数学问题杂谈

数学问题杂谈2023/2/251高等应用数学问题的MATLAB求解MATLAB语言与应用东北大学信息学院第一页，共六十五页，2022年，8月28日主要内容自适应控制系统设计模糊控制及模糊控制器设计神经网络及神经网络控制器设计基于遗传算法的最优控制器设计第二页，共六十五页，2022年，8月28日8.1

自适应控制系统设计自校正调节(selftuningregulator，STR)模型参考自适应控制系统

(modelreferenceadaptivesystem，MRAS)两大类常用的自适应控制第三页，共六十五页，2022年，8月28日控制原理图自校正调节器第四页，共六十五页，2022年，8月28日模型参考自适应系统第五页，共六十五页，2022年，8月28日

模型参考自适应系统的

设计与仿真假设2阶连续线性系统的数学模型为模型参考自适应系统的框图第六页，共六十五页，2022年，8月28日建立模型参考自适应系统的Simulink模型第七页，共六十五页，2022年，8月28日将对象模型的一阶环节模型由原来的改写成，系统参数选择控制器参数，取输入信号为方波信号且其幅值为10,频率为1，并将仿真范围设置为0~15秒，进一步调整系统模型的参数，使之在0.02,0.1,1,2,5,10的范围内变化，进行仿真:第八页，共六十五页，2022年，8月28日第九页，共六十五页，2022年，8月28日当时第十页，共六十五页，2022年，8月28日8.1.2自校正控制器设计与仿真

Diophantine方程及其求解Diophantine方程第十一页，共六十五页，2022年，8月28日该方程的矩阵形式第十二页，共六十五页，2022年，8月28日用MATLAB语言编写的求解通用函数第十三页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-1】已知某Diophantine方程中试求解该方程。第十四页，共六十五页，2022年，8月28日提前d步预测其中使得预测误差的方差为最小的提前d步预测信号满足下面的方程假设在第t时刻所有可以测出的输入输出数据为则由这些数据对t+d时刻的输出进行预测，称提前d步预测，记第十五页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-2】已知某系统的离散模型为

试求出提前两步的预测模型。第十六页，共六十五页，2022年，8月28日提前两步预报的仿真模型设信号发生器给出的是幅值为4的方波信号，采样周期T=0.01秒，随机白噪声均值为0，方差为1第十七页，共六十五页，2022年，8月28日最小方差控制器设计最小方差控制律为若，则最小方差控制问题退化成最小方差的调节问题，调节器的自适应律可以简化成该控制律适用于最小相位系统的自校正调节第十八页，共六十五页，2022年，8月28日自适应控制律其中第十九页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-3】假设，遗忘因子选择为，设定值选择为，对自校正系统进行仿真。第二十页，共六十五页，2022年，8月28日8.1.3广义预测控制系统与仿真广义预测控制(generalpredictivecontrol，GPC)广义预测控制研究的受控对象模型为广义预测控制的性能指标为第二十一页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-4】假设受控对象模型为用广义预测控制的方式进行控制。第二十二页，共六十五页，2022年，8月28日8.2

模糊控制及模糊控制器设计样条插值的MATLAB表示基于样条插值的数值微积分运算第二十三页，共六十五页，2022年，8月28日8.2.1模糊逻辑与模糊推理构建模糊推理系统的数据结构添加系统的输入和输出变量第二十四页，共六十五页，2022年，8月28日把新生成的规则矩阵R，补加到模糊推理系统fis

原有规则后模糊推理问题求解解模糊化第二十五页，共六十五页，2022年，8月28日8.2.2模糊PD

控制器设计

模糊PD控制器控制框图第二十六页，共六十五页，2022年，8月28日8段模糊子集示意图

PD控制器模糊逻辑第二十七页，共六十五页，2022年，8月28日建立模糊推理系统模型的步骤：启动界面在命令窗口中输入fuzzy启动系统界面。信号设定由菜单项Edit–AddVariable–Input添加一路输入信号，建立本模糊推理模型需要的双路输入。修改信号的变量名为e,ed和u。隶属函数设置

双击界面上的输入段e图标，显示默认的三段模糊子集及隶属度函数曲线。单击Edit菜单，选择RemoveAllMFs菜单删除默认的所有隶属度函数。第二十八页，共六十五页，2022年，8月28日编辑模糊推理系统选择Edit–Rules菜单项，由Addrule添加规则，用Changerule修改规则。建立起模糊推理规则后，由View–Rules和View–Surface菜单项得出规则显示图形。模糊推理系统的存储选择File-Export菜单项将建立起来的模糊推理系统存成*.fis文件或存成MATLAB工作空间中的变量。第二十九页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-5】第三十页，共六十五页，2022年，8月28日8.2.3模糊PID

