沪科版21.4二次函数的应用4

21.4二次函数的应用教学目标：1、经历数学建模的基本过程。2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点二次函数在最优化问题中的应用教学难点从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解教学过程一、创设问题情境，引入新课由21.1节的问题1引入例1:在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。二、讲授新课在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10,100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100(m2)。所以，当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m2。总结得出解这类题的一般步骤：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。三、例题讲解1 2P36例3:上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h=vot—2gt,其中h是物体上升的高度，vo是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g=10m/s2,t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。(1)问排球上升的最大高度是多少？(2)已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？(精确到0.1s)。分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线， 这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题，配方得到h=-5(t-1)2+5，抛物线开口向下，顶点坐标(1,5),所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5,求出方程h=10t-5t2的解，t产0.3(s),t2=1.7(s)0在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。四、课堂练习课本P34练习1、2;P38练习1五、课堂小结本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。六、布置作业习题21.4第2、3题。第二课时(抛物线型问题)教学目标1、通过图形之间的关系列出函数解析式2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题教学重点：用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题教学难点通过图形之间的关系列出函数解析式教学过程、创设情景欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。（挂图展示）、新课教学【例题讲解】课本P34例2:如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m］两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；（2）计算距离桥两端主塔分别为100m50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）(450.8L5)————r-45(1 0450」分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的

顶点为（0,0.5）,且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5,再将

（450,81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5,将（450,81.5）代入，得81.5=a?4502+0.5解方程，得a鼻工TOC\o"1-5"\h\z4522 502因而，所求抛物线的函数关系式为y工x20.5（-450<x<450）。502(2)当x=450-100=350(m)时，得1cc2c c,、y-235020.549.5(m);502当x=450-50=400(mj)时，得1 2y—240020.564.5(m)。502因而，距离桥两端主塔分别为100m50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、

64.5m。例：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1：11000的比例图上，跨度A况5cm,拱高OO0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB.如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二).(-)。(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；(2)如果DE与AB的距离0阵0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长.(备用数据："=1.4,结果精确到1米)解：(1)由图(二)建立坐标系，可知C(0,0.9),A(—2.5,0),B(2.5,0).设函数表达式为y=a(x—2.5)(x+2.5),将(0,0.9)代入，得0.9=—6.25a18a- 125因而，所求函数关系式为y=^8-(x—2.5)(x+2.5)=—也x2+旦(-2.5<x<2.5)TOC\o"1-5"\h\z125 125 10vDE的纵坐标为0.45=2，20.・包一也x2+a得x=±刍区20 125 10 4.二点D的坐标为(一勺*;'2,且)，点E的坐标为(也V2,—).4 20 4 20DE=5V2—(—:72)=!<(2.因此卢浦大桥拱内实际桥长为5V2X11000X0.01=275V2=385(米)。三、课堂练习课本P35练习1、2四、课堂小结本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式， 以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题五、作业布置习题21.4第5、6题第三课时（生活中的二次函数）教学目标学会利用二次函数解决实际问题教学重、难点利用二次函数解决实际问题教学过程一、创设情境、引入新课上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题二、例题讲解课本P37例4:行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：制动时车速/km?h01020304050制动距离/m00.31.02.13.65.5现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据， 为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。解：（1）以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图y/irn\8-74•5-■A31・■I- •O1020sb4（＞5060TOSOrAm'h'（2）观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此,y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设2

y=ax+bx+c在已知数据中，任选三组，如取（0,0）、（10,0.3）、（20,1.0）分别0c代入所设函数关系式，得0.3100a10bc1.0400a20bca0.002解方程组，得 b0.01c0因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x（3）把y=46.5m代入函数关系式，得46.5=0.002x2+0.01x解方程，得x1=150（km/h）,x2=-155（