2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-3)：第2章章末综合测评Word版含答案

章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【解析】甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．31所以所求概率P＝＝.931【答案】32．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010则T的数学期望E(T)＝________.【解析】由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．【答案】32分钟1115343．甲、乙、丙三人独立去破译地一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为________．1112【解析】三人都不能译出密码的概率为P＝1－1－1－＝，故三人能破译密码53452355的概率是1－P＝1－＝.3【答案】54．已知X～N(0,1)，则P(－1＜X＜2)＝________.【解析】∵P(－1＜X＜1)＝0.683，P(－2＜X＜2)＝0.954，1∴P(1＜X＜2)＝(0.954－0.683)＝0.1355.2∴P(－1＜X＜2)＝0.683＋0.135＝50.8185.【答案】0.818515．已知随机变量X～B6，，则V(2X＋1)＝________.【导学号：29440064】2【解析】V(2X＋1)＝22×V(X)＝4V(X)，11322232V(X)＝6××1－＝，∴V(2X＋1)＝4×＝6.【答案】66．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨．他第一次失败，第二次成功的概率是________．【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为109×91＝101.1【答案】1017．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝，则n＝________，V(X)7＝________.1【解析】∵E(X)＝np＝3，p＝，∴n＝21，71118并且V(X)＝np(1－p)＝21××1－＝.77718【答案】2178．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，2所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.32【答案】39．一个袋子装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为C13C126P(X＝0)＝C03C22C25＝101，P(X＝1)＝＝，C2510C23C023P(X＝2)＝＝.C25101636E(X)＝0×＋1×＋2×＝.1010105法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N＝5，M＝3，n＝2的超几何分布，所以nM6E(X)＝＝.N56【答案】510．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f(x)＝x，f(x)＝x12，f(x)＝x3，f(x)＝sinx，f(x)＝cos2345x，f(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，6则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为________．【解析】由于f(x)，f(x)，f(x)为偶函数，f(x)，f(x)，f(x)为奇函数，所以随机变量ξ256134可取1,2,3,4.C13C133P(ξ＝1)＝C13C16＝21，P(ξ＝2)＝＝，C16C1510C13C12C133C13C12C11C131＝，P(ξ＝4)＝＝.C16C15C14C1320P(ξ＝3)＝C16C15C1420所以ξ的概率分布为ξ12343113210P202013317E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.210202047【答案】411.将一个半径适当的小球放入如图1所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍1物时，向左、右两下边落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．2图11111【解析】小球落入B袋中的概率为P1＝×××2＝，∴小球落入A袋中的概率为P22243＝1－P1＝.434【答案】12．某一部件由三个电子元件按图2方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,50)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过12000小时的概率为________．图2【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得：三个电子元件的使1用寿命超过1000小时的概率为p＝.超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1＝123438－(1－p)＝，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝.238【答案】13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：3①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；54②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；3③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率2为；526④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.27其中所有正确结论的序号是________.【导学号：29440065】【解析】①恰有一个白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球2224次数X～B6，，其方差为6××1－＝，故②正确；3333③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．4×322则P(A)＝，P(AB)＝＝，36×55∴P(B|A)＝错误!＝错误!，故③错；2④每次取到红球的概率P＝，3所以至少有一次取到红球的概率为2261－1－＝，3327故④正确．【答案】①②④14．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ(i＝1,2)；i(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则下列比较正确的序号是________．①p1>p2，E(ξ)<E(ξ)；②p<p，E(ξ)>E(ξ)；121212③p1>p2，E(ξ)>E(ξ)；④p<p，E(ξ)<E(ξ)．121212【解析】随机变量ξ，ξ的分布列如下：12ξ1n21mPm＋nm＋nξ1232C2nC1mC1nC2mC2m＋nC2m＋nC2m＋nPn2m2m＋nm＋nm＋nm＋n所以E(ξ)＝＋＝，1C2n2C1mC1n3C2m3m＋nC2m＋nC2m＋nC2m＋nm＋nE(ξ)＝＋＋＝，2所以E(ξ)<E(ξ)．12mn1·＝错误!，因为p1＝＋m＋nm＋n2C2mC1mC1n2C2m＋nC2m＋n·＋3C2m＋n3p2＝＋p1－p2＝错误!>0，所以p1>p2.【答案】①C2n1·＝错误!，二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.16．(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的概率分布．【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，则P(A)＝0.6，P＝1－P(A·B)＝1－0.4·P(B)＝0.92，解得P(B)＝0.2，∴P(B)＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.44，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，∴X的概率分布为：X012P0.080.440.4817.(本小题满分14分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．【解】(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的概率分布为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.8＝0.512；33季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.8×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季2的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.18．(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的概率分布；(2)求此员工月工资的期望．【解】(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4.Ci4C44－i(i＝0,1,2,3,4)，P(X＝i)＝C48故X的概率分布为：XP012348188135701703535(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝701，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝358，53P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，7053所以E(Y)＝3500×701＋2800×358＋2100×＝2280(元)．70所以此员工工资的期望为2280元．19．(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的概率分布分别为：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？【解】由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得V(X)＝(900－1000)×0.1＋(1000－1000)×0.8＋(1100－1000)×0.1＝2000，222V(Y)＝(950－1000)×0.3＋(1000－1000)×