数学建模最佳选址类问题分析

数学建模最佳选址类问题分析第一页，共十一页，2022年，8月28日

一、问题的提出

如图1，有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂P和Q距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q输水，请你给出一个经济合理的设计方案。8l10Q14P河图1R即找一点R，使R到P、Q及直线l

的距离之和为最小。第二页，共十一页，2022年，8月28日二、提出方案8l10Q14P河图1第三页，共十一页，2022年，8月28日水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|＋|RQ|为最小。方案一：8l10Q14P河图1水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和最小。方案二：8l10Q14P河图2RR第四页，共十一页，2022年，8月28日三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：第五页，共十一页，2022年，8月28日１、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模：作点Q关于直线L的对称点Q'，连PQ'交L于R，则R为所求（如图２）．这样所需直线输水管的总长度为：S(R)＝|PQ'|＝22.72千米。lPQRQ'S第六页，共十一页，2022年，8月28日2、对于方案二PQRQ'这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但求解困难。yxO思路一：图３建立如图３的坐标系，则易得P（0，10）、Q（8，8）设点R(x,y)，则S(R)＝|PR|+|RQ|+|RM|＝ 。第七页，共十一页，2022年，8月28日用判别式法可得S(R)≥21或S(R)≤－3.因为S(R)≥0故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y＝5，于是Q'(,2)PQ'的直线方程为y＝，把y＝5代入得x＝5，故|RP|==10(km),|RQ|==6(km),R到河岸的距离为5(km)。yx如图4，过R作L‘//x轴，则问题转化为在L'上找点R，使RP＋RQ为最小。作Q关于L'的对称点Q'，则S(R)＝|RP|＋|RQ|＋y≥|PQ'|＋y，取这样的R，使S(R)＝|PQ'|＋y则S(R)＝(1)思路二PQRMl'图4Q第八页，共十一页，2022年，8月28日若把|PR|＋|RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆的关系建模。思路三：PQ图5o如图5所示，建立直角坐标系，P、Q为椭圆的焦点，L//L，且L'切椭圆于R，根据题意，易求出直线L为：x－4

y－63＝0

(1)设L'为：x－4

y＋n＝0

(2)yxLLR第九页，共十一页，2022年，8月28日椭圆方程为：(3)联立(2)(3)，化简得(4)

根据L'为椭圆的切线，得△＝0解得：n2＝49（a2－48）。由题意n<0，则n＝－7，所以直线L'为：x－4y－7＝0.所以L'与L的距离为：故输水管的总长度：S(R)＝2a＋9－(5)用△法，可得S(R)≥21或S(R)≤－3，由于S(R)≥0，则S(R)≥21，即S(R)的最小值为21,代入(5),解得a＝8,从而d＝5,进一步可求出|PR|＝10,|PQ|＝6。第十页，共十一页，2022年，8月28日四、论证结论R8l10Q14P河*****方案二更经济