2022高考二轮-数学（新高考版）大题专攻(三)“立体几何”大题的思维建模

大题专攻(三)

“立体几何”大题的思维建模一

宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.[解题示范](2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A­-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD.(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积.

[关键点拨]1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破”2．解答立体几何问题，应具备以下5点思维(1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理．(2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路．(3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质．(4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用．(5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程．二

微观优化解题细节：提升五大能力，突破立体几何中的解题障碍点能力一提高识图、作图能力识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力[反思领悟]本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S-ABC)，不懂得对问题进行转化(VS-ABC＝2VO-ABC)，只有正确理解才能把问题转化为三棱锥O-ABC，再结合球的定义即可解决．[反思领悟]解答本题的最大障碍是不会过顶点A作出平面α，解决的方法是通过“补体”快速实现把平面CB1D1“外移”，观察和作出平行线是本题作图的关键，常用的方法有利用中位线或平行四边形的性质等，尤其要注意长方体中的一些常见的平行关系(如本题D2B2∥CB1，AD2∥D1B1，AB2∥CD1)和垂直关系，以增加作图的方向感．

能力二厘清相关概念数学概念是思考问题、解决问题的出发点，很多同学由于概念意识不强，无法快速地把概念文本转化为相应的空间几何体，易把“异面直线所成的角”与“向量的夹角”混淆，易把“线面所成的角”等同“直线与平面法向量的夹角”，易分辨不清“二面角的平面角”与“两个法向量的夹角”之间的差异，同时对“线面所成的角”或“二面角的平面角”易忽视其定义的本质(即“找、证、算”)，而陷入盲目的计算，使得问题复杂化．[例3]如图，已知四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°且AB＝2CD，点M在PB上．(1)若M为PB的中点，求证：DM⊥PB；(2)若AD＝CD，二面角M­AD­C为30°，求直线DM与平面PBC所成角的余弦值．[解题观摩]

(1)证明：∵△PAB为等边三角形，M为PB的中点，∴AM⊥PB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，DA⊥AB，DA⊂平面ABCD，∴DA⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴DA⊥PB，[反思领悟]解决本题第(2)问的关键在于厘清二面角M-­AD­-C与二面角M-­AD­-C的平面角，只有厘清哪个是平面角，才能寻求坐标之间的关系，在确定∠MAB为二面角的平面角时，要注意应用第(1)问的结论，这也是立体几何解答题的特点之一．事实上，在二面角的平面角的意义中，必须紧扣“相交棱”“两垂直于棱的相交直线”，这往往需要利用“作、证”“相交棱垂直于平面”等知识．能力三规范推理步骤在证明线、面的平行或垂直关系时，由于定理条件掌握不全，推理的逻辑欠规范，常造成“会而不全”，导致失分．如，学生在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在该平面外”这个关键的条件；在使用直线与平面垂直的判定定理时，常常遗忘“线不在多，重在相交”这个关键的条件．符号书写也不规范，如，直线与平面是包含与不包含的关系，却常误写成属于与不属于的关系等．∴MO∥ED，且MO＝ED，∴四边形EDOM是平行四边形，∴EM∥DO，∵EM⊄平面ABCD，DO⊂平面ABCD，∴EM∥平面ABCD.(2)证明：∵ED∥FC，ED⊥平面ABCD，∴CF⊥平面ABCD.又∵DO⊂平面ABCD，∴CF⊥DO，∵AC⊥DO，CF⊂平面FAC，AC⊂平面FAC，CF∩AC＝C，∴DO⊥平面FAC.由(1)知EM∥DO，∴EM⊥平面FAC.又∵EM⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面FAC.[反思领悟](1)要证线面平行，一般可考虑线线平行或面面平行，本题可优先考虑线线平行，思路较为直接．如图，连接AC，BD，AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接OM，构建平行四边形EDOM.但学生常常会“想当然”，容易借助几何直观默认EM∥DO，忽视“EDOM是平行四边形”的证明过程；此外更常忽略条件“EM⊄平面ABCD，DO⊂平面ABCD”的完整表达而造成不必要的丢分！(2)要证面面垂直，关键在于找出一组“线面垂直”，如图，能较为直观看到“EM⊥平面FAC”就是目标．证明过程中常因几何直观强，而忽视平行关系与垂直关系之间的转化，直接“想当然”“易得CF⊥EM，AC⊥EM”造成失分，同时条件“EM⊂平面AEF”也是学生证明面面垂直最容易丢分的地方．

能力四建立适当的坐标系利用向量法求空间角是高考的必考试题，由于有些考题所给的几何体不规则，造成建系困难或建系不合理，也常出现“没有证明三线两两垂直”就“想当然”建系等错误．[例5]

(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．[反思领悟]本题主要考查立体几何的线面、面面位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力．由于几何体给人感觉不规则，第(2)问利用几何法不易求解，建系也比较困难．学生的主要失误点是：一是没有建好坐标系，被“图”迷惑了双眼，一下子盯住点B，D，把点B或点D视为空间直角坐标系的原点导致解题难度增加，易失分；二是贪快，导致图形中的坐标系漏画，例如，如图建立空间直角坐标系，但图中是空的；三是空间直角坐标系建成左手系，而不是建成右手系，建成左手系算错，丢分太可惜．事实上，建立合理的坐标系是代数法解立体几何题的关键．建立坐标系就是构造(或寻找)三线两两垂直，可分步处