数值分析课件第二章

数值分析课件第二章第一页，共二十四页，2022年，8月28日

2.1引言

2.2拉格朗日插值多项式

2.3逐次线性插值

2.5差分与等距节点插值公式

2.6埃尔米特插值公式

2.7分段低次插值

2.4均差与牛顿插值多项式

2.8三次样条插值第二章插值法第二页，共二十四页，2022年，8月28日用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值。本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值。第一节引言第三页，共二十四页，2022年，8月28日构造一个简单易算的近似函数g(x)

f(x)，满足条件g(xi)=

f(xi)

(i=0,…n)。这里的g(x)

称为f(x)

的插值函数。当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn

处测得函数值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)最常用的插值函数是…?多项式插值节点插值条件第四页，共二十四页，2022年，8月28日第五页，共二十四页，2022年，8月28日二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足--------(2)--------(3)第六页，共二十四页，2022年，8月28日--------(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式第七页，共二十四页，2022年，8月28日定理1.由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解--------(2)--------(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法第八页，共二十四页，2022年，8月28日

拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即n=1使得111001已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0

,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数

/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/第九页，共二十四页，2022年，8月28日

ThemathematicianS.hadtomovetoanewplace.Hiswifedidn'ttrusthimverymuch,sowhentheystooddownonthestreetwithalltheirthings,sheaskedhimtowatchtheirtentrunks,whileshegotataxi.Someminuteslatershereturned.Saidthehusband:"Ithoughtyousaidthereweretentrunks,butI'veonlycountedtonine!"Thewifesaid:"No,they'reTEN!""ButIhavecountedthem:0,1,2,..."n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每个li有n

个根x0…

xi…xn0=nj-=---=jijiniiixxCxxxxxxCxl0)())...()...(()(x==1-jijiiiixxCl)(1)(LagrangePolynomial与有关，而与无关节点f第十页，共二十四页，2022年，8月28日n+1次多项式第十一页，共二十四页，2022年，8月28日且从而第十二页，共二十四页，2022年，8月28日其中第十三页，共二十四页，2022年，8月28日例1:解:第十四页，共二十四页，2022年，8月28日且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值第十五页，共二十四页，2022年，8月28日Lagrange线性插值基函数为Lagrange线性插值多项式为参见图第十六页，共二十四页，2022年，8月28日例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为第十七页，共二十四页，2022年，8月28日所以请编写出Lagrange插值的Matlab程序程序：lagrangen.m第十八页，共二十四页，2022年，8月28日

插值余项/*Remainder*/设节点在(a,b)内存在,考察截断误差，且f

满足条件,其中，且依赖于x。应当指出，余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用。在(a,b)内的具体位置通常不可能给出。如果可以求出，那么插值多项式的截断误差限是第十九页，共二十四页，2022年，8月28日例题：已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。解：由题意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,

y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用线性插值及抛物插值计算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得

y1-y0sin0.3367L1(0.3367)=y0+————(0.3367-x0)

x1-x0 0.01892=0.314567+———(0.0167)=0.330365. 0.02第二十页，共二十四页，2022年，8月28日其截断误差得其中 ，因f(x)=sinx，f//(x)=-sinx，可取 ，于是

R1(0.3367)=sin0.3367–L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.9210–5， 若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日其截断误差为 ，其中于是用抛物插值计算sin0.3367时，可得第二十二页，共二十四页，2022年，8月28日这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中于是第二十三页，共