数学物理方程 分离变量法

数学物理方程分离变量法第一页，共八十九页，2022年，8月28日

分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题

2.1特征值问题2.1.1矩阵的特征值问题

矩阵的特征值问题

设A为一n阶实矩阵，其特征值满足一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n个。任意n阶矩阵都有n个线性无关的广义特征向量，以此n个线性无关的广义特征向第二页，共八十九页，2022年，8月28日

量作为的一个新基，矩阵就能够化为

约当标准型。

实对称矩阵对角化

若A为一n阶实对称矩阵，存在正交阵T使得其中为实对角阵。设则（2）可以有如下形式或可以看出，正交阵T的每一列都是实对称阵A的特征向量，并且这nn个特征向量是相互正交的。

定理1n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。第三页，共八十九页，2022年，8月28日

特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，

下面举例说明。

为简化问题，下面例子中，假设A为n阶非奇异阵，且有n个线性无关的向量。

例1设，求解线性方程组解A的n个线性无关的特征向量可以作为的一个基。将x，b按此基展开为，则等价于或第四页，共八十九页，2022年，8月28日由于线性无关，比较系数有则为原问题的解。

例2设求解非齐次常微分方程组其中为已知向量函数，解和例1相似，将按基分别展开第五页，共八十九页，2022年，8月28日则（4）等价于化为n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题实对称矩阵A换为二阶微分算子A，一般取第六页，共八十九页，2022年，8月28日下面讨论二阶线性微分算子的特征值问题。边界条件，设是A的特征函数，即且满足等价于对此特征值问题求解。首先证明非负。因为第七页，共八十九页，2022年，8月28日积分得第一项分部积分，得故有第八页，共八十九页，2022年，8月28日当时，方程的通解为，利用边界条件可得因此，不是特征值。当时，方程的通解为利用边界条件，确定常数即有所以第九页，共八十九页，2022年，8月28日所以，可得故，特征值问题（7）的解为第十页，共八十九页，2022年，8月28日

2.2分离变量法

对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：

假设：标准形式的解有下列分离的形式其中分别是单个变量的二次可微函数。第十一页，共八十九页，2022年，8月28日代入标准形式即有讨论:1.常系数偏微分方程若（*）的系数均为常数，并分别用小写的

代表，将方程两边同除以XY,则第十二页，共八十九页，2022年，8月28日1.常系数偏微分方程讨论:若原方程的系数均为常数，并分别用小写的

代表，将方程两边同除以XY,则第十三页，共八十九页，2022年，8月28日要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程对于变系数函数

，假设存在某一个函数

，使得方程除以后变为可分离的形式第十四页，共八十九页，2022年，8月28日上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离

需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离．但对于变系数的二阶偏微分齐次方程第十五页，共八十九页，2022年，8月28日第一类边界条件第二类边界条件边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的

三类边界条件为第三类边界条件第十六页，共八十九页，2022年，8月28日假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．求定解问题的不恒等于零的解须因此得第十七页，共八十九页，2022年，8月28日例1

求解两端固定弦振动方程的混合问题泛定方程：边界条件：初始条件：对于确定的频率，解是驻波：波腹波节每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化驻波解：这是解的分离变量182.2.1齐次边界弦振动方程定解问题第十八页，共八十九页，2022年，8月28日解分四步求解第一步分离变量，求解特征值问题。即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问题的特征值问题并求解。令，带入到对应的齐次方程中得到或左右只能为常数，记为，则有由第一个方程可得第十九页，共八十九页，2022年，8月28日由齐次边界条件即又不恒等于0，可得第一个问题可以化为其解为特征值特征函数第二十页，共八十九页，2022年，8月28日第二步正交分解过程。即将初始条件函数，自由项以及u(x,t)用特征函数系表出。这里第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日而下面来求。第三步待定系数法。即先将的级数带入原方程中，导出关于满足的的常微分方程。再利用初值条件求的初始条件。假设可逐项求导，并将第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日带入泛定方程中，可得即比较系数有第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日由令t=0，有比较系数，有同理比较系数，有第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日所以有第四步求解上面的定解问题，结果代入对齐次方程其通解为第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日对应的非齐次方程利用常数变易法，其解具有这样的形式第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日由初始条件代入上面的式子，可得第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日代入可得又第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日所以第三十页，共八十九页，2022年，8月28日（4）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）注1分离变量法概要：（1）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3）将特征解叠加无穷级数，给出通解31注2

