有限脉冲响应滤波器

有限脉冲响应滤波器第一页，共九十一页，2022年，8月28日有限脉冲响应滤波器：finiteimpulseresponsefilter无限脉冲响应滤波器：infiniteimpulseresponsefilter相位失真：phasedistortion理想低通滤波器：idlelowpassfilter窗函数：windowfunction稳定性：stability通带波纹：passbandripple阻带波纹：stopbandripple通带边缘频率:passbandedgefrequency过渡带宽度：transitionwidth矩形窗：RectangularWindow汉宁窗：HanningWindow哈明窗:HammingWindow布莱克曼窗:BlackmanWindow凯塞窗:KaiserWindow项数:numberofterms衰减:attenuation增益:gain采样频率:samplingfrequency

第二页，共九十一页，2022年，8月28日9.1有限脉冲响应滤波器基础

9.1FINITEIMPULSERESPONSEFILTERBASICS有限脉冲滤波器（Finiteimpulseresponsefilters):(非递归滤波器nonrecursivefilters)滤波器的输出只与现在和过去的输入有关,跟过去的输出无关。(它总是在有限长个非0采样值后，输出为0，脉冲响应有限项)差分方程:y[n]=b0+b1x[n-1]+…+bMx[n-M]脉冲响应：h[n]=b0+b1δ[n-1]+…+bMδ[n-M]传输函数:H(z)=b0+b1z-1+…+bMz-M频率响应:H(Ω)=b0+b1e-jΩ+…+bMe-jMΩ

第三页，共九十一页，2022年，8月28日FIR滤波器的设计需要选择系数bk，要得到理想滤波器特征，一般需要100个以上的系数，系数越多，滤波器的滚降(roll-off)越陡峭，滤波器的选择性更好。FIR滤波器的稳定性(stability)H(z)=b0+b1z-1+…+bMz-M=b0zM+b1zM-1+…+bMzM可以看出它的M个极点都在z=0处，在单位圆内，这种形式的滤波器都是稳定的。返回第四页，共九十一页，2022年，8月28日9.2再论滑动平均滤波器

9.2MOVINGAVERAGEFILTERSREVITED它是一个FIR滤波器的一个简单例子，它的脉冲响应有M个非0项。每个高度为1/M，它可以平滑输入信号。M项滑动平均滤波器y[n]=(x[n]+x[n-1]+…+x[n-(M-1)])/M脉冲响应h[n]=(δ[n]+δ[n-1]+…+δ[n-(M-1)])/M第五页，共九十一页，2022年，8月28日5项滑动平均滤波器频率响应H(Ω)=0.2+0.2e-jΩ+0.2e-j2Ω

+0.2e-j3Ω

+0.2e-j4Ω

频率响应见图9.2第六页，共九十一页，2022年，8月28日滑动平均滤波器的特点：1)第一个零点出现在2π/M

弧度2)截止频率（0.707对应的频率)约为第一个零点增益频率的一半π/M

3)项数越多，低通滤波器效果强，滤除高频分量多。返回第七页，共九十一页，2022年，8月28日例：设计滑动平均滤波器，要求它的-3dB频率为480Hz，采样频率为10kHz.第八页，共九十一页，2022年，8月28日

9.3相位失真

9.3PHASEDISTORTION

正弦信号通过线性(linear)滤波器时，它的幅度和相位都要改变。若滤波器在Ω=Ω0

时的增益为|H(Ω0)|，相位差为Θ(Ω0)，则输入为Acos(nΩ0)的信号，输出为A|H(Ω0)|cos(nΩ0+Θ(Ω0))。图9.4给出了输入和输出信号的图形，输出比输入滞后(lagging)三个采样点，此量可设nΩ0+Θ(Ω0)=0

n=-Θ(Ω0)

Ω0n=3Ω0=π/9，则Θ(Ω0)=-π/3第九页，共九十一页，2022年，8月28日图9.4第十页，共九十一页，2022年，8月28日不同的频率分量通过滤波器产生的相位延迟不同，从而产生了相位失真。解决方法：使相位差为频率的线性系数

