数字滤波器的设计

数字滤波器的设计第一页，共七十页，2022年，8月28日§7.1概述7.1.1滤波器的分类这里主要讨论经典滤波器的设计。按功能划分经典滤波器又可分为低通、高通、带通、带阻四种滤波器

图7-1理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性第二页，共七十页，2022年，8月28日经典滤波器设计从实现方法上分为IIR滤波器和FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如果滤波器用单位脉冲响应序列表示，其输入与输出之间的关系可以表示为：

的Z变换称为系统函数。IIR滤波器和FIR滤波器的系统函数分别是：第三页，共七十页，2022年，8月28日7.1.2数字滤波器的性能要求一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。δ1

：通带衰减δ2

：阻带衰减ωc

：通带截止频率ωst：阻带截止频率ωc

－ωst

：过渡带

第四页，共七十页，2022年，8月28日ωωstωc图7-2逼近理想低通滤波器得容限图通带最大衰减。第五页，共七十页，2022年，8月28日当幅度下降到，，此时，称为3dB通带截止频率。阻带最小衰减第六页，共七十页，2022年，8月28日7.1.3数字滤波器设计方法概述

设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1.模拟滤波器:首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。第七页，共七十页，2022年，8月28日7.2无限脉冲响应数字滤波器的设计1.设计的一般方法IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟/数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法。

第八页，共七十页，2022年，8月28日图7-3IIR滤波器的设计流程2.巴特沃思低通滤波器（1）基本性质巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。

第九页，共七十页，2022年，8月28日(7.2.1).下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征

a.对所有的N，。

巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示b.

对所有的N，

即c.是的单调下降函数。d.随着阶次N的增大而更接近于理想低通滤波器。第十页，共七十页，2022年，8月28日如图7-4，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。

图7-4巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数第十一页，共七十页，2022年，8月28日在以后的设计和分析时，经常用归一化巴特沃思低通滤波器为原型滤波器，一旦归一化低通滤波器的系统函数确定后，其它巴特沃思低通滤波、高通、带通、带阻滤波器的传递函数都可以通过变换法从归一化低通原型的传递函数得到。归一化原型滤波器是指截止频率已经归一化成的低通滤波器。对于截止频率为某个的低通滤波器，则令代替归一化原型滤波器系统函数中的，即对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的频带变换法，由其变换得出。

第十二页，共七十页，2022年，8月28日(2)系统函数和极点分布设巴特沃斯的系统函数，则频率响应是

令上式分母为零可以得到的2N个极点Sk

并解得当N为偶数时则

第十三页，共七十页，2022年，8月28日N为奇数：

的极点均匀分布在s平面的单位圆上，共有2N个角度间隔为/N的极点，极点关于j轴对称，不会落在虚轴上。将左半平面的极点构成。(3)设计过程巴特沃思低通滤波技术指标关系式为

；

为通带边界频率

；

为阻带边界频率第十四页，共七十页，2022年，8月28日代入（7.2.1）化简后得

两式相比消去后得由此得取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。

第十五页，共七十页，2022年，8月28日将N带入式（7.2.4）或式(7.2.5)可得截止频率

或

查表求得归一化传输函数

,令代替归一化原型滤波器系统函数中的,

即代入，即得到实际滤波器传输函数。例7.1设计一巴特沃思低通滤波器，使其满足以下指标:通带边频,通带的最大衰减为，阻带边频为,阻带的最小衰减为。第十六页，共七十页，2022年，8月28日解:滤波器技术指标为

