数学全称量词与存在量词

数学全称量词与存在量词第一页，共三十页，2022年，8月28日（一）：全称量词的含义和表示

思考1:下列各组语句是命题吗？（1）x＞3；

对所有的x∈R，x＞3.（2）2x＋1是整数；

对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根；

任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.

第二页，共三十页，2022年，8月28日全称量词：

短语“所有的”“任意一个”“任给”等，在逻辑中通常叫做全称量词用符号“”表示

如：“一切”“每一个”，“全体”等

第三页，共三十页，2022年，8月28日全称命题：

含有全称量词的命题叫做全称命题

“对所有的x∈R，x＞3”

－－－

第四页，共三十页，2022年，8月28日“对M中任意一个x，有p(x)成立”

将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表示，则全称命题表示为：第五页，共三十页，2022年，8月28日思考：下列命题是全称命题吗？其真假如何？（1）所有的素数是奇数；（2）x∈R，x2＋1≥1；（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；（4）所有的正方形都是矩形.真假真假第六页，共三十页，2022年，8月28日如何判定一个全称命题的真假？

x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个元素x，都有p(x)成立；

x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一个元素x0，使得p(x0)不成立.第七页，共三十页，2022年，8月28日探究(二)：存在量词的含义和表示

思考：下列各组语句是命题吗？（1）2x＋1＝3；

存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.（2）x能被2和3整除；

至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.（3）|x－1|＜1；

有些x0∈R，使|x0－1|＜1.第八页，共三十页，2022年，8月28日存在量词：

短语“存在一个”“至少有一个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示

如：“有一个”“对某个”“有的”等

第九页，共三十页，2022年，8月28日特称命题：

含有存在量词的命题叫做特称命题如“存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3”

存在M中的元素x0，使p(x0)成立.

思考：符号语言“x0∈M，p(x0)”所表达的数学意义是什么？

第十页，共三十页，2022年，8月28日如何判定一个特称命题的真假？

x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找出一个元素x0，使p(x0)成立；

x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.第十一页，共三十页，2022年，8月28日例1下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.

（1）任意实数的平方都是正数；（2）0乘以任何数都等于0；（3）有的老师既能教中学数学，也能教中学物理；全称命题（假）

全称命题（真）特称命题（真）

第十二页，共三十页，2022年，8月28日思考5：下列命题是特称命题吗？其真假如何？（1）有的平行四边形是菱形；（2）有一个实数x0,使;（3）有一个素数不是奇数；（4）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（5）有些整数只有两个正因数；（6）有些实数的平方小于0.真假真假真假第十三页，共三十页，2022年，8月28日（4）某些三角形的三内角都小于60°；

（5）任何一个实数都有相反数.

特称命题（假）

全称命题（真）第十四页，共三十页，2022年，8月28日小结

1.全称量词是表示“全体”的量词，用符号“

”表示；存在量词是表示“部分”的量词，用符号“

”表示，具体用词没有统一规定.第十五页，共三十页，2022年，8月28日

2.全称命题与特称命题的含义及其一般表示形式

一般表示形式

含义

含有全称量词的命题

特称命题

全称命题

含有存在量词的命题

x∈M,p(x)

x0∈M,p(x0)

第十六页，共三十页，2022年，8月28日

3.判断全称命题与特称命题的真假

假命题

真命题

对任意x∈M都有p(x)成立

存在x0∈M使得p(x0)成立

x0∈M,p(x0)

x∈M,p(x)

存在x0∈M使得p(x0)不成立

对任意x∈Mp(x)不成立

第十七页，共三十页，2022年，8月28日作业：P23练习：1，2.P26习题1.4A组：1，2.第十八页，共三十页，2022年，8月28日含有一个量词的命题的否定第十九页，共三十页，2022年，8月28日探究（一）：全称命题的否定（1）本教室内至少有一名学生不是男生

思考1：你能写出下列命题的否定吗？（1）本教室内所有学生都是男生；（2）所有的平行四边形都是矩形；（3）每一个素数都是奇数；（4）x∈R，x2－2x＋1≥0.（2）有的平行四边形不是矩形

（3）存在一个素数不是奇数

（4）x0∈R，x02－2x0＋1＜0.

第二十页，共三十页，2022年，8月28日思考2：从全称命题与特称命题的类型分析，上述命题与它们的否定在形式上有什么变化？全称命题的否定都变成了特称命题.思考3：一般地，对于含有一个量词的全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定﹁p是什么形式的命题

?

p：x∈M，p(x)

（全称命题）﹁p：x0∈M，﹁p(x0)（特称命题）第二十一页，共三十页，2022年，8月28日探究（二）：特称命题的否定

思考1：你能写出下列命题的否定吗？（1）本节课里有一个人在打瞌睡；（2）有些实数的绝对值是正数；（3）某些平行四边形是菱形；（4）x0∈R，x02＋1＜0;（1）本节课里所有的人都没有瞌睡；（2）所有实数的绝对值都不是正数；（3）每一个平行四边形都不是菱形；（4）x∈R，x2＋1≥0.第二十二页，共三十页，2022年，8月28日思考2：从全称命题与特称命题的类型分析，上述命题与它们的否定在形式上有什么变化？特称命题的否定都变成了全称命题.思考3：一般地，对于含有一个量词的特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p是什么形式的命题

？

p：x0∈M，p(x0)

（特称命题）﹁p：x∈M，﹁p(x)

（全称命题）第二十三页，共三十页，2022年，8月28日理论迁移例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆（3）p：

x∈Z，x2的个位数字不等于3.（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；（3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.第二十四页，共三十页，2022年，8月28日例2写出下列特称命题的否定：（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.第二十五页，共三十页，2022年，8月28日例3

写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都相似（2）p：x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；（1）﹁p：存在两个等边三角形，它们不相似；（2）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2≠0；假命题真命题第二十六页，共三十页，2022年，8月28日（3）p：a∈R,直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0经过某定点；（4）p：k∈R，原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1.（3）﹁p：a0∈R，直线(2a0＋3)x－(3a0－4)y＋a0－7＝0不经过该定点；假命题（4）﹁p：k∈R，原点到直线kx＋2y－1＝0的距离不为1.真命题第二十七页，共三十页，2022年，8月28日（1）所有自然数的平方是正数.（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根.（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y

＞0.（4）有些质数是奇数练习：写出下列命题的否定第二十八页，共三十页，2022年，8月28日1.对含有一个量词的全称命题与特称命题的否定，既要考虑对量词的否定，又要考虑对结论的否定，即要同时否定原命题中的量词和结论.小结作业2.在命题形式上，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，这可以