Θ(Ω)=-KΩ则-Θ(Ω)/Ω相位延迟与频率无关，等于K个采样点。输入的所有频率分量同时出现在滤波器的输出端。设计具有线形相位特点，而没有相位失真的滤波器：关于零点对称的脉冲响应。第十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-6Noncausalimpulseresponse.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第十二页，共九十一页，2022年，8月28日在实际中，所有滤波器为因果（causal)滤波器，而图9.6关于0点对称的脉冲响应是非因果的，(滤波器在有输入之前就有输出了)。要进行时移(shiftedintime)。图9.7。第十三页，共九十一页，2022年，8月28日h[n]=h1[n-M]时移后滤波器频率响应H(Ω)=e-jMΩH1(Ω)写成极坐标H(Ω)=H1(Ω)ej(Θ1(Ω)-MΩ)时移对幅值没有影响，在相位响应里引入了–MΩ，通常H1(Ω)的相位是0，则H(Ω)在通常的相位为–MΩ。（相位随Ω线形变化）此条件保证滤波时不发生相位失真，也就是脉冲响应关于中点对称的滤波器没有失真（奇数项）。第十四页，共九十一页，2022年，8月28日例9.3考察九项滑动平均滤波器，脉冲响应如下：h[n]=(1/9)∑δ[n-k]

8K=0解：因为脉冲响应关于中点对称，所以它的相位响应在通带内随频率线形变化。幅度响应见图9.8。图9.8第十五页，共九十一页，2022年，8月28日通带在图中标出，通带在幅度响应至少为直流幅度响应值的0.707的频率范围。注意通带内相位的线形特征，实际上，相位在许多其他范围也是线形的，只要H(Ω)变号，相位就移动π。这种因果脉冲响应很容易通过下列差分方程实现：y[n]=(1/9)∑x[n-k]

8K=0图9.9返回第十六页，共九十一页，2022年，8月28日9.4逼近理想低通滤波器

9.4APPROXIMATINGANIDLELOWPASSFILTER理想低通滤波器的脉冲响应h1[n]=sin(nΩ1)引入sinc函数sincx=sinx/xx=0时sinc(0)=1x=±nπ时(n≠0)sinc(nπ)=0

1nπ图9.11a第十七页，共九十一页，2022年，8月28日h1[n]=·=sinc(nΩ1)nΩ1sin(nΩ1)Ω1nπnΩ1π

Ω1是滤波器的截止频率(cut-offfrequency)。图9.12理想低通滤波器脉冲响应第十八页，共九十一页，2022年，8月28日从实用来讲，这个脉冲响应要解决两个问题1)它的无限长度，两边响应值较小的部分截止图9.13第十九页，共九十一页，2022年，8月28日2)它的非因果性，时移成为因果性系统图9.14第二十页，共九十一页，2022年，8月28日脉冲响应截断后，滤波器的形状不再是理想矩形图9.15第二十一页，共九十一页，2022年，8月28日

描述非理想滤波器形状的一些参数

δp通带波纹(passbandripple)1-δp

通带边缘增益通带边缘频率fp1

δp

阻带波纹(stopbandripple)，阻带边缘频率fs1过渡带宽度(transitionwidth)带宽(bandwidth)图9.16第二十二页，共九十一页，2022年，8月28日例9.4对于图9.17所示的低通滤波器，确定通带波纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频率、过渡带宽度、带宽、-3dB或截止频率。图9.17第二十三页，共九十一页，2022年，8月28日解：此例中，通带内偏移单位增益的最大量由向上偏移的波纹决定。通带内最大增益为1.0905，所以通带波纹为0.0905，于是通带边缘在增益下降到1-δp=1–0.0905=0.9095的点，通带边缘频率为1060Hz（阻带边缘频率）处首次下降到此值。过渡带宽度为通带和阻带之间的频率差，即1337-1060=277Hz。对于此低通滤波器，-3dB或截止频率点，即增益下降到0.707的频率为1136Hz。该频率也决定了滤波器的带宽，滤波器的带宽也是1136Hz。返回第二十四页，共九十一页，2022年，8月28日9.5窗函数WINDOWS作用：从理想低通脉冲响应h1[n]=的无限采样点中截取有限长个采样点。

