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大题专攻(一)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题利用导数研究函数的单调性题点(一)讨论函数的单调性(或区间)

[典例1]已知函数f(x)＝aln(x－1)＋x2＋(a－2)x－a＋1，a∈R，试讨论f(x)的单调性．[提分技巧]利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．

[提分技巧](1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：利用导数研究函数的极值、最值[典例]

已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)若a＝1，求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．[提分技巧]1．利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题(1)不能忽略函数f(x)的定义域．(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数的极小值不一定比极大值小．(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．2．掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2．已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x(其中常数a≠0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且在(0

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