2=100N,F3=150N,F4=200N.

方向如图示.

试用解析法求合力.50º70º80ºO解:选坐标系如图示30º60º20ºxyO12例二.(参见书上p31例2–2)求图示共点力的合力O60º30º45º45º100N300N200N250Nxy15º15º解：建立O–xy坐标系如图示:坐标轴的选取是人为的,应视具体力的分布而定.宜选使其计算简捷的坐 标系.不同的坐标系,力系合力的投影分量不尽相同,但合成后的解 是唯一确定的.133.平面汇交力系平衡的解析条件汇交力系平衡平面汇交力系平衡的充要条件是:各力在不平行的两坐标轴上的投影的代数和分别等于零.若Ox,Oy轴正交,则为平面汇交力系最常用的平衡方程下面,举例说明平面汇交力系的平衡方程的应用(上述中的两投影轴不能平行)14xy例一.图示起重结构图.重物P=20kN,用钢丝绳绕过在支架上的滑轮B而缠绕 在绞车D上.设结构的自重不计,并忽略摩擦和滑轮的大小.

求:平衡时AB杆和BC杆所受的力.30ºACDB60º解:取B铰为研究对象,由题意,B铰作用 一平衡的汇交力系.30º30ºB取坐标系如图示.F1和F2都是负值,表示AB杆和CD杆对B铰的力与图示的相反.

也就是说,两杆对B铰施加的是压力.根据二力平衡和牛顿第三定律,AB,BC杆分别受7.321N和27,32N的压力.ABBC15例二.压榨机机构中,AB=BC,已知活塞D上受到的总压力F=3kN,h=200mm.

l=1500mm.结构各部分的自重不计.求压块C对工件和地面的压力.CBDAhllF解:取活塞,活塞杆及B铰组合体为研究对象FBDxy建立坐标轴如图示取压块C分析建立坐标轴如图xyC滑块C对工件的力和对地面的力方向分别与Fx,Fy相反.16§2–3平面力对点之矩的概念及计算力对刚体的运动效应有两种:一种为平动(移动)效应,另一种为转动效应.

其中,平动效应用力矢(就是我们平常所说的力)来度量,而转动效应则用力矩来度量.1.力对点之矩OhA平面上力F对点O的矩平面上,力对点之矩是代数量.以逆时针转者为正,顺时针转者为正.力对不过其作用线的点都有矩.此处,O称为‘矩心’,h称为‘力臂’.17xOyA2.合力矩定理:x

对一平面上的力系而言,合力对某一点的矩,等于各个分力对 同一点之矩的代数和.3.力矩和合力矩的解析表达由合力矩定理和力在正交坐标坐标系下的解析表达,可得到:值得注意的是:上式中本身是代数量,其正负与力的方向及坐标轴的取向有关.如果一个力系有合力(比如平面汇交力系),则由合力矩定理:18例一.求刚架上的力F对B点的矩.已知=30º,F=20kN.ABDC15m10m解:运用合力矩定理用解析法具体计算力对点的矩时,不必拘泥硬套公式,只需据图直接考虑各个力的力矩的正负.例二.水平梁AB受三角形分布的载荷作用.求载荷的合力作用线位置.ABql由合力矩定理:xQ19§2–4平面力偶理论1.力偶与力偶矩定义:二等值,反向不共线的一对力构成一力偶.d力偶矩:力偶的大小及转向.以逆时针为正,顺时针为负.(如上图的力偶M=Fd)二力之间的距离称为‘力偶臂’.力偶的性质:(1)一个力不能和一个力偶等效.即一个力和一个力偶对物体的作用永远不 可能相同.(2)力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身,与矩心的位置无关.(3)在同一刚体上,力偶对其效应只决定于力偶矩的值(包括大小与转向),与 力偶作用的位置无关.(4)同一刚体上,任意改变力偶的力偶臂长短及二力的大小和方向,而保持 力偶矩不变,则不会改变其对刚体的效应.20力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身,与矩心的位置无关.dxO2.同平面内力偶的等效定理通过对力偶性质的认识,不难得到如下的结论:

同一平面内,两个力偶若力偶矩相等,则二力偶等效.3.平面力偶系的合成与平衡(1)合成同一平面内的诸力偶组成一平面力偶系.同一平面上诸力偶的力偶矩,其转向或正或负.所以,平面力偶系的合成是代数量的叠加.由于同一平面内的力偶可任意移动,又力偶矩是力偶的唯一度量,则:平面力偶系的合成是一合力偶,合力偶矩等于各个力偶的力偶矩的代数和.21M1M2M3BAl(2)平衡平面力偶系平衡的充分和必要条件是:合力偶矩为零.例一.某钻床加工一钢板,已知三个钻头在钻孔时施加给钢板的力偶矩分别为

M1=M2=10N.m,M3=20N.m.固定螺柱A和B的距离l=200mm.

求:两个光滑螺柱所受到的水平力.解:取钢板分析.钢板静止平衡,其上受三个力偶的作用,而A,B处受两个约束力的作用.由于力偶只能由力偶来平衡,A,B处的二力必构成力偶.A,B螺柱所受的力分别与FA,FB等值反向.22AO例2–6.图示机构的自重不计.圆轮上的销钉A嵌在摇杆BC的导槽内.圆轮上作用 一力偶,其矩M1=2kN.m,OA=r=0.5m.图示位置时OAOB,= 30º.系统平衡.求:摇杆BC上的力偶M2及O,B处的约束力.BOACM2

M1rM1解:取圆轮为研究对象由于力偶只能由力偶来平衡,A,O二点的约束反力必构成一力偶与M1平衡.并由A处的约束特点可求得二力的方向.

取摇杆为研究对象M2

CBAr同理可知构成一力偶FB=FA=8kN.23习题2–6图示结构中,各个构件的自重略去不计.构件BC上作用一力偶其矩为M,各尺寸如图.求支座A的约束力.ABCDllllM解:取BC构件分析CMB

取T形构件分析,三力平衡汇交于D.ADC作封闭力三角形,方向如图示.24ABCMMaabb补例:两块相同的长方板用铰链C彼此相连,而A、B处为固定铰支座.设在每一块板上作用一大小为M的力偶,它们的转向相反,如图示.已知板的尺寸

a>b,忽略板重.求A、B处的约束力及C处的内力.CAMCBM由单体分析可知,A、B处必受力;由整体分析可知,A、B处受力共线.25分别取AC板、BC板为研究对象,各板受力如图示.CAMab45ºCBMab45º同理可有:受力方向如图示.26思考题：

三角板用三根杆与固定铰链连接，板上作用有一主动力偶，三角板和各杆的自重不计。确定杆1与杆2作用在三角板上合力的方向及作用点的位置。27思考题：带有不平行二槽的矩形平板上作用一力偶M,

槽内插入两固定于地面的销钉,不计摩擦则:a.平板平衡b.平板不平衡c.是否平衡无法判断28

作用线位于同一平面内而任意分布的一群力构成的力系称为平面任意力系.平面任意力系是工程上最常见的一种力系,很多工程实际问题都可以简化成平面任意力系来处理.§2–5平面任意力系向作用面内一点简化力的平移定理:

作用在刚体上的某点A的力F可以平行移动到刚体内任意一点B,但必须同时附加一力偶,这个附加力偶的力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩.注意:上述力的平移目的是,平移前后对刚体的作用等效我们还可以这样叙述力的平移定理:

作用在刚体上某点A的力F,可以等效于作用在B点的同样大小和方向的力F'以及一力偶,此力偶的力偶矩等于作用在A点的力对B点的矩.简言之,在刚体上力的平行移动中‘力’‘力+力偶’29下面通过静力学公理和力偶的定义用图示法来证明:ABABMABd加任意一对平衡力力偶的定义减任意一对平衡力力偶的性质由上可知,力的平移定理的逆定理也成立的.30ABABABABABdd312.平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩主矢:力系所有各力的矢量和.记为主矩:力系所有各力对某点O力矩的矢量和.记为OOO诸力向O点平移两个简单力系的合成32平面任意力系向作用面内的任意一点O简化可得一力和一力偶.这一力等于原力系的主矢,这一力偶的力偶矩等于原力系对O点的主矩.OOxy为与x轴所夹锐角.33例一.某平面任意力系如图示分布.已知P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN.求合力的大小和方向,以及合力作用线方程.xyAOBC3m3m9m5.7m3.9m1.5m解:先将力系向O点简化34xyCABO35合力的作用线方程:原力系对O点的主矩表达式为xyO由力的平移定理的逆定理,可将图示的力和力偶进一步简化为一个力.力为原力系的合力上式也自然得出合力矩定理设合力的作用线过A点,则上式在图示坐标系下的解析表达式为:dA36所以,合力作用线方程为.注意:上式中每一个量都是代数量,本身含正副号.将前面的简化结果带入上式:xyBOAC3m3.514m37★固定端约束及其约束反力:ABABABABAB38

平面任意力系向任意一点O简化,可得一力和一力偶,这个力的大小和方向等于原力系的主矢,(即力系各力的矢量和)作用线过简化中心O.这个力偶的力偶矩等于原力系对O点的主矩(即力系各力对O点的力矩的代数和).鉴于书上对力系简化理论的叙述方式,为消除某些模糊概念,有必要对和含意的二重性予以说明.就一次具体的向O点简化的结果而言:是过O点的力.是向O点简化而得到的附加力偶.就力系向任意一点O简化结果的度量而言:代表力系的主矢.代表力系对任意一点O的主矩.39§2-6平面任意力系简化结果的理论分析任何平面力系都有两个基本的特征量,这就是力系的主矢量和力系对某一点O

的主矩,这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用.原力系是一力偶系,可简化为一力偶原力系可简化为O点的合力.原力系最终可简化为过某O点的合力.40OOOO'原力系为平衡力系.由上面的分析,我们可得到如下的结论:

平面任意力系如果不平衡,则最终的简化结果或是一个力,或是一个力偶.这种结果说明原力系的主矢和对任意一点的主矩至少有一个不为零.由此,便得到平面任意力系平衡的充分和必要条件.41▲平面任意力系平衡的充分和必要条件是:力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零.在直角坐标系下,有:§2–7平面任意力系平衡方程式的应用.例一.图示由两杆组成的三角架受力如图示.已知C为AB杆的中点,力P=10kN,杆重不计.

求A端的支反力和DC杆所受到的力.42ABCACBD45º例一.图示由两杆组成的三角架受力如图示.已知C为AB杆的中点,力P=10kN,杆重不计.求A端的支反力和DC杆所受到的力.解:取AB杆为研究对象.(画受力图)45ºllxyA端受水平力为20kN,铅垂力为10kN.方向均与图示相反.DC杆为二力杆,受压力,大小为28.28kN.43qABM4a2a例二:已知简支梁均质,自重为P.梁的AC段承受均布载荷为q,力偶M=Pa,梁长为4a.求A,B处的约束力.xy解:取整体分析44例三.例:自重为P=100kN的T字形刚架ABD,置于铅垂面内,

载荷如图示.其中M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.

试求固定端A的约束反力.解:为便于计算,先将线性分布载荷等效简化为一合力.合力的大小就是载荷面积合力的作用线到C点的距离为AC的2/3.qll3l30ºABDC于是,T形刚架的受力情况如后面之图所示.d45ll3l30ºABD2lC46ll3l30ºABD2lCxy平面上,对同一个平衡的研究对象,运用的平衡方程的个数不能超过3个,但是方程的形式可以有一些变化.解法2:47ll3l30ºABD2lC解法348

从上一例我们可知,平面任意力系的平衡方程组可以有若干种形式.实际上,就是我们上面用的三种形式.

解法1用的是平衡方程的基本形式,是由平衡的充要条件直接得到的,称为两投影一矩式.

解法2用的是两矩一投影式.解法3用的是三矩式方程.两投影一矩式两矩一投影式三矩式方程限制条件:AB连线不能与x轴垂直.限制条件:A,B,C三点不能共线.49

从前面平面任意力系的简化理论我们已经知道,平面力系最终的简化结果只有三种情况:一个力,或一个力偶,或平衡.对于两投影一矩式原力系不可能简化为一力.原力系不可能简化为一力偶.所以,原力系是平衡力系.对于两矩一投影式原力系不可能简化为一力偶.只能平衡,或为过AB连线的力当x

轴不与AB连线垂直,表明过AB连线的力不存在.所以,当x

轴不与AB连线垂直,原力系是平衡力系.50对于三矩式方程原力系不可能简化为一力偶.只能平衡,或为过AB连线的力当C点不过AB连线,表明过AB连线的力不存在.所以,当A,B,C三点不共线,原力系是平衡力系.★平面平行力系的平衡方程:xyO自然满足(不平衡也成立)还有两矩式方程A、B连线不与力的方向平行.51ABCaaa60º例四.边长为a的均质等边三角形平板ABC在铅垂面内用三根无重连杆铰接,

如图所示.BC边水平,三角形板自重为P,一力偶其矩为M作用在三角板上.

求:三杆对平板的约束力.解:取三角板分析52§2–7物体系统的平衡•静定和超静定问题

一个系统的平衡,是指系统内每一个物体都平衡.如果系统内有n个物体,对于平面力系,可至多有3n个独立的静力学平衡方程,如果系统内有特殊力系作用的物体,如二力构件,力偶系作用的物体或汇交力系作用的物体等,则独立的平衡方程的个数便小于3n.静定问题:如果力学系统内未知量的个数等于或少于独立的平衡方程的个数,这个力学系统是静定的.即,可以用静力学的平衡方程‘定下来’.超静定问题(也称为静不定问题):

如果力学系统内未知量的个数多于独立的平衡方程的个数,这个力学系统是超静定的.即,用静力学的平衡方程‘定不下来’.需要通过寻找其他的补充方程联合求解.53已知物块的重量,欲求连杆受力.问:哪个为静定问题,哪个为超静定问题?已知结构中载荷Q为已知,欲求各处约束反力.问:哪个为静定问题,哪个为超静定问题?ACBDABD54例1.图示曲轴冲床系统简图.由飞轮O,连杆AB和冲头B组成.OA=R,AB=l.

不计摩擦和自重.当OA在水平位置时,系统处于平衡状态.这时,测得冲头上的作用力为F.求:(1)飞轮上力偶M的大小;(2)轴承O处的约束反力;(3)连杆AB受的力;(4)冲头对导轨的力.BxyOABM解:此题是系统的力系平衡问题.首先,取冲头B(块)分析55BxyOABMBAMOAxy再取飞轮为研究对象由作用与反作用公理及二力平衡公理可知轴承O处的约束反力与图示相反,

其余处的受力如图所示.56例2.图示组合梁不计自重,由AC与BC梁铰接而成.已知

F=20kN,均布载荷集度q=10kN/m,M=20kN.m,l=1m.

试求A,B处的约束反力.ACBDllll60º30ºqM30º60ºCBDq解:取BD梁分析57qMAC取AC梁为研究对象B支座处的约束力如图示,A处的竖直约束力与图示相反,水平约束力和约束力偶如图示.30º60ºCBDq58例3.构架由杆AB,AC和DF铰接而成.在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶,不计个杆的自重.求AB杆在铰链A、D和B处所受的力.ADBCEFaaaaM解:先整体分析,由力偶力系的平衡可知方向如图示DMEF取DF杆为研究对象取ADB杆为研究对象DBA5960º600FM80080060ºCBAED例4.已知:F=200（N）,M=100（N.m）求A处约束力及B、C处的内力.30º600FMBD800解:整体分析取BD杆为研究对象 60800800ACB60º取AC杆分析30º61例5.如图结构,水平杆上有铅垂力P的作用.求证:不论P的位置如何,AC

杆总是受大小等于P的压力.ABDCPxabEABDPxaEbABbPx证明:整体分析取AB杆分析取AB杆,AD杆的组合体分析AB杆上A点的力与上面的FA等值反向,故受常压力为P.62图示结构中,已知力F=40kN.求AC杆在铰链A、B、C处所受的约束力.2m2m2m2mABCDEF解:取AC杆分析45ºABCFED45º

取DF杆分析由(1),(2)式联立再取AC杆分析AC杆A处受力与图示相反.63图示构架,由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计.载荷及尺寸如图.销钉B上作用一铅垂力F.图中的q、F、M及尺寸a均为已知,且M=qa².求:固定端A处的约束力及销钉B对杆BC、AB的作用力.解:取DC杆为研究对象DCq解:取BC杆(带B铰链)为研究对象aa3aDABCqqMaBCM64qAB取直角弯杆AB分析:BCM分别为销钉B对AB杆的作用力由前面受力图可知65MBC取BC杆(不含B铰)分析:BBC杆(不含B铰)上B点的力为销钉B对BC杆的力.方向均如图示.销钉B的受力情况如图示BCM66图示结构中,AB=2BC=2b,BD=DE=a,=60º.重物重P,各构件与滑轮的自重不计,求A处的约束力.PABCED

解:首先取滑轮E为研究对象PEP

由结构及受力状态可知:取BE杆为研究对象E60ºDBCBA取上滑轮及横梁为研究对象.67PABCEDCBA30º进一步等效简化如左图所示:方向如图示68补例已知均质弧形杆CD重P1=2kN,均质直杆AC重P2=3kN,力F=4kN,力偶矩M=1kN.m.不计AD和BC杆的自重,a=1m.求:销钉A对AC杆的力.解:由题意,宜求A铰所受的力.MCBFaaaaMP1P2ABCD整体分析取BC杆分析再取整体分析69FDAaaAP1DCaa取AD杆分析:取DC杆分析:再取AD杆分析:取A铰分析:销钉A对AC杆的力与等值反向,作用在AC杆上.(未画出)70§2–8平面简单桁架的内力计算桁架是一种由杆件在两端互相连接而成的承载结构,它在受力后几何形状不变.

工程上采用桁架的结构有很多,如高压输电线塔,水利工程的闸门,塔式起重机的塔身,铁路桥梁的两侧结构等.桁架中的杆件与杆件的连接点,称为节点.桁架的优点是:内部的杆件主要承受拉力或压力,可以充分发挥材料的作用,

节约材质,减轻结构的重量.

平面桁架内力计算的基本假定:(1)所有的杆件都是直杆;(2)杆件的连接点都是光滑铰链;(3)桁架所受的力都作用在节点上,而且在桁架的平面内;(4)各杆的重量一般略去不计,若计则平均分配在杆件两端的节点上.所有杆件的轴线都在同一平面的桁架,称为平面桁架71简单的平面静定桁架:

以一个铰接的三角形框架为基本结构,每增加一个节点的同时增加两根杆件.这样构成的桁架就是简单的平面静定桁架.设杆数为m,节点数为n.简单平面桁架的杆数与节点数的关系为:(m–3)=2(n–3)即是m=2n–3★平面静定桁架的内力计算:1.节点法视具体情况求支反力.依次取每一个节点分析和计算内力.每个节点上的未知力一般不超过2个.2.截面法视具体情况求支反力.将整体截开,求被截杆内力.一般截杆不超过三根.注意力的汇交点.72例一.求简单平面桁架的各杆的内力.已知F=10kN.30º30º2m2m12345ABCDF解:整体分析,