2020-2021学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出i是虚数单位），则1，1）D．（﹣PD⊥底面ABCD，若AB＝z在复平面内对应的点的坐标是（）1，﹣1）C．9D．62个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出的（）A．充分不必要条件B．必要不D．既不，则∠A＝（）C．D．食作物之一，也是我国60%人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量：kg）如表：充分条件6．（5分）水稻是世界最重要的为中（单位品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年根据以上数据，下面说法正确的是（）7．（5分）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），A．3成绩95754人数199．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足AM⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）1C．110．（5分）已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且||＝1，||＝2，||＝3，实数λ，λ2，λ3∈[﹣1，1]，则112A．B．2C．D．5(本大题共11．（5分）已知平面向量＝（12．（5分）若复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数6小题，每小题5分，共3，2），且⊥，则实数a的值为．2，k），＝（13．（5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为．14．（5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数，方差.（填“变大”，“变小”，“不变”）15（．5分）已知等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则的最大值为，最小值为．16．（5分）已知△ABC的三边长为①存在满足条件的内角中的最大角等于另外两个角的和；②存在满足条件的内角中的最大角大于另外两个角的和；③存在满足条件的内角中的最大角等于最小角的2倍；内角中的最大角等于最小角的3倍．连续的正整数，给出下列四个结论：三角形，使得三个三角形，使得三个三角形，使得三个④存在满足条件的三角形，使得三个其中所有正确结论的序号是．三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说，明演算步骤或明过过程)17．（14分）在△ABC中，（Ⅰ）求cosA的值；．（Ⅱ）若B＝2A，，求a的值．18．（14分）如图，在正方（Ⅰ）求证：BD∥平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说理明由．EDCBA的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．据根调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）20．（14分）如图，在锐角△ABC中，，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE＝2．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并（Ⅰ）sinC的值；（Ⅱ）∠BDE的大小；条件条件；条件A（1，a1），A2（2，a2），…，nA（n，an），…记为|A|，设f（n）＝•j，其中j为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整n1数n，都有f（n+1）＞f（n），则称{An}为T点列．（Ⅰ）判断是否为T（Ⅱ）若{A}为T点列，且a＞a.任取其中连续三点A，Ak+1，Ak+2，证明△AkAk+1Ak+2n12k为钝角三角形；（Ⅲ）若{A}为T点列，•j与•jn的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出1．（5分）已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣【解答】解：∵＝1，1）D．（﹣1，﹣1），PD⊥底面ABCD，若AB＝C．9D．6SP﹣ABCD中，底面矩形ABCD的面积为ABCD＝AB•AD＝3×2矩形所以该四棱锥的体积为V＝SABCD•PD＝×6×3＝6．PABCD四棱锥﹣矩形D．3．（5分）一个中不放回地依次随机摸出A．B．4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋2个球，则两个球颜色相同的概率是（）C．D．2个球，【解答】解：从袋中不放回地依次随机摸出，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”B．必要不D．既不充分也不必要条件垂直的判定可得α⊥β，反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n∥β或n与β相交，相充分条件必要条件，故选：，则∠A＝（），，∴．故选：C．6．（5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种也为解决世界粮食短缺问题作主粮．以袁隆平院士为首的技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面（单位：kg）如表：第1年第2年积相等的两块稻田中连续6年的产量品种第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920【解答】解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：乙种水稻产量的平均数为：，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890＜905，故B错选项C：甲种的水稻产量的极差为920﹣850＝70，乙种的水稻产量的极差110＞70，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：＝，+（850﹣900）乙种的水稻产量的方差为：因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，产量稳定，故D正确，故选：D．而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻7．（5分）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（）A．3C．﹣3D．，，2成绩95人数146546789如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A．65B．70C．75D．8050×40%＝20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以75．C．9．（5分）在棱长为面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）A．B．C．1D．