控制器设计模糊逻辑整定PID控制器的表达式为其中，为校正速度量第三十一页，共六十五页，2022年，8月28日计算控制量第三十二页，共六十五页，2022年，8月28日模糊PID控制器控制框图第三十三页，共六十五页，2022年，8月28日

模糊PID控制器结构第三十四页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-6】对系统进行仿真第三十五页，共六十五页，2022年，8月28日8.3

神经网络及神经网络

控制器设计神经网络简介基于单个神经元的PID控制器设计基于反向传播神经网络的PID控制器基于径向基函数的神经网络的PID控制器第三十六页，共六十五页，2022年，8月28日8.3.1神经网络简介

神经元的基本结构第三十七页，共六十五页，2022年，8月28日神经元的基本结构第三十八页，共六十五页，2022年，8月28日8.3.2基于单个神经元的

PID

控制器设计基于单个神经元的PID控制器框图第三十九页，共六十五页，2022年，8月28日,归一化权值微积分模块计算量：三个权值的更新规则：控制率为第四十页，共六十五页，2022年，8月28日基于单个神经元的PID控制器模块框图第四十一页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-7】对受控对象

利用单神经元PID控制器模块进行仿真计算第四十二页，共六十五页，2022年，8月28日8.3.3基于反向传播神经网络的

PID

控制器BP网PID控制器仿真结构第四十三页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-8】受控对象采样周期T=0.001秒非线性受控对象第四十四页，共六十五页，2022年，8月28日系统仿真框图第四十五页，共六十五页，2022年，8月28日8.3.4基于径向基函数的神经网络

的PID控制器

径向基函数PID控制器仿真结构第四十六页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-9】非线性受控对象第四十七页，共六十五页，2022年，8月28日系统仿真框图第四十八页，共六十五页，2022年，8月28日8.4

基于遗传算法的最优

控制器设计遗传算法简介基于遗传算法的最优化问题求解基于遗传算法的最优控制问题求解第四十九页，共六十五页，2022年，8月28日8.4.1遗传算法简介简单遗传算法的一般步骤为：

选择N个个体构成初始种群，并求出种群内各个个体的函数值。染色体可以用二进制数组表示，也可以用实数数组来表示，种群可以由随机数生成函数建立。其实使用遗传算法求解函数gaopt()，则会自动生成所需的初始种群。设置代数为i=1，即设置其为第1代。第五十页，共六十五页，2022年，8月28日计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个体的方式。遗传算法最优化工具箱提供了3个选择函数，其中roulette()实现了轮盘选择算法，normGeomSelect()函数实现了归一化几何选择方法，tournSelect()实现了锦标赛形式的选择方式，normGeomSelect()函数为默认选择函数。第五十一页，共六十五页，2022年，8月28日通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群，其中复制、交叉和变异都有相应的MATLAB函数，gaopt()函数选择其中默认的方法进行这样的处理，构成新的种群。

i=i+1，若终止条件不满足，则转移到步骤③继续进化处理。第五十二页，共六十五页，2022年，8月28日和传统最优化算法比较，遗传算法的主要不同点：

不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法。遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索，但遗传算法需要指定各个自变量的范围，而不像最优化工具箱中可以使用无穷区间的概念。第五十三页，共六十五页，2022年，8月28日遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索，而只由目标函数和对应于目标函数的适应度水平来确定搜索的方向。遗传算法采用的是概率性规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，有时甚至会有较大的差异。第五十四页，共六十五页，2022年，8月28日8.4.2基于遗传算法的最优化

问题求解第五十五页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-10】第五十六页，共六十五页，2022年，8月28日编写一个描述目标函数的文件：第五十七页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-11】试用遗传算法求解下面的线性规划问题用MATLAB函数描述目标函数第五十八页，共六十五页，2022年，8月28日第五十九页，共六十五页，2022年，8月28日8.4.3基于遗传算法的最优

控制问题求解【例8-12】第六十页，共六十五页，2022年，8月28日用MATLAB函数来描述此最优化问题的目标函数第六十一页，共六十五页，2022年，8月28日【例8-13】模糊PD控制的寻优第六十二页，共六十五页，2022年，8月28日常规PD控制的寻优第六十三页，共六十五页，2022年，8月28日8.5本章要点简介模型参考自适应控制系统与自校正调节器系统，一种常用的模型参考自适应控制系统的仿真方法，以及最小方差自校正调节器的设计与仿真、广义预测自适应控制器的设计与仿真等方面的内容，并给出了仿真程序。模糊逻辑的基本概念，模糊