，，,确定阶次N，代入式（7.2.6）

取N=4

查表得四阶巴特沃思多项式，得归一化系统函数表

达式由式（7.2.7）得用

替换式（7.2.8）中的s，构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为

第十七页，共七十页，2022年，8月28日3.切比雪夫I滤波器切比雪夫I型滤波器的幅度平方函数为

（1）基本性质

是N阶切比雪夫多项式，定义为

第十八页，共七十页，2022年，8月28日N=0，C0(x)=1N=1,C1(x)=xN=2,C2(x)=2x2-1=2xC1(x)-C0(x)迭代公式：CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x)N>1N=偶数，CN(x)为偶函数N=奇数，CN(x)为奇函数第十九页，共七十页，2022年，8月28日切比雪夫多项式曲线1-1xCN(x)11)x:[0,1]设：=Ncos-1x,x:01N=0,=0C0(x):1N=1,:/20,C1(x):01N=2,:/20,C2(x):-101N=3,:3/20,C2(x):0-101N=4,:20,C2(x):10-1012)x:[1,)

x

ch(ch-1x)第二十页，共七十页，2022年，8月28日x=0,N=even,|CN(0)|=1,N=odd,CN(0)=0x=1,CN(1)=1|x|≤1,CN(x)在[-1,+1]之间波动，N增加，波动次数增加|x|>1,CN(x)单调上升，N增加，上升速度增加。第二十一页，共七十页，2022年，8月28日N=3N=41Ωc1/(1+2)第二十二页，共七十页，2022年，8月28日切比雪夫滤波器的幅频响应有如下特点：1)0<

<时，在1与之间等幅波动，越大，波动幅度越大。

2)＝0时，当N为奇数，则

＝1，当N为偶数，则。

3)＝时，对所有的N值，都取同样的值。

4)>

时，曲线单调下降,越大，N越大，曲线衰减越快。第二十三页，共七十页，2022年，8月28日(2)设计过程

1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数和阶数N。由允许的通带波纹确定。则

滤波器的阶数N由阻带允许的衰减确定。2)查表求得归一化传输函数

,令代替归一化原型滤波器系统函数中的，即得到实际滤波器传输函数。第二十四页，共七十页，2022年，8月28日1.变换原理

数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期.如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即数字滤波器的系统函数便是的Z变换。

脉冲响应不变法(ImpulseInvariance

)下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器S平面和Z平面之间的映射关系。

第二十五页，共七十页，2022年，8月28日设抽样信号抽样信号的拉氏变换序列h(n)的z变换第二十六页，共七十页，2022年，8月28日jS/2-S/23S/2ImZReZ第二十七页，共七十页，2022年，8月28日第二十八页，共七十页，2022年，8月28日第二十九页，共七十页，2022年，8月28日(2)抽样信号与原信号关系第三十页，共七十页，2022年，8月28日2.混叠失真利用抽样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得由采样定律可知，如果模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率以内这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率以内）第三十一页，共七十页，2022年，8月28日但任何一个实际的模拟滤波器，其频率响应都不可能是严格带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即产生频率响应的混叠失真。

原模拟信号的频带不是限于之间，则会在的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到Z平面上，附近产生频率混叠。这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在附近的频率特性，程度不同的偏离模拟滤波器在附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。

第三十二页，共七十页，2022年，8月28日解决混叠的方法：1)滤波器指标以模拟域形式给出，此时已确定，采样频率T增加，混叠减小。未确定，但已定，采样频率增加，为保证不变，必有增加，增加滤波器的阶数N，混叠2)滤波器指标以数字域形式给出，此时减小。第三十三页，共七十页，2022年，8月28日设模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式其拉氏反变换为

是单位阶跃函数，对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列3.数字化设计第三十四页，共七十页，2022年，8月28日再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数第二个求和为等比级数之和，要收敛的话

必有所以

第三十五页，共七十页，2022年，8月28日例7.2IIR低通滤波器的设计指标如下：1）通带截止频率ωP＝0.1πrad，

阻带起始频率ωs＝0.25πrad2）通带最大衰减αp=3dB，

阻带最小衰减αs=15dB4.设计举例解：1)根据DF指标,将DF指标转换为归一化LPF指标第三十六页，共七十页，2022年，8月28日2)根据归一化LPF指标,查表求Ha(S)^3)将Ha(S)化成部分分式之和^第三十七页，共七十页，2022年，8月28日4)求H(z)第三十八页，共七十页，2022年，8月28日双线性变换法（BilinearTransform)1.变换原理

s平面到z平面的映射关系二次映射法

为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的到一段上，可通过以下的正切变换实现：

（7.2.11）这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C。

第三十九页，共七十页，2022年，8月28日

当由时,由经过０变化到，即S平面的整个轴被压缩到S1平面的一段.式（7.2.11）又可以写成将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1平面的映射关系：再将S1

