八年级上册数学各章知识点总结6313

《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。即x2a，叫做xa的平方根。2.平方根的性质与表示aa表示，叫做aa的平方根正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。⑴表示：正数用⑵一个正数有两个平方根：a（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。a0a2a==a（a）02aaaa0⑷a的双重非负性a0（应用较广）a0且例：x44xy得知x4,y0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。________区分：4的平方根为的平方根为4________4开平方后，得442完全平方类＝933.计算a的方法非完全平方类7＝7精确到某位小数*若ab0，则ab（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根，记作3a2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。aa3a3a33a3a（a取任何数）3这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。*０的平方根和立方根都是０本身。n（三）推广：次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。２.正数的偶次方根有两个：a；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。00nn正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：①按属性分类：②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：2①尺规可作的无理数，如②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，……思考：（1）－a2一定是负数吗－a一定是正数吗（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间15（3）的整数分部为a,小数分部为b，则a=,b=。（4）判断下面的语句对不对并说明判断的理由。①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。3.实数大小比较的方法3一、平方法：比较和3的大小2二、根号法：比较23和32的大小51比较和1的大小三、求差法：24.实数的三个非负性及性质(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。(2)非负数有三种形式①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；2③任何非负数的算术平方根是非负数，即a0（3）非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0二、题型解析题型一、有关概念的识别例1.下面几个数：1.23.，…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是

±1C、=±1D、是5的平方根的相反数题型二、计算类型题例2.设，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.

例3.计算：1abba(ab)1b51，其中a=51，b=．2例4.先化简，再求值：2a例5.若3和互为相反数，求的值。2a113b3b题型三、实数非负性的应用例6．已知实数a、b、c满足，2|a-1|+2+1=0,,求a+b+c的值.bc()2c2例7.若yx11x1，求x，y的值。例8.已知：=0，求实数a,b的值xx2x22【变式1】y5，求y的平方根和算术平方根。x【变式2】已知(x-6)2+的值。+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3题型四、数形结合题例9、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：a2b2(ab)2类型五、实数应用题例10．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。类型六、拓展提升例11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.例12.把下列无限循环小数化成分数：①②

③二次根式1、二次根式：形如a(a0)的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式（1）(a)2a(a0)（2）a2a（3）乘法公式aba•b(a0,b0)aa(a0,b0)（4）除法公式bb4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a＋b=c2。，那么这个三角形是直角三角22形。3.互逆命题：题设、结论正好相反的两个命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）在直角三角形中，30的角等于斜边的一半。（3）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为a2＋b2=c2。°所对的直角边c，那么（4）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、常用关系式••面积公式可得：ABCD=ACBC由三角形全等三角形知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运2．全等三角形的性质：判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。全等三角形的对应角相对应边相等、等。3.三角形全等的（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。轴对称知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）角平分线上的点到角两边距离相等。（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。5.等腰三角形的判定：等角对等边。6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身数学美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。自然数(0,1,2,3)整数负整数(1,2,3)实数12有理数(整数有限小数无限循环小数)、、正分数(,)23分数(小数)实数负分数(1,2)23正有理数无理数(无限不循环小数)负有理数1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么正数x叫做a的算2a≥0时,a才有算术平方根。术平方根，记作a。