数学问题中的发散和逆向思维

数学问题中的发散和逆向思维第一页，共二十六页，2022年，8月28日树立一种好的思维方法的重要性本科学生学习马克思主义哲学的必要性与应用上的盲目性世界观：反过来就是观世界，培养观察世界各种现象运动规律。复杂多样的自然现象造就了学科内容的多样性，地质地貌造就了地质学，地貌学，地壳运动学，采掘，采矿，冶金，石油，勘探，生物化学，物理学，天体物理学。造就了世界众多的自然科学家，如哥白尼，开普lie张衡、祖冲之牛顿，爱因斯坦，法拉第，霍金。这些人无一不是用数学方法在刻画世界。大自然赋予人类众多的财富，矿藏，石油，海洋，森林，赋予人们美轮美奂的自然美景，让我们去享用。但也给人类提出了警示，产生众多的社会科学，如可持续发展，保护环境，减排，低碳，计划生育，控制人口等。人生观，反过来就是观人生，指人们对人生意义的不同理解，用不同的思维方式去看待人生，认识人类社会的演进。第二页，共二十六页，2022年，8月28日方法论方法论是哲学科学或科学哲学的另外一个重要方面，一个好的世界观和观察事物的方法是任何科学家的共同特质。如达尔文发现与发展生物进化学说；牛顿发现万有引力并创立牛顿力学和天体物理学；法拉第发现了电和磁并创立了电磁学；贝尔发现电话改变了世界。高斯，莫比乌斯等。这些无一不与他们具有观察事物的超人能力和科学的方法相关。

第三页，共二十六页，2022年，8月28日数学科学的强大渗透力和独立性数学可以作为其他任何科学的基础，其本身也是高度抽象而独立于其他科学的科学，自成体系。从逻辑思辨角度来看，其他科学往往没有数学的逻辑体系这么复杂多样，因为其他学科往往着力于具体应用和实现。而数学则不然，只要符合逻辑的概念都可以定义（但不要成为空集），而应用科学往往强调于可实现性。两种思维：先存在理论，后寻找背景；先存在背景，后寻找理论第四页，共二十六页，2022年，8月28日硕士生与博士生的学习方法硕士生的历程介于本科生与博士生之间，他们既有被动接受知识的一面，也是一个逐步树立创新思维的过程，一个好的硕士生往往也具备一定的创新能力，但相对于博士生而言，他们还没有具备系统的科学思维能力和创新能力。博士生的学习则主要基于创新思维的系统训练和独立研究能力的形成，他们不再是以学习知识为主要方面，而是通过独立的研究过程来培养他们的思维方式，扩大他们的知识面，形成自己独特的知识结构体系和思维方法。第五页，共二十六页，2022年，8月28日发散思维能力的培养象牙尖的观点既肯定又否定；每一个研究方向虽然特殊但又存在不同的分支内容；第六页，共二十六页，2022年，8月28日数学问题中成对出现的问题归纳分析：连续——不连续；可导——不可导；收敛——发散；代数：可约——不可约；可逆——不可逆；可交换——不可交换；交换代数——不可交换代数；正交——非正交；几何：欧氏几何——非欧几何；笛卡尔坐标系——仿射坐标系微分方程：线性——非线性；稳定不稳定；最优化：光滑——非光滑；凸——非凸，单目标——多目标第七页，共二十六页，2022年，8月28日看看一个常规的数学问题及其启示一个n阶实矩阵A必定存在一个复数（或实数）z，使得z是A的特征值也就是一定存在一个非零的n维向量X，使得AX=zX第八页，共二十六页，2022年，8月28日学生的常规思维，被动接受，一般不会考虑其它的问题，也不会提出其他问题。第九页，共二十六页，2022年，8月28日反向思维启示反过来问，任意给定一个复数z，能否找到一个实矩阵A，以z作为它的特征值？这样的矩阵如何确定？！这就是数学中的反问题或者称为逆问题。这类现象在数学和其他学科中均大量存在。两个杂志介绍：

IP:InverseProblemsQM:QuestionMathematices第十页，共二十六页，2022年，8月28日问题的进一步发散任何一个n阶实矩阵A，必定存在n个复数（实数）作为它的特征值。反过来，它的逆问题是：任意给定n个复数或者（实数），如何来确定一个实（复）矩阵，使得这个矩阵的n个特征值刚好就是给定的n个复数？这样的矩阵是否一定存在？！再进一步，要求这个矩阵还是非负的（非负逆特征值问题，NonnegativeInverseEigenvaluesProblem——NIEP）；如果给定的n个数是实数，则称RNIEP再进一步问，在给定的n个数是实数的情况下，确定的矩阵不仅要求是非负的，而且还要求是对称的！SNIEP第十一页，共二十六页，2022年，8月28日这就是著名的三大公开问题，非负逆特征值问题NIEPs(NonnegativeInverseEigenvalueseProblems)。它由前苏联著名的数学家Kolmogorov在1937年所提出。第十二页，共二十六页，2022年，8月28日看看背景1937年,Kolmogorov[1]问一个问题:何时一个给定的复数是一个非负矩阵的特征值？这个问题很快得到证明：答案是:任何一个复数都是一些非负矩阵的特征值[2].Suleimanova([3],[25])在1949扩张了Kolmogorov的问题成为如下叫做非负逆特征值问题nonnegativeinverseeigenvalueseproblem(NIEP)的公开问题.第十三页，共二十六页，2022年，8月28日也就是：问题1(NIEP).