h[n]=h1[n]w[n]乘积

sin(nΩ1)nπ第二十五页，共九十一页，2022年，8月28日9.5.1矩形窗Rectangularwindow汉宁窗：w[n]=0.5+0.5cosHanningWindow哈明窗：w[n]=0.54+0.46cosHammingWindow布莱克窗：w[n]=0.42+0.5cos+0.08cosBlackmanWindow凯塞窗：w[n]=KaiserWindow2πnN–12πnN–12πnN–14πnN–1I0[β√1–(2n/(N-1)–1)2]I0[β]第二十六页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-19Impulseresponseforrectangularwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第二十七页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-20Magnituderesponseofrectangularwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第二十八页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-21Filtershapeforfiltermadewithrectangularwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第二十九页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-22ImpulseresponseforHanningwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-23MagnituderesponseforHanningwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-24FiltershapeforfiltermadewithHanningwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十二页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-25ImpulseresponseforHammingwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十三页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-26MagnituderesponseforHammingwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十四页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-27FiltershapeforfiltermadewithHammingwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十五页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-28ImpulseresponseforBlackmanwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十六页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-29MagnituderesponsesforBlackmanwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十七页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-30FiltershapeforfiltermadewithBlackmanwindow.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十八页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-31ImpulseresponseforKaiserwindow,=8.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第三十九页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-32MagnituderesponseforKaiserwindow,=8.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第四十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-33FiltershapeforfiltermadewithKaiserwindow,=8.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第四十一页，共九十一页，2022年，8月28日

I0:零阶修正第一类内塞尔函数，定义为I0(x)=1+∑[]2(x/2)jj!

∞j=0凯塞窗的形状由β参数决定，β可以根据阻带要求计算得出：

β=0.1102A–0.9587（期望的阻带衰减值(attenuation)A(dB)>50dB）第四十二页，共九十一页，2022年，8月28日表9.2选择凯塞窗参数ββ预计阻带实际滤波器阻衰减(dB)带衰减(dB)

5.054566.063647.072728.081819.0909010.099100

返回第四十三页，共九十一页，2022年，8月28日9.6低通滤波器设计

9.6LOWPASSFILTERDESIGN9.6.1设计指南(DesignGuidelines)

表9.3FIR滤波器参数

窗函数|n|≤(N-1)/2窗类型项数N*滤波器阻带衰减(dB)通带边缘增益20log(1-δp)(dB)矩形10.9121-0.9汉宁0.5+0.5cos3.3244-0.06哈明0.54+0.46cos3.4455-0.02布莱克曼0.42+0.5cos5.9875-0.00144πnN-12πnN-12πnN-12πnN-1+0.8cosfsT.W.fsT.W.fsT.W.fsT.W.第四十四页，共九十一页，2022年，8月28日通带边缘增益20log(1-δp)(dB)

窗函数|n|≤(N-1)/2窗类型项数N*滤波器阻带衰减(dB)凯塞4.3364-0.0057I0β√1-2n2N-1I0(β)fsT.W.fsT.W.(β=10)(β=6)5.2581-0.00087fsT.W.(β=8)6.36100-0.000013第四十五页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-34Windowshapeenvelopes(N=101).JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第四十六页，共九十一页，2022年，8月28日低通滤波器通带的边缘频率Ω1要比设计的Ω1小(p246),根据经验，使用过渡带宽的中点频率（它处于通带边缘和阻带边缘间的中点），来作为设计的通带边缘频率。图9.35第四十七页，共九十一页，2022年，8月28日9.6.2低通滤波器的设计步骤

9.6.2StepsforLowPassFIRDesign加窗低通FIR滤波器的设计步骤1.在过渡带宽度的中间，选择通带边缘频率(Hz):f1=所要求的通带边缘频率+(过渡带宽度)/22.计算Ω1=2πf1/fs，并将此值代入理想低通滤波器的脉冲响应h1[n]中：h1[n]=sin(nΩ1)/nπ3.从表9.3中选择满足阻带衰减及其他滤波器要求的窗函数，用表中N的公式计算所需要的非零项数目。选择奇数项，这样脉冲响应可以完全对称，避免了滤波器产生相位失真，对于|n|≤(N-1)/2，计算窗函数w[n]。第四十八页，共九十一页，2022年，8月28日4.对于|n|≤(N-1)/2，从式h[n]=h1[n]w[n]计算（有限）脉冲响应，对于其他n值h[n]=0，此脉冲响应是非因果的。5.将脉冲响应右移(N-1)/2，确保第一个非零值在n=0处，使此低通滤波器为因果的。返回第四十九页，共九十一页，2022年，8月28日例：根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率2kHz阻带边缘频率3kHz阻带衰减40dB采样频率10kHz第五十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-36CausalimpulseresponseforExample9.7.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-37Pole-ZerodiagramandfiltershapeforExample9.7.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十二页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-37Pole-ZerodiagramandfiltershapeforExample9.7.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十三页，共九十一页，2022年，8月28日例：根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率10kHz阻带边缘频率22kHz阻带衰减75dB采样频率50kHz第五十四页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-38CausalimpulseresponseforExample9.8.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十五页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-39FiltershapeforExample9.8.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十六页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-40SpectrumofsignalplusnoiseforExample9.9.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十七页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-41ImpulseresponseforExample9.9.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十八页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-42SpectrumofsignalpulsenoiselowpassfilteringforExample9.9.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第五十九页，共九十一页，2022年，8月28日9.7带通、高通和带阻滤波器