平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令第四十页，共七十页，2022年，8月28日从而得到s平面与z平面的单值映射关系

(7.2.12)第四十一页，共七十页，2022年，8月28日2.变换常数的选择式（）中常数的选择可以使模拟滤波器的频响特性和数字滤波器的频响特性在不同的频率范围有对应的关系，起到调节二者频带间关系的作用。选择的方法有两种。

1)使模拟滤波器和数字滤波器的频响特性在低频部分有较确切的对应关系，即当较小时，有由此得

2)使数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率与模拟原型滤波器的特定频率严格对应，即第四十二页，共七十页，2022年，8月28日由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频率响应应严格相等，因而可以较准确的控制截止频率位置。

第四十三页，共七十页，2022年，8月28日第四十四页，共七十页，2022年，8月28日j1j1S/2-S/2ImZReZ第四十五页，共七十页，2022年，8月28日3.模拟角频率Ω和数字角频率ω的映射关系Ha(j)2第四十六页，共七十页，2022年，8月28日第四十七页，共七十页，2022年，8月28日总结计算H(Z)步骤如下：设给定数字低通滤波器的通带截止频率、阻带截止频率、通带波动和阻带波动。(1)利用公式对通带和阻带截止频率和进行预畸变，求出模拟低通滤波器的通带和阻带截止频率和。预畸变函数式为(2)求满足指标、、和要求的模拟低通滤波器的传输函数。(3)利用双线性变换公式将映射成4.数字化设计

第四十八页，共七十页，2022年，8月28日例7.3设计IIR滤波器代替如下性能的模拟LPF:1)fp=50Hzfs=125Hz2)αp≤3dB,αs≥15dB3)采样频率f=1kHz解:1)用脉冲响应不变法;2)双线性变换法第四十九页，共七十页，2022年，8月28日第五十页，共七十页，2022年，8月28日第五十一页，共七十页，2022年，8月28日第五十二页，共七十页，2022年，8月28日(3)数字带通的设计a.思路:归一化LPF→模拟BPF→数字BPF第五十三页，共七十页，2022年，8月28日将代入上式第五十四页，共七十页，2022年，8月28日第五十五页，共七十页，2022年，8月28日第五十六页，共七十页，2022年，8月28日第五十七页，共七十页，2022年，8月28日归一化LPF指标为：第五十八页，共七十页，2022年，8月28日

前面我们学习了模拟低通滤波器，数字低通滤波器的设计，对于数字高通和带阻的设计，可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的模拟滤波器，再通过双线性变换将其换算成所需类型的数字滤波器。1.高通滤波器和分别是低通的归一化通带截止频率和归一化阻带截止频率，和

分别是高通的归一化通带下限频率和归一化阻带上限频率。7.2.4数字高通、带通和带阻滤波器设计第五十九页，共七十页，2022年，8月28日低通的从经过和到0时，高通的则从0经过和到，因此和之间关系为，即是低通到高通的频率变换公式。

第六十页，共七十页，2022年，8月28日总结步骤为：(1)确定数字高通滤波器的技术指标、。(2)将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的技术指标、，转换公式为。(3)利用频率变换将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器的技术指标。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通滤波器通过频率转换转换成模拟高通滤波器，并去归一化后得。

第六十一页，共七十页，2022年，8月28日(6)采用双线性变换，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器.2.带通滤波器

、分别是模拟带通滤波器通带的下限和上限频率，是下阻带的上限频率，是上阻带的下限频率，令为通带带宽，用B做为归一化参考频率，第六十二页，共七十页，2022年，8月28日令为通带的中心频率，归一化

可以找到

和的转换关系。第六十三页，共七十页，2022年，8月28日,，