对齐次问题第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日记令则简谐波在弦上固定一点x，则表述了一个振幅为，频率为，初相位为的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日如下的显著特点：第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日例2

设有一均匀细弦，其线密度为，若端为自由端，端固定。初始速度和初始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为。求此弦的振动。

解所求问题为利用特征函数法求解该问题。情形1非共振问题，即该定解问题的特征值问题为第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日当时，方程的通解为利用初始条件，求的其解为将按特征函数展开成傅里叶级数，即第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日令则有比较系数有第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日得满足得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为留给同学们计算。第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日情形2共振问题，即存在使得不妨假设此时，在情形1中求解所得到的不变。当时，要求解以下问题其齐次方程通解为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为，而求以下问题的一个特解第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日令并带入到上面的非齐次方程，可得，所以有取其虚部为原方程的一个特解所以，原方程的通解为由初始条件确定，可得代入第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日第四十页，共八十九页，2022年，8月28日例3设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日解：例4

求下列定解问题第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日初始条件第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日若l=1,a=10时的震动。第五十页，共八十九页，2022年，8月28日例5

求下列定解问题解：第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日例6

求下列定解问题令带入方程：解：第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日2.2.2热传导方程定解问题例7

求解下面的热传导方程定解问题

解利用特征函数法求解首先将边界条件齐次化，取记，则原方程转化为第六十页，共八十九页，2022年，8月28日利用变量分离法，解上面的方程令可得特征值问题特征值和特征函数分别为将分别按展开成傅里叶级数第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日其中又其中令代入第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日可得所以又因为t=0时有第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日所以，有此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为令，代入上面方程，确定系数得方程通解为用初值条件，可得第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日则有又由第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日则第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日例8：细杆热传导。初始均匀温度为，保持一端温度不变，另一端有恒定热流流入。第一类边界条件第二类边界条件非齐次(不为零)边界条件,无法直接根据边界条件确定本征函数解＝齐次边界条件的通解＋非齐次边界条件的特解非齐次边界条件的特解：齐次边界条件的通解:67第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日初始条件:分离变量:和68第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留

k=0项。69第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数

k=1,2,3…

k=0,1,2,3…

70k=0,1,2,3…

k=0,1,2,3…

第七十页，共八十九页，2022年，8月28日2.2.3平面上位势方程定解问题考虑矩形区域上的Poisson方程边值问题假设或。否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于x具有齐次边界条件，而另一个关于y具有齐次边界条件。例9

求解Dirichlet问题第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日

解令，代入上面方程的齐次形式，可得可得和第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日是的特征值问题，其解为将代入，有该齐次方程有两个线性无关的解，由于第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为由所以第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日所以所以，原方程的解为其中第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日非齐次方程特解法设定待求拉普拉斯方程例10:圆域76第七十六页，共八十九页，2022年，8月28日边界条件令77第七十七页，共八十九页，2022年，8月28日例11：78第七十八页，共八十九页，2022年，8月28日的联立代数方程79第七十九页，共八十九页，2022年，8月28日例11：求下面扇形域上Dirilet定解问题

解

令，则上式化为令代入上面方程，并结合边界条件，有第八十页，共八十九页，2022年，8月28日（1）便是极坐标方程的特征值问题求解特征值问题（1）可得代入（2），有由于求的是有界解，所以有第八十一页，共八十九页，2022年，8月28日所以有利用边界条件有比较系数有所以有则第八十二页，共八十九页，2022年，8月28日例12

求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：第八十三页，共八十九页，2022年，8月28日第八十四页，共八十九页，2022年，8月28日第八十五页，共八十九页，2022年，8月28日第八十六页，共八十九页，2022年，8月28日2.边界条件齐次或周期边界条件？

若否:①令u=v+w(x,t)

，选w,使v满足齐次边界,转3

或②令u=v+w(x)，使v

满足齐次方程齐次边界,转4①令u(