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当2.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x=a，那么数2x就叫做a的平方根。3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。4.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。5.数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0ababa0,b0a(a0,b0)abb第十四章、一次函数知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正一次函数比例函数。(1b.01(2(1(2b.01(3k0b02k0b02(3b03b032.正比例函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。函数基础知识知识能力解读知能解读(一)有序数对aba,b我们把有顺序的两个数与组成的数对，叫作有序数对，记作.注意b,a对“有序”要理解准确，即两个数的位置不能随意交换，与中字母顺序不同，含a,b义就不同，表示的位置也就不同.知能解读(二)平面直角坐标系y(纵轴)4第二象限3第一象限21O1234x(横轴)-4-3-2-1-1-2第三象限第四象限-3-4(1)如图所示，在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数yx轴称为横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为纵轴或轴，取向上方向为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.(2)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分称为象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图1-23-1所示.注意(1)两条坐标轴上的点不属于任何一个象限.(2)如果平面直角坐标系具有实际意义，那么要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位.知能解读(三)点的坐标y321NP(3,2)M-3-2-1O-1x123-2Py如图所示，在平面直角坐标系中，从点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为点和点.MxNMx这时，点在轴上对应的数为3，称为点的横坐标；点在轴上对应的数为2，称为PyNPP点的纵坐标，依次写出点的横坐标和纵坐标得到一对有序实数对3,2，该有序实数对PPP称为点的坐标，这时点可记作3,2.注意(1)在建立了平面直角坐标系后，平面内的点便可与有序实数对—对应.也就是说，对于坐标平面内的一个点，总能找到一个有序实数对与之对应；反之，对于任意一个有序实数对，总可以在坐标平面内找出一个点与之对应.(2)在表示点的坐标时，横坐标应写在纵坐标的前面，中间用逗号隔开，横、纵坐标的顺序不能颠倒，如3,2与2,3是两个不同点的坐标.知能解读(四)不同位置的点的坐标特征1各象限内点的坐标的符号特征坐标横坐标象限纵坐标第一象限第二象限+--+++--第三象限第四象限2坐标轴上点的坐标特征x(1)点在轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；y(2)点在轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.3象限角的平分线上的点的坐标特征xy则当点在第一、三象限角平分线上时，；当点设Pxy,为象限角的平分线上一点，PxyP在第二、四象限角平分线上时，.4与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于轴的直线上的相同；平行于轴的直线上的、原点对称的点的坐标特征yxx各点的纵坐标各点的横坐标相同.y5关于轴，轴Px若点与点关于轴(横轴)对称，P相同，纵坐标互为相反数；P一般地，则横坐标若点与1yPP点关于轴(纵轴)对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；若点与点关于原点对称，3P2则横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”.yx知能解读(五)平面直角坐标系内的点到轴、轴、原点的距离(拓展)yOP(a,b)MNxba(1)点,到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为2；Pabxyab2如图所示，AxBx,0两点之间的距离为ABxx；(3)在不同坐标轴上(2)同一坐标轴上的,0,1ABx2y的,0,0,两点之间的距离为.2221AxBy知能解读(六)函数的相关概念1变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.注意常量与变量不是绝对的，而是对“某一变化过程”而言的，同一个量在某一个变化过程中是st.如在汽车：行驶的过程中，有路程、行驶时间、tt常量，而在另一个变化过程中可能是变量v速度三个量，当速度v—定时，路程与时间是变量，速度是常量；当汽车行驶的时间svsvt一定时，路程与速度是变量，时间为常量；当路程svt—定时，速度与时间是变量，路s程为常量.2自变量与函数yyxx一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一那么我们就说是自变量，是的函数yxx确定的值与其对应，.注意函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过程中，要着重把握以下两点：(1)只能有两个变量；(2)对于自变量的每一个确定的值，都有唯一的函数值与之对应.知能解读(七)函数的解析式像y500.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.取值范围函及数值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体.求自变量的取值范围通常方面考虑:一是要使函数的解义；二是要符合客观实际.下面给出一些简单函知能解读(八)函数自变量的函数自变量的取值从两个析式有意数解析式中自变量取值范围的确定方法：(1)当函数的解析式是整式时，分式时，析式是二次根式时，出现在零次幂或负整数次幕的底数中时，自变量自变量取任意实数(即全体实数)；自变量取值是使分母不为零的任意实数；取值是使被开方式为非负数；取值是使底数不为(2)当函数的解析式是(3)当函数的解自变量(4)当函数解析式中自变量零的实数对于自变量在取值范围内的每一个值，如当时，函数有xa唯一确定的值与之对应，这个值xa就是当时的函数值.知能解读(九)函数的图一般地，对坐标平面内由这些点组成的图法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——在表中给出一些自变量的值第二步，描点——在平面直角坐标描出表中数值对各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序把所(十)函数的表示方法写函数解列表格、画函数图列表法和图象法.