确定n个复数是一个n阶非负矩阵的特征值的必要与充分条件。问题1对于n>=4时仍然是未决问题，n=2时容易解决，n=3时已经被Loewy和London解决[4](R.LoewyandD.D.London,Anoteonaninverseproblemfornonnegativematrices,LinearandMultilinearalgebra,6(1978),83-90).第十四页，共二十六页，2022年，8月28日在同一篇论文中，Suleimanova[3]也给出了下列非负逆特征值问题，并给出了一个充分条件问题2(RNIEP).确定n个实数是一个n阶非负矩阵的谱的充分必要条件.问题2仍然是未决问题当n>=5.第十五页，共二十六页，2022年，8月28日Fiedler[5]在1974年提出了下列对称非负的逆特征值问题

问题3(SNIEP).

确定n个实数是一个非负对称矩阵的谱的充分必要条件。问题3对于n>=5时仍然是未决问题.第十六页，共二十六页，2022年，8月28日相关研究背景全世界有许多学者研究上述这些问题，据不完全统计，大约有300多篇学术论文研究此问题。多次召开专门的国际会议讨论，有专门撰写相关的学术专著的，有广泛流传的网络资料材料.pdf文件。第十七页，共二十六页，2022年，8月28日主要的参考文献列举如下[1]A.N.Kolmogorov,Markovchainswithcountablymanypossiblestates,Bull.Univ.Moscow(A)3(1937)1–16(inRussian).[2]H.Minc,NonnegativeMatrices,JohnWileyandSons,NewYork,1988,p166.[3]K.R.Suleimanova,Stochasticmatriceswithrealeigenvalues,SovietMath.Dokl.66(1949)343–345(inRussian).[4]R.Loewy,D.London,Anoteonaninverseproblemfornonnegativematrices,LinearandMultilinearAlgebra6(1978)83–90.[5]M.Fiedler,Eigenvaluesofnonnegativesymmetricmatrices,LinearAlgebraApp.9(1974)119–142.[6]MoodyT.Chu,GeneH.Golub,InverseEigenvalueProblems:Theory,Algorithms,andApplications,OxfordUniversitypress.P93-122.[8]A.Borobia,Onthenonnegativeeigenvalueproblem,LinearAlgebraAppl.223–224(1995)131–140.[9]M.Boyle,D.Handelman,Thespectraofnonnegativematricesviasymbolicdynamics,Ann.Math.133(1991)249–316.[10]P.Egleston,Nonnegativematriceswithprescribedspectra,Ph.D.Dissertation,CentralMichiganUniversity,2001.[11]C.Johnson,Rowstochasticmatricessimilartodoublystochasticmatrices,LinearandMultilinearAlgebra10(1981)113–130.第十八页，共二十六页，2022年，8月28日[12]C.Johnson,T.J.Laffey,R.Loewy,Therealandthesymmetricnonnegativeinverseeigenvalueproblemsaredifferent,Proc.Amer.Math.Soc.124(1996)3647–3651.[13]F.Karpelevich,Ontheeigenvaluesofamatrixwithnonnegativeelements,Izv.Akad.NaukSSSRSer.Mat.15(1951)361–383.[14]R.B.Kellogg,Matricessimilartoapositiveoressentiallypositivematrix,LinearAlgebraAppl.4(1971)191–204.[15]C.Knudsen,J.J.McDonald,Anoteontheconvexityoftherealizablesetofeigenvaluesfornonnegativesymmetricmatrices,Electron.J.LinearAlgebra8(2001)110–114.[16]T.Laffey,RealizingMatricesintheNonnegativeInverseEigenvalueProblem,TextsinMathematics(SeriesB),Univ.Coimbra,1999,pp.21–32.[17]T.Laffey,E.Meehan,ArefinementofaninequalityofJohnson,Loewy,andLondononnonnegativematricesandsomeapplications,Electron.J.LinearAlgebra3(1998)119–128.[18]T.Laffey,E.Meehan,Acharacterizationoftracezerononnegative5×5matrices,LinearAlgebraAppl.302–303(1999)295–302.[19]J.J.McDonald,M.Neumann,TheSoulesapproachtotheinverseeigenvalueproblemfornonnegativesymmetricmatricesoforder-5,Contemp.Math.259(2000)387–407.[20]L.Mirsky,H.Perfect,Spectralpropertiesofdoublystochasticmatrices,Monatsh.Math.69(1965)35–57.第十九页，共二十六页，2022年，8月28日[21]H.Perfect,Methodsofconstructingcertainstochasticmatrices,DukeMath.J.20(1953)395–404.[22]N.Radwan,Aninverseeigenvalueproblemforsymmetricandnormalmatrices,LinearAlgebraAppl.248(1996)101–109.[23]R.Reams,Aninequalityfornonnegativematricesandtheinverseeigenvalueproblem,LinearandMultilinearAlgebra41(1996)367–375.[24]G.Wuwen,Eigenvaluesofnonnegativematrices,LinearAlgebraAppl.266(1997)261–270.[25]XingzhiZhan,MatrixTheory,AcademicPress(InChinese),2008.6.p127.[26]PatriciaD.Egleston