1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点E是核AB的中点，点M是底【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（0，0，1），C1（1，1，1），E（，0，0），M（x，y，0），所以＝（x，y，﹣1），＝（﹣，﹣1，﹣1），1所以﹣x﹣y+1＝0，即点M的轨迹方程为x+2y﹣2＝0，所以线段AM的最小值为＝，故选：B．10．（5分）已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且||＝1，||＝2，||＝3，实数λ，λ2，λ3∈[﹣1，1]，则|λ+λ+λ3|的最大值为（）112B．2D．5∴平面向量，，两两的夹角都为120°，∴，，，＝＝，∴当λ1＝1，λ2＝1，λ3＝﹣∴|λ1+λ2+λ3|的最大值为．C．二、填空题(本大题共11．（5分）已知平面向量＝（取得最大值为21，6小题，每小题5分，共2，k），＝（3，2），且⊥，则实数k＝﹣3．【解答】解：∵，∴，解得k＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）若复数a的值为﹣2．z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，则实数【解答】解：∵复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣1）i为纯虚数，∴2．13．（5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概考物理或地理的学生有【解答】解：设既选考物理又选考地理的学生有所以选考物理或地理的学生人数为故答案为：．14．（5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数不变，方差变小.（填“变大”，“变小”，“不变”）n个，分别为x，x2，•，xn，12+（x﹣10）2]，n2＝ns2，2+•+（x﹣10）122+（x﹣10）2+•+（x﹣10）n12加入一个新数10后，平均数为（x+x+•+xn+10）＝，12故平均数不变；新的方差s2’＝[（x﹣10）2+（x﹣10）2+•+（xn﹣10）2+（10﹣10）2]12＝•ns2＝，故方差变小．故答案为：不变；变小．15（．5分）已知等边△ABC的边长为的最大值为3，最小值为﹣．【解答】解：以AC所在的直线为x轴，AC的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则系，，∴∴，，，＝设f（x）＝∵函数f（x）的对称轴为，∴f（x）在区间单调递减，在区间当x＝﹣1时，f（x）＝f（﹣1）＝3，，﹣1≤x≤1，．故答案为：3，．16．（5分）已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：①存在满足条件的②存在满足条件的③存在满足条件的④存在满足条件的所有正确结论的序号是①②③．设△ABC的三边长三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；2倍；3倍．三角形，三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的其中【解答】解：根据题意，依次为n﹣1，n，n+1，设最大角为A，最小角得B，对于①，当n＝4时，△ABC的三边长①正确；依次为3，4，5，此时△ABC为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和，第12页（共20页）对于②，当n＝3时，△ABC的三边长依次为2，3，4，cosA＝＜0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和，②正确；对于③，当n＝5时，，△ABC的三边长依次为4，5，6，cosA＝＝，cosB＝对于④，假设存在符合题意的三角形，则故不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形，④错误；70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)．【解答，，∴．，∴．∵B＝2A，∴又∵，第13页（共20页）∴．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面AEF；（Ⅲ）判断点C是否在平面AEF内，并说明理由．1【解答】解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE∥DF，BE＝DF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD∥EF，又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD∥平面AEF．（Ⅱ）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA⊥平面ABCD，1所以AA1⊥BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD∥EF，所以EF⊥AA1，EF⊥AC，又因为AC∩AA1＝A，所以EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）点C在平面AEF内，理由如下：1取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DF∥CG，DF＝CG，所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG∥DC，FG＝DC，又因为AB∥DC，AB＝DC，所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF∥BG，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，故点C在平面AEF内．119．（14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]心理等级E（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按2层，3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级B的3人中，DCBAt的值；照调查评分的分组，分为通过分层随机抽样抽取概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间【解答】解：（Ⅰ）由已知条件可得和为1．0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10＝1，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t＝0.002，在[40，50）中的层抽样抽取3人，在[40，50）中M＝“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为所以（t＝0.002；在[50，60）中有1人，在[50，60）中有2人，B”．所以，所以，所以市民心理健康指数平均值为．所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．20．（14分）如图，在锐角△ABC中，，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE＝2．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并（Ⅰ）（Ⅱ）∠BDE的大小；（Ⅲ）形BCED的面①：②：③：EC＝3．：选条件①③时，（Ⅰ）sinC的值；条件；条件；条件因为，又因为在△ABC中，，．，．，即AC2﹣