9.7BANDPASSANDHIGHPASSFIRFILTERS

可先设计低通滤波器，再进行频率移位(shiftinginfrequency)获得待求的滤波器。采样会导致双边滤波器响应的频谱镜像出现在采样频率的每个倍数上，这是滤波器形状和一系列脉冲函数在频域里卷积的结果。这种卷积的结果使得每个脉冲函数的位置上都出现滤波器形状的一个副本。这种方法也可用来产生频率移位，将滤波器的低通原型转换为带通或高通滤波器。这样，频域中的单个单位脉冲函数必须位于待求滤波器的中心频率上。脉冲函数与低通滤波器形状的卷积可把双边低通滤波器形状的副本移位到新的位置。第六十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-43One-sidedmagnituderesponseoflowpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第六十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-44Two-sidedmagnituderesponseoflowpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第六十二页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-45Constructionofabandpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第六十三页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-45Constructionofabandpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第六十四页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-45Constructionofabandpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第六十五页，共九十一页，2022年，8月28日因为余弦函数的频谱是一个尖峰，所以脉冲可以通过余弦函数提供。当频域卷积时，时域就是相乘。为了将上一节设计的非因果低通滤波器转换为带通或高通滤波器，低通滤波器的脉冲响应必须与余弦函数相乘：这里选等于双边滤波器形状的待求中心频率。第六十六页，共九十一页，2022年，8月28日设计步骤：低通滤波器设计过程做两个小的修正：1、在第三步和第四步之间，数字频率必须按下式计算：f0是待求滤波器的中心频率，对于带通滤波器，这个中心频率介于0到fs/2之间。对于高通滤波器，此频率应等于奈奎斯特界限fs/2，这样，

第六十七页，共九十一页，2022年，8月28日2、第四步中必须包含因子，脉冲响应计算公式为高通滤波器的脉冲响应计算公式为

第六十八页，共九十一页，2022年，8月28日例：为采样频率为22kHz的系统设计FIR带通滤波器，中心频率为4kHz，通带边缘频率在3.5和4.5kHz。过渡带宽度500Hz，阻带衰减50dB.第六十九页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-46BandpassfilterandlowpassfilterequivalentforExample9.10.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-47BandpassfilterimpulseresponseforExample9.10.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-48FiltershapeofbandpassfilterresponseforExample9.10.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十二页，共九十一页，2022年，8月28日例：需要一个通带边缘频率为8kHz,阻带边缘频率为6kHz的高通滤波器，阻带增益至少比通带增益低40dB,采样频率为22kHz。设计滤波器并给出它的脉冲响应。第七十三页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-49HighpassfilterandequivalentlowpassfilterforExample9.11.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十四页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-50ImpulseresponseofhighpassfilterforExample9.11.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十五页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-51Pole-zeroplotandfiltershapeofhighpassfilterforExample9.11.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十六页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-51Pole-zeroplotandfiltershapeofhighpassfilterforExample9.11.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十七页，共九十一页，2022年，8月28日带阻FIR滤波器只要正确选择了通带边缘频率，通过把低通和高通滤波器结合起来，就可以构造出带阻滤波器。低通滤波器为阻带低端规定了通带边缘频率，同时，高通滤波器为阻带高端设定了通带边缘频率。为了形成带阻特性，低通滤波器的通带边缘频率一定要低于高通滤波器的通带边缘频率。第七十八页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-54Constructingabandstopfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第七十九页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-55Summinglowandhighpassfilterstocreateabandstopfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-56Cascadinglowandhighpassfilterstocreateabandpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十一页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-57Constructingabandpassfilter.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十二页，共九十一页，2022年，8月28日例：图显示了数字电压信号采样值得一部分，采样频率为1kHz。怀疑60Hz的干扰信号对测量结果有影响，设计带阻滤波器以消除这个干扰。第八十三页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-58VoltagesignalforExample9.14.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十四页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-59BandstopfilterforExample9.14.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十五页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-60LowpassfilteroutputforExample9.14.JoyceVandeVegte

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Allrightsreserved.第八十六页，共九十一页，2022年，8月28日FIGURE9-61HighpassfilteroutputforExample9.14.JoyceVandeVegte

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