表示方法优点象于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么形，就是这个函数的图象.描点其及对应的函数值；横坐标，相应的函数值为纵坐标，系中，以自变量的值为应的描出的各点用平滑曲线连接起来.具体的函数方法，分别缺点知能解读析式、象，都可以表示.这三种表示函数的称为解析式法、总结简单明了，能准确反不直观，有些函数关映整个变化过程中自系不一定能用解析式解析式法表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为解决问题，需要同时使用几种方法变量与函数的关系法表示出来对应值不限，不易看一目了然，使用方便出自变量与函数的对应规律列表法图象法形象直观，能明显表不易看出自变量和函示变化趋势数的对应值方法技巧归纳方法技巧(一)利用平面直角坐标系相关知识解决问题的方法1由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置根据平面直角坐标系内点的坐标与点的位置的关系，我们可以根据点的坐标确定点的位置，反过来，也可以根据点的位置确定点的坐标.2建立适当的平面直角坐标系，解决数学问题根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，在建立平面直角坐标系时，我们一般以图形的某边所在直线为坐标轴，或使图形的顶点大部分在坐标轴上.方法技巧(二)函求数自变量的取值范围的方法函数自变量的取值范围首先要使函数解析式有意义，当函数解析式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围还必须符合实际意义或几何意义.方法技巧(三)列函数解析式(建立函数模型)的方法1几求何图形问题中的函数解析式2求实际问题中的函数解析式方法技巧(四)用图象法表示函数关系的方法1实际问题的函数图象2动点问题的函数图象易混易错辨析易混易错知识1.由点到坐标轴的距离确定点的坐标时，因考虑不周而出错.由点求坐标时，容易将横、纵坐标的位置弄错，还容易忽略坐标的符号而出现漏解的情况，如点Px,y到x轴的距离y是4，到轴的距离是3，此时点的坐标不只是一种情况，解求P时考虑问题要全面.2.由实际问题的函数解析式画图象时，易忽视自变量的取值范围而导致图象错误.实际问题中自变量的取值范围大部分都是非负数，画图象时应加以注意.易混易错(一)自求变量的取值范围时，因考虑不周而出错易混易错(二)由点到坐标轴的距离求点的坐标时出错中考试题研究中考命题规律函数自变量的取值范围、函数的图象及平面直角坐标系的应用、确定物体位置的方法是近几年中考的常见考点.特别是根据提供的图象解决实际问题的一类信息题因具有时代气息、贴近生活，是中考热点之一.题型有选择题、填空题和解答题.中考试题(一)确定点的位置中考试题(二)确定点的坐标中考试题(三)利用函数自变量的取值范围解决问题中考试题(四)根据情景描述函数图象中考试题(五)由函数图象获取信息一次函数知识能力解读知能解读(一)正比例函数和一次函数的概念(1)正比例函数:一般地，形如ykx(k是常数，k0)的函数，叫作正比例函数，其中叫k作比例系数.(2)一次函数:一般地，形如ykxb(k,b是常数，k0)的函数，叫作一次函数.当b0时，ykxbykx即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注意(1)一次函数的表达式ykxbk0是一个等式，其左边是因变量，右边是关于自变量yx的整式.(2)自变量的次数为1，且系数不等于0.(3)自变量的取值范围：一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数.知能解读(二)正比例函数和一次函数的图象ykx(1)一般地，正比例函数(是常数kk0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为,ykxykxxyk0直线，当时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大ykxk0xy的也增大；当时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而1,kk0.一般地，过原点和点(是常数，)的直线，即正比例函数ykxk0k减小图象.(2)一次函数ykxb(k,bykxbk0是常数，)的图象可以由直线平移个单位长度得ykxb(k,b是常数，)b0b0到(当时，向上平移；当时，向下平移k0).一次函数ykxb.的图象也是一条直线，我们称它为直线—次函数ykxbk0yxyk0具有如下性质:当时，随的增大而增大；当时，k0x随的增大而减小.点拨,0交点和bykxbk00,b为了方便，我们通常利用一次函数的图象与坐标轴的k来画图象.ykxbk,b中的系数的知能解读(三)对一次函数(1)直线ykxb理解(拓点展)k中表示直线向上的x方向与轴正方向夹角的大小程度，即直线的倾斜程y与轴交于正yb0b0半轴；当时，直线过b度，是直线与轴交点的纵坐标.当时，直线b0y与轴交于负半轴.如下表：原点；当时，直线k,b的符号函数图象图象的位置性质yb0图象过第一、二、三象限Oxy图象过第一、三象限k0yx随的增大而增大b0b0b0OxyO图象过第一、三、四象限xyO图象过第一、二、四象限xxyx随的增大而减k0小yOb0图象过第二、四象限yOb0图象过第二、三、四象限x1①当kk,bb时，两直线平行；(2)两直线ykxbk0与ykxbk0的位置关系：112221212②当kk,bb时，两直线重合；1212③当kk,bby时，两直线交于轴上一点；2121④(供参考)当kk1时，两直线垂直.12知能解读(四)待定系数法先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：(1)设出含有待定系数的函数解析式ykxb(k,b为常数，k0)；(2)把已知条件(自变量与对应的函数值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即得出所求的函数解析式.知能解读(五)一次函数与方程(组)、不等式之间的关系1一次函数与一元一次方程x一般地，因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为axb0a0的形式，所以解一元一次方程相当于求与之对应的一次函数yaxba0的函数值为0时，自变x量的值.点拨bb求直线ykxbk0x与轴的交点，可令y0得方程kxb0，解方程得x,kk是直线ykxbk0与x轴交点的横坐标.反之，由函数的图象也能求出与之对应的一元一次方程的解.2一次函数与二元一次方程(组)x一般地因为每个含有未知数和的二元一次方程，都可以变为ykxb（k,b是常数，yk0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标x,y都是这个二元一次方程的解.yx由上可知，由含有未知数和的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从数“”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.3—次函数